Zinsrechnung Formelumstellung

Mathematik, Sekundarstufe 1, Zinsrechnung

In den vorherigen Beiträgen habe ich die Zinsrechnung und die Zinseszinsrechnung erklärt. Dabei habe ich insgesamt 11 Formeln vorgestellt. In diesem Beitrag zeige ich, wie man die Zinsformel umstellen kann. Dann braucht man sich nur 3 Formeln zu merken.

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  1. Wiederholung: Zinsformel Zinsen nach einem Jahr, nach Monaten und Tagen.
  2. Zinsformel nach Kapital umstellen
  3. Zinsformel nach Prozentsatz umstellen
  4. Zinsformel nach Monaten nach Kapital umstellen
  5. Zinsformel nach Monaten nach Prozentsatz umstellen

Hier also noch einmal die drei Zinsformeln:

Zinsformel: Zinsen nach einem Jahr

Z = K \cdot \frac{p}{100\%}

Z = Zinsen, K = Kapital, p = Zinssatz in %

Zinsen nach Monaten

Z = K \cdot \frac{p}{100\%} \cdot \frac{m}{12 Monate}

Zinsen nach Tagen

Z = K \cdot \frac{p}{100\%} \cdot \frac{t}{360 Tage}

Dazu muss man diese drei Formeln nach der jeweils gesuchten Größe umstellen. Dabei muss man beachten, dass man auf beiden Seiten der Gleichung mit dem gleichen Faktor multipliziert, bzw. durch den gleichen Faktor dividiert. Mit anderen Worten:
Soll ein Faktor aus dem Nenner verschwinden, muss man mit diesem Faktor beide Seiten multiplizieren.
Soll ein Faktor aus dem Zähler verschwinden, muss man durch diesen Faktor dividieren.
Addition und Subtraktion kommt bei diesem Gleichungstyp nicht vor.

Zinsformel umstellen nach Kapital

Z = K \cdot \frac{p}{100\%}\,\,soll\,  nach\, K \,umgestellt\, werden.

Dazu multiplizieren wir beide Seiten der Formel mit 100%.
Rechts können wir anschließend die 100% kürzen.
Wie man Brüche kürzt, habe ich hier erklärt: Bruchrechnung Regeln.
\Leftrightarrow Z \cdot 100\% = K \cdot \frac{p}{100\%} \cdot 100\%
\Leftrightarrow Z \cdot 100\% = K \cdot \frac{p}{\cancel {100\%}} \cdot \cancel {100\%}

Weil es so schön war, machen wir das gleiche mit p:
Erst auf beiden Seiten durch p dividieren.
Dann recht p kürzen.
\Leftrightarrow \frac{Z \cdot 100\%}{p} = \frac{K \cdot \cancel p}{\cancel p}

Jetzt steht K rechts alleine.
Schließlich brauchen wir die Formel nur umzudrehen und Z alleine stehen lassen. Dadurch stehen im Zähler und Nennen Prozentwerte:
\Leftrightarrow K = Z \cdot \frac{100\%}{p}

Zinsformel umstellen nach Prozentsatz

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Als erstes habe ich beide Seiten der Gleichung mit 100% multipliziert.
Danach konnte ich auf der rechten Seite 100% kürzen.
Anschließend habe ich beide Seiten der Gleichung durch K dividiert.
Dadurch konnte ich auf der rechten Seite K kürzen.
Schließlich habe ich die Gleichung umgedreht, so dass die Variable P auf der linken Seite steht.

Zinsformel umstellen nach Monaten nach Kapital

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Als erstes habe ich beide Seiten der Gleichung mit 100% multipliziert.
Danach konnte ich auf der rechten Seite 100% kürzen.
Dann habe ich beide seiten mit 12 Monaten multipliziert.
Dadurch konnte ich die rechte seite um 12 Monate kürzen
Anschließend habe ich beide Seiten der Gleichung durch m dividiert.
Dadurch konnte ich auf der rechten Seite m kürzen.
Schließlich habe ich die Gleichung umgedreht, so dass die Variable K auf der linken Seite steht.

Zinsformel umstellen nach Monaten nach Prozentsatz

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Das Kürzen kann auch im Kopf erfolgen und wird deshalb nicht mehr hingeschrieben.
Beide Seiten der Gleichung werden jeweils:
mit 100% multipliziert.
mit 12 Monate multipliziert.
durch m dividiert.
durch K dividiert.
Die Gleichung wird umgedreht, so dass die Variable p auf der linken Seite steht.

Mit anderen Worten: Man stellt die Formeln immer nach dem gleichen Schema um. Das ist also ganz einfach.

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Hier findest du eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Zinsrechnung, darin auch links zu Videos und zu anderen mathematischen Grundlagen.

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