Differentiationsregeln

Nachdem ich in den letzten Beiträgen mit anschaulichen Beispielen aus der Praxis in die Differentialrechnung eingeführt habe, erkläre ich hier die Differentiationsregeln. Vorher wiederhole ich einige Regeln aus den Grundlagen der Mathematik. Denn diese werden wir hier auch einsetzen können.

Bisher bekannte Regeln

Potenzregel

1.) Alten Exponenten als Faktor vor die Variable x setzen.
2.) Neuer Exponent ist alter Exponent vermindert um eins

f_0489

Konstantenregel

Wenn eine Funktion aus einer elementaren Funktion multipliziert mit einer Konstanten zusammengesetzt ist,
dann ist die Ableitung dieser Funktion gleich der Ableitung der Elementarfunktion multipliziert mit der Konstanten.

f_0492

Summenregel

Wenn eine Funktion aus der Summe zweier Funktionen zusammengesetzt ist,
dann ist die Ableitung der Funktion gleich der Summe der Ableitungen der einzelnen Funktionen.

f_0495




Differentiationsregeln

Produktregel

Wenn eine Funktion aus dem Produkt zweier Einzelfunktionen zusammengesetzt ist,
dann wird die Ableitung wie folgt gebildet:

f_0498

Der Beweis ist etwas aufwendiger, deshalb verzichtet ich an dieser Stelle darauf .

Beispiel:

f_0499

Quotientenregel

Wenn eine Funktion aus den Quotienten zweier Funktionen u(x) und v(x) zusammengesetzt ist,
dann wird die Ableitung der Funktion wie folgt gebildet:

f_0500

Beweis:

f_0501

Beispiel:

f_0502

Kettenregel

Sind in einer Funktion die Terme mit der Variablen x so zusammengefasst, dass eine übergeordnete Variable z entsteht, so kann diese Funktion als Funktion einer Funktion betrachtet werden.(Funktionskette).
Dann ist die Ableitung dieser Funktions-kette gleich der äußeren Ableitung multipliziert mit der inneren Ableitung.

f_0503

Der Beweis ist etwas aufwendiger, deshalb verzichtet ich hier auch darauf .

f_0504




Zusammenfassung

Differenzenquotient:

(Sekantensteigung oder mittlere Änderungsrate)

f_0505

Differetialquotient:

(Tangentensteigung oder momentane Änderungsrate)

f_0506

Konstantenregel

f_0507

Summenregel:

f_0508

Produktregel:

f_0509

Quotientenregel:

f_0510

Kettenregel:

f_0511


Ableitung weiterer Funktionenklassen

Funktionsgleichung

Ableitungsfunktionsgleichung

f_0512 f_0513
f_0514 f_0516
f_0517 f_0518
f_0519 f_0520

Beispiele:

f_0521


Hier finden Sie Aufgaben zur Differentialrechnung V



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