Wahrscheinlichkeitsrechnung

In diesem Beitrag werde ich den Hypothesentest anhand von Beispielen mit Würfeln einfach erklären. Zwischendurch erläutere ich einiges zur Nullhypothese. Außerdem mache ich Bemerkungen zur Vorgehensweise bei Würfelexperimenten. Anhand mehrerer Beispiele zeige ich die Berechnung, die Auswertung und zeige die graphische Darstellung. Dann erkläre die Fehler 1. und 2. Art. Außerdem stelle ich die Änderung des

In diesem Beitrag stelle ich die Grundlagen des Hypothesentests vor. Als Erstes definiere ich die Nullhypothese und die alternative Hypothese. Danach stelle ich die Reihenfolge beim Testen von Hypothesen vor. Anschließend zähle ich die Regeln zum Aufstellen der Hypothese auf. Als Nächstes zeige ich die beiden Möglichkeiten der Nullhypothese und die alternative Hypothese anhand mehrerer

Für die Berechnung von Umgebungswahrscheinlichkeiten habe ich im letzten Beitrag die Tabelle normalverteilter Zufallsvariablen vorgestellt. Hier werde ich anhand einiger Beispiele den Umgang damit erklären. Dabei geht es um Intervalle symmetrisch zum Erwartungswert, Prozent-Umgebung vom Erwartungswert, Intervalle außerhalb von Umgebungen und asymmetrische Umgebungen. Bitte beachte, dass die zu dem Wert z gehörige Umgebung immer symmetrisch zum

Als erstes stelle ich hier die Approximation der Binomialverteilung vor. Anschließend zeige ich einige Beispiele für die Gaußsche Normalverteilung. Danach stelle ich eine Tabelle der Wahrscheinlichkeiten für Sigma-Umgebungen normalverteilter Zufallsvariablen zur Verfügung. Anschließend werde ich den Umgang der Tabelle erklären. Am Ende findest du einen Rechenhelfer für die Binomialverteilung und den Link zu Aufgaben in

In diesem Beitrag beschäftige ich mich mit den Umgebungswahrscheinlichkeiten in Binomialverteilungen. Dazu stelle ich mehrere Beispiele vor. Danach erläutere ich die Wahrscheinlichkeit der einfachen, doppelten und dreifachen Sigma-Umgebung. Schließlich zeige ich, was passiert, wenn ich der Umgebung des Erwartungswerts einen Radius zuordne. Erwartungswert Bei einer Binomialverteilung ist der Erwartungswert der mit der größten Wahrscheinlichkeit. In

In diesem Beitrag erkläre ich die Begriffe Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung und binomialverteilte Zufallsgrößen. Außerdem stelle ich viele Beispiele dazu zur Verfügung. Beispiele von Binomialverteilungen für n = 40 und p variabel Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße, Formel Varianz und Standardabweichung Link zu Aufgaben Beispiele von Binomialverteilungen für n = 40 und p variabel Wenn wir einen Bernoulli-Versuch,

In diesem Beitrag definiere ich zuerst den Begriff Bernoulli-Experiment. Danach erkläre ich dies anhand eines Beispiels. Anschließend zeige ich, wie man die Anzahl der Pfade mit k Erfolgen und die Wahrscheinlichkeit für einen Pfad mit k Erfolgen aufstellt. Darauf folgt die Formel für die Pfadwahrscheinlichkeit. Daraus leite ich den Binomische Lehrsatz und die Definition der

Im letzten Beitrag,  Kombinatorik, haben wir uns mit geordneten und ungeordneten Stichprobe mit und ohne Zurücklegen beschäftigt. In diesem Beitrag lernen wir die Formeln für Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Erwartungswert kennen. Damit kann man z. B. bei Glücksspielen Aussagen über den zu erwartenden Gewinn bzw. Verlust machen. Dazu gibt es viele Beispiele. Beispiel Definition Zufallsvariable Definition Wahrscheinlichkeitsverteilung

In den bisherigen Beiträgen konnten wir mit übersichtlichen Ergebnisbäumen arbeitet. Doch diese Methode hat ihre Grenzen. Das zeigt schon allein das Beispiel des mehrmaligen Wurfes eines Würfels. Hier beschäftigen wir uns mit der Ereignissen, die in einer bestimmten Reihenfolge erfolgen. Mit anderen Worten in einer bestimmten Kombination. Deshalb spricht man hier auch von der Kombinatorik.

Wenn wir einen Würfeln mehrmals werfen, hängt die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Zahl zwischen 1 und 6 zu werfen, nicht von dem vorherigen Ergebnis ab. Denn jeder Wurf geschieht unabhängig von dem vorigen. Wenn man jedoch aus einer Urne mit verschieden farbigen Kugeln nacheinander Kugeln zieht, ohne sie zurückzulegen, ist die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ergebnis

Hier geht es um Wahrscheinlichkeiten, die man mit ‚und‘ und ‚oder‘ verknüpft. Dazu stelle ich viele Beispiele und Übungen zur Verfügung. Beispiel Und Oder Wahrscheinlichkeit: In einem Abiturjahrgang am Berufskolleg sind 100 Schüler/innen. Davon lernen 87 Spanisch (S) und 75 Französisch (F), 70 beherrschen beide Fremdsprachen. a) Wie viele Schüler/innen lernen Französisch oder Spanisch? Oder

In diesem Beitrag stelle ich viele Beispiele für das Urnenmodell vor. Das Ziehen kann man auf zwei verschiedene Arten durchführen: Wir ziehen eine Kugel und legen sie danach wieder zurück. Das entspricht dem Urnenmodell mit Zurücklegen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Wenn wir die Kugel nach dem Ziehen nicht wieder zurücklegen, sprechen wir vom Urnenmodell ohne Zurücklegen.

Im letzten Beitrag haben wir uns mit einstufigen Ereignissen beschäftigt. Zum Beispiel wenn wir einen Würfel nur einmal werfen. Jetzt geht es um mehrstufige Zufallsversuche. Dazu stelle ich viele Beispiele vor. Außerdem erkläre ich die 1. und 2. Pfadregel. Schließlich geht es um das Laplace-Experiment. Am Schluss verlinke ich zu Aufgaben. Durch Klick auf einen Link kommt

Als Erstes berechne ich in einem Beispiel die absolute und relative Häufigkeit eines Ereignisses. Danach gehe ich auf die Häufigkeit des Gegenereignisses ein. Anschließend definiere ich die Wahrscheinlichkeit am Beispiel eines idealen Würfels. Die Wahrscheinlichkeit das Werfen von Heftzwecken zu berechnen ist dagegen schwerer. Dies zeige ich anhand von Versuchen. Dazu stelle ich Übungen zur

In diesem Beitrag erkläre ich, wie man Ereignisse in der Wahrscheinlichkeitsrechnung verknüpft. Dazu stelle ich anschauliche Beispiele und Übungen aus der Mengenlehre vor. Zuletzt definiere ich unvereinbare Ereignisse: deren Und-Verknüpfung ist leer. Beispiel für eine Verknüpfung von Ereignissen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Wenn wir einen Würfel einmal werfen, können wir Ereignisse festlegen: A: Die Augenzahl ist

In diesem Beitrag definiere ich die Begriffe Ereignis und Gegenereignis in der Wahrscheinlichkeitsrechnung anhand anschaulicher Beispiele und Übungen. Außerdem gebe ich Tipps zum Vorgehen bei der Suche nach einem Gegenereignis. Wir betrachten hierzu das einmalige Würfeln. Dabei besteht die Ergebnismenge aus 6 möglichen Ergebnissen: S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Die Erklärung der

In diesem Beitrag führe ich anhand von leicht verständlichen Beispielen und Übungen in die Wahrscheinlichkeitsrechnung ein. Zuerst definiere ich die Begriffe Zufallsexperiment und einstufiges Zufallsexperiment. Danach erkläre ich Ergebnis und Ergebnismenge. Anschließend zeige ich die Darstellung in der Mengenschreibweise und als Baumdiagramm. Zuletzt erkläre ich das mehrstufige Zufallsexperiment. Wenn es um Wahrscheinlichkeiten geht, denken wir