Differentiationsregeln: Produktregel, Quotientenregel

Nachdem ich in den letzten Beiträgen mit anschaulichen Beispielen aus der Praxis in die Differentialrechnung eingeführt habe, erkläre ich hier die Differentiationsregeln: Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel. Zuerst wiederhole ich einige Regeln aus den Grundlagen der Mathematik: Potenzregel, Konstantenregel, Summenregel. Anschließend fasse ich die wichtigsten Formeln zusammen.

  1. Potenzregel, Konstantenregel und Summenregel
  2. Produktregel Differentation
  3. Quotientenregel
  4. Kettenregel
  5. Zusammenfassung der wichtigsten Formeln
  6. Ableitung weiterer Funktionenklassen

Bisher bekannte Regeln

Potenzregel

1.) Alten Exponenten als Faktor vor die Variable x setzen.
2.) Neuer Exponent ist alter Exponent vermindert um eins

f(x) = x^q \Rightarrow f'(x) = q \cdot x^{q-1} \quad mit \quad q \in  ℚ

Konstantenregel

Wenn eine Funktion aus einer elementaren Funktion multipliziert mit einer Konstanten zusammengesetzt ist, dann ist die Ableitung dieser Funktion gleich der Ableitung der Elementarfunktion multipliziert mit der Konstanten.

f(x) =c \cdot u(x) \quad mit \quad c = konstant \\ \Rightarrow f'(x) = c \cdot u'(x) 

Summenregel

Wenn eine Funktion aus der Summe zweier Funktionen zusammengesetzt ist,
dann ist die Ableitung der Funktion gleich der Summe der Ableitungen der einzelnen Funktionen.

f_0495

Dazu kannst du dir das 📽️Video Differentiationsregeln: Potenzregel, Konstantenregel, Summenregel ansehen.

Differentiationsregeln

Produktregel Differentation

Wenn eine Funktion aus dem Produkt zweier Einzelfunktionen zusammengesetzt ist,
dann wird die Ableitung wie folgt gebildet:

f_0498

Der Beweis ist etwas aufwendiger, deshalb verzichtet ich an dieser Stelle darauf .

1. Beispiel:

f_0499

In diesem Fall könnten wir f(x) auch mithilfe der Potenzgesetze vereinfachen:
f(x)=x^2\cdot x^3 =x^5 \Rightarrow f'(x)=\underline{\underline{5x^4}}  
 

2. Beispiel:

In diesem Fall bietet sich allerdings die Potenzregel an:
f(x) = (x^3 - 2)\cdot (x^2 +2)  
u'(x) = 3x^2 \quad v'(x) = 2x
f'(x) = 3x^2 \cdot (x^2 + 2) + (x^3 - 2) \cdot 2x
\Rightarrow f'(x)=3x^4 + 6x^2 +2x^4 -4x
\Rightarrow f'(x)=\underline{\underline{5x^4+6x^2-4x}}

3. Beispiel:

Wenn die beiden Funktionen sehr verschieden sind, bietet sich auch die Potenzregel an.
f(x)= x^2 \cdot sin(x)

Dazu kannst du dir das 📽️Video Produktregel ansehen.

 

Quotientenregel

Wenn eine Funktion aus den Quotienten zweier Funktionen u(x) und v(x) zusammengesetzt ist,
dann wird die Ableitung der Funktion wie folgt gebildet:

f_0500

 

Beweis:

f_0501

 

Beispiel:

f_0502

Dazu kannst du dir das 📽️Video Quotientenregel ansehen.

Kettenregel

Sind in einer Funktion die Terme mit der Variablen x so zusammengefasst, dass eine übergeordnete Variable z entsteht, so kann diese Funktion als Funktion einer Funktion betrachtet werden.(Funktionskette).
Dann ist die Ableitung dieser Funktions-kette gleich der äußeren Ableitung multipliziert mit der inneren Ableitung.

f_0503

 

Der Beweis ist etwas aufwendiger, deshalb verzichtet ich hier auch darauf .

f_0504

Dazu kannst du dir das 📽️Video Differentiationsregeln Kettenregel ansehen.

 


 

Zusammenfassung

Differenzenquotient:

(Sekantensteigung oder mittlere Änderungsrate)

f_0505

 

Differentialquotient:

(Tangentensteigung oder momentane Änderungsrate)

f_0506

 

Konstantenregel

f_0507

Summenregel:

f_0508

Produktregel:

f_0509

Quotientenregel:

f_0510

Kettenregel:

f_0511


Ableitung weiterer Funktionenklassen

Funktionsgleichung

Ableitungsfunktionsgleichung

f_0512 f_0513
f_0514 f_0516
f_0517 f_0518
f_0519 f_0520

Beispiele:

f_0521

 


Hier findest du Aufgaben zur Differentialrechnung V.