Einführung lineare Funktionen

Einführung lineare Funktionen

Aus der Sekundarstufe I sind Ihnen die Graphen linearer Funktionen als Geraden bekannt und deren Funktionsgleichungen als Geradengleichungen. Proportionale Zusammenhänge lassen sich durch Geraden darstellen.

Beispiel:

Am Fischstand auf dem Wochenmarkt kosten 100 g Schillerlocken 4,50 €.
Frau Barsch möchte 300 g kaufen.
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Die Kosten K sind also von der Menge x abhängig und somit eine Funktion von x.
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K(x) wird auch Kostenfunktion genannt.
Für den Kauf von Schillerlocken lautet die Kostenfunktion K(x) = 4,50 x, wobei 4,50 der Preis pro Mengeneinheit in € und x die Anzahl der Mengeneinheiten in Vielfachen von 100 g ist.
Ersetzt man K(x) durch y, dann entsteht die bekannte Gleichung y = 4,50 x.
Im Koordinatenystem ist das eine Gerade durch den Nullpunkt.

Beispiel:

Sven hat einen Handyvertrag mit monatlichen Grundgebühren von 20 €.
Für jede Minute die er telefoniert fallen 0,2 € an.
a) Welche Kosten entstehen monatlich, wenn Sven 30 min, 60 min, 90 min, 120 min telefoniert?
Stellen Sie die Werte in einer Wertetabelle dar.
Lösung: Die Kosten setzen sich additiv aus einem festen (20 €) und einem variablen Anteil (0,2 x) zusammen, wobei x die Anzahl der telefonierten Minuten ist.

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b) Zeichnen Sie den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem.
Lösung:
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c) Wie lautet die Funktionsgleichung für die Kostenrechnung?
Lösung: x ist die unabhängige Variable für die Gesprächsdauer in Minuten.
y = f(x) ist die abhängige Variable für die monatlichen Gesamtkosten in €.
Bei folgender Rechnung werden die Einheiten min und € weggelassen.Ansatz für die Funktionsgleichung:
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Beispiele zum Aufstellen von Funktionsgleichungen:

Ein Abwasserschacht enthält 1000 Liter Wasser. Jeden Tag kommen 100 Liter dazu.
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Thorsten verdient jeden Monat 1300 € netto. Funktionsgleichung für den Nettoverdienst in €:
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Ein Tank enthält 4000 Liter Diesel. Jede Woche verbraucht ein Motor 500 Liter.
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Soll für einen proportionalen Zusammenhang die Funktionsgleichung aufgestellt werden, ist zuerst zu überlegen:

  • Gibt es einen Anfangswert a0?
  • Wie groß ist die Änderungsrate (z.B. Änderung pro Tag, Minute, Stück oder Gewicht).
  • Ist die Änderungsrate positiv oder Negativ (positiv = Zunahme, negativ = Abnahme).

 Sie kennen die Funktionsgleichung der Geraden in der Form:
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Da Geradengleichungen zur Familie der ganzrationalen Funktionen gehören, die ein zentrales Thema der Oberstufenmathematik sind, soll deren Darstellungsart von Anfang an auf diese übertragen werden.

Definition Ganzrationale Funktion n-ten Grades:

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Da die beiden letzten Summanden a1x + a0 zum Funktionsterm der Geradengleichung gehören, folgt die Definition:
Ganzrationale Funktion 1. Grades

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heißt ganzrationale Funktion 1. Grades oder lineare Funktion.

Der Grad der Funktion wird durch den höchsten Exponenten von x
(hier also 1, denn x = x1) bestimmt.
Der Koeffizient a1 steht für m und a0 steht für b oder n.
Die Bezeichnung „lineare Funktion“ rührt daher, dass der Graph einer linearen Funktion im rechtwinkligem Koordinatensystem eine Gerade darstellt.

Merke: Der Graph einer linearen Funktion stellt eine Gerade dar.

Beispiele für Funktionsgleichungen linearer Funktionen:
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Übung 1:

Stellen Sie für die ganzzahligen Werte von D eine Wertetabelle auf und zeichnen Sie den Graphen.
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Bestimmen Sie die Wertemenge W für die Definitionsmenge D.
In welchen Punkten schneidet der Graph die Koordinatenachsen?
Lösung unten




Achsenschnittpunkte linearer Funktionen

Achsenschnittpunkte sind die Punkte, in denen der Graph die Koordinatenachsen schneidet.
Diese Werte lassen sich mehr oder weniger genau aus dem Graphen ablesen.
Oft besteht auch die Möglichkeit, der Wertetabelle diese Daten zu entnehmen.
Nun soll es darum gehen, diese Werte durch Rechnung, ohne Wertetabelle und Graph zu nutzen zu bestimmen.
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Schnittpunkt mit der y- Achse (Ordinate) Py:

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Merke:

Der Schnittpunkt mit der y- Achse kann für alle lineare Funktionen der Form

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Schnittpunkt mit der x- Achse (Abszisse) Px:

Die y- Werte (Funktionswerte) aller Punkte, die auf der x- Achse liegen haben den Wert 0.
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Beispiel:

Bestimmen Sie von folgender Funktion die Achsenabschnitte und zeichnen Sie den Graphen.

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Die x- Koordinate des Schnittpunktes mit der x- Achse wird auch Nullstelle genannt.
Denn für diesen x- Wert (an dieser Stelle x) ist der Funktionswert Null.

Übung 2:

Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen für
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Kontrollieren Sie die Nullstelle durch Einsetzen in f(x).
Lösung unten

Nullstellenfinder
Interaktiv: Sie können eine Gleichung eingeben und das JavaScript bestimmt Nullstellen von Polynomen bis 9. Grades und zeichnet den Funktionsgraphen.

 




Die Steigung linearer Funktionen

Die meisten Schienen oder Straßenfahrzeuge können nur geringe Steigungen überwinden. Im Gebirge setzt man daher Zahnradbahnen oder Seilbahnen ein, diese eignen sich auch für steile Strecken.
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Das Verkehrsschild „12% Steigung“ bedeutet:Auf 100 m horizontaler Strecke steigt die Straße um 12 m an. Es wird ein Höhenunterschied von 12 m überwunden.

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Definition Steigung einer Geraden:

Das Verhältnis zwischen Höhenunterschied und horizontaler Strecke wird Steigung genannt.

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Das Steigungsdreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck für das gilt:

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In der Grafik unten ist eine Ursprungsgerade, durch die Punkte P1 und P2 abgebildet.
Die Steigung der Geraden soll mit Hilfe der Koordinaten von P1 und P2 ermittelt werden.
Die Längen von Gegenkathete und Ankathete sind durch die Koordinatendifferenzen der beiden Punkte festgelegt.
Für die Differenzen schreibt man:

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Aus dem Steigungsdreieck lässt sich die Steigung der Geraden ablesen:

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Die Steigung einer Geraden im Koordinatensystem ist das Verhältnis von Gegenkathete zur Ankathete eines beliebigen rechtwinkligen Dreiecks (Steigungsdreieck), dessen Hypotenuse Teil des Funktionsgraphen ist.

Die Vermutung liegt nahe, dass der Koeffizient a1 der Geradengleichung
f(x) = a1x + a0 für die Steigung der Geraden verantwortlich ist.
Das soll nun bewiesen werden.

Beweise:

Behauptung:

Die Steigung m entspricht dem Koeffizienten a1 der Geradengleichung:
f(x) = a1x + a0

Beweis:
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Satz:

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Sind also zwei Punkte einer Geraden durch ihre Koordinaten gegeben, so kann man:
1. Die Gerade zeichnen indem man die beiden Punkte miteinander verbindet und die so entstandene Gerade über die Punkte hinaus verlängert.
2. Die Steigung der Geraden mit Hilfe des Steigungsdreiecks errechnen.

Beispiel:
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Funktionsgraphen zeichnen

Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade. Um eine Gerade zeichnen zu können, sind zwei Punkte nötig. Ist die Funktionsgleichung bekannt, kennen wir auch den Schnittpunkt mit der y – Achse Py. Den zweiten Punkt erhalten wir durch die Steigung (Steigungsdreieck).

Beispiel:

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Um von einem bestimmten Punkt der Geraden über das Steigungsdreieck zu einem zweiten Punkt zu gelangen, kann man sich in Kurzform folgendes merken:

Merke:

Nennereinheiten nach rechts, Zählereinheiten in Abhängigkeit vom Vorzeichen nach oben oder nach unten.
Dabei gilt: für + nach oben, für – nach unten.

Liegen die beiden Punkte zu nahe beieinander, dann kann das Verfahren mehrfach angewendet werden. Auch wenn der Steigungsfaktor a1 eine ganze Zahl ist, lässt sich der zweite Punkt auf diese Weise bestimmen, denn jede Zahl lässt sich in einen Bruch verwandeln.

Beispiel:

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Geht man in vier Schritten vor, so liegen beide Punkte weit genug auseinander um eine saubere Gerade zeichnen zu können.Von P gehen wir vier mal jeweils einen Schritt nach rechts und einen Schritt nach unten und erhalten den Punkt P1. Vier Schritte nach rechts und 4 Schritte nach unten führt auf das gleiche Ergebnis.

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Beispiel:

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Dazu gibt es hier Trainingsaufgaben mit Lösungen

Geraden erkennen  
Interativ: Finden Sie zu dem angegebenen Graphen die entsprechende Funktionsgleichung. Nach dem Durchlauf von 10 Aufgaben erfolgt eine Benotung




Begriffe und Darstellungsarten

Der Graph einer Funktion f(x) wird auch Schaubild Kf genannt.
Im rechtwinkligen Koordinatensystem hat jeder Punkt P eine x- und eine y- Koordinate P ( x | y ).
Die x- Koordinate entspricht der unabhängigen Variablen x der Funktion f(x).
Die y- Koordinate entspricht dem jeweiligen Funktionswert von f(x).
Deshalb verwendet man oft die Schreibweise y = f(x).

Speziell bei linearen Funktionen sind auch folgende Schreibweisen üblich:
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Übung 3:

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Statt Schaubild einer Funktion Kf sagt man auch Graph einer Funktion f.

a) f_1491

b) f_1492
c) Berechnen Sie die Nullstelle von f(x).
d) Für welche x- Werte gilt f(x) > 0?

e) f_1493
f) Der Graph g entsteht durch Verschiebung von Kf in y- Richtung und verläuft durch N( 4 | 0 )
Lösung unten

Beispiel:

Der Schnellimbiss „MC- Pommes“ benötigt für die Fritteusen täglich 19 kg frisches Fett. Momentan sind noch 250 kg im Lager vorhanden.
a) Stellen Sie die Funktionsgleichung auf und zeichnen Sie den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem.
Lösung: Die unabhängige Variable x steht für die Zeit in Tagen.
Die abhängige Variable f(x) steht für die verbleibende Menge Fett in kg.
Der Anfangswert beträgt 250 kg.
Die Änderungsrate ist negativ und beträgt 19kg/Tag.
Da ein linearer Zusammenhang besteht gilt:

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b) Bei einem Lagerbestand von 95 kg soll der Filialleiter nachbestellen. Nach wie viel Tagen muss die Bestellung erfolgen?
Lösung: Da bei 95 kg nachbestellt werden soll, gilt der Ansatz:
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Die Bestellung muss in etwa 8 Tagen erfolgen.
c) Wie lange reicht das Fett, wenn nicht nachbestellt wird?
Lösung: Zu bestimmen ist der Schnittpunkt des Graphen mit der y- Achse:
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Das Fett reicht noch etwa 13 Tage.


Lösung der Übungen

Übung 1:
Stellen Sie für die ganzzahligen Werte von D eine Wertetabelle auf und zeichnen Sie den Graphen.
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Bestimmen Sie die Wertemenge W für die Definitionsmenge D.
In welchen Punkten schneidet der Graph die Koordinatenachsen?
Lösung:

f_1465
f_1466
des_155
f_1467

Übung 2:
Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen für
f_1471
Kontrollieren Sie die Nullstelle durch Einsetzen in f(x).
Lösung:
f_1472
des_157
Probe:
f_1473

Übung 3:
f_1490
Statt Schaubild einer Funktion Kf sagt man auch Graph einer Funktion f.
a) f_1491
Lösung:
f_1494

b) f_1492
Lösung:

f_1495

c) Berechnen Sie die Nullstelle von f(x).
Lösung:
f_1496

d) Für welche x- Werte gilt f(x) > 0?
Lösung:
f_1497

e) f_1493
Lösung:
f_1498

f) Der Graph g entsteht durch Verschiebung von Kf in y- Richtung und verläuft durch N( 4 | 0 )
Lösung:
f_1499


Im nächsten Beitrag erkläre ich anhand von Beispielen aus der Praxis, wie man vorgehen sollte, wenn man eine Funktionsgleichung aufstellen will.

Hier finden Sie Aufgaben Lineare Funktionen Aufgaben I zu  einer Geraden

und Aufgaben Lineare Funktionen Aufgaben II zu  einer Geraden

und Aufgaben Lineare Funktionen Aufgaben III  zu  einer Geraden

Hier finden Sie eine Übersicht über weitere Beiträge zu linearen Funktionen.



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