Lineare Funktionen aus gegebenen Bedingungen

Im Beitrag Funktionen in der Mathematik haben wir uns ausführlich damit beschäftigt, was Funktionen sind. Hier erkläre ich jetzt anhand von Beispielen aus der Praxis, wie man vorgehen sollte, wenn man eine Funktionsgleichung aufstellen will.

Funktionsgleichungen aufstellen

Fall I: Gerade mit der Steigung a1 durch den Punkt P

Beispiel 1:

Das erste Beispiel ist noch abstrakt. Wir wissen folgendes:
Eine Gerade mit der Steigung a1 verläuft durch den Punkt P1( x1 | y1 ).
Mit diesen Angaben können wir nun die Funktionsgleichung f(x) = a1x + a0 aufstellen.

f_1502

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Beispiel 2:

Jetzt ein Beispiel aus der Praxis: Zur Versorgung der Futterautomaten im Zoo „Koalabär“ benötigt der Tierpfleger täglich 7,5 kg Tierfutter. Zwölf Tage, nachdem das Futterlager zum letzten Mal aufgefüllt wurde, befinden sich dort noch 250 kg. Die Frage lautet nun: Wann wurde das Futter auf wie viel Kilo Futter aufgefllt?
a) Stellen Sie eine Funktionsgleichung auf, die diesen Sachverhalt beschreibt.
x- Achse: Zeit in Tagen            y- Achse: Futterbestand in kg
Lösung:

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b) Auf welche Menge wurde das Futterlager vor zwölf Tagen aufgefüllt?
Lösung: Der Auffüllzeitpunkt liegt bei x = 0.
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Der Futterbestand wurde vor 12 Tagen auf 340 kg aufgefüllt.

Wenn wie im Fall I die Steigung und ein Punkt einer Geraden bekannt sind, erfolgt die Rechnung immer in der gleichen Weise mit den vorgegebenen Daten.
In einem solchen Fall kann man die Rechnung allgemein durchgeführen. Das führt dann zu einer Formel.

Eine Gerade mit der Steigung a1 verläuft durch den Punkt P1( x1 | y1 ).

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heißt auch Punkt- Steigungsform der Geradengleichung.

Beispiel 3:

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Fall II: Gerade durch zwei Punkte

Beispiel 4:

Zwei Punkte P1( x1 | y1 ) und P2( x2 | y2 ) liegen auf einer Geraden.
Gesucht ist die Funktionsgleichung f(x) = a1x + a0.

f_1507
Nachdem die Steigung bekannt ist, wird die Aufgabe gelöst wie unter Fall I beschrieben.
Für die Punktprobe ist es egal, welcher Punkt dazu verwendet wird, denn beide Punkte sollen ja auf der Geraden liegen.

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Beispiel 5:

Wie aus dem Physikunterricht bekannt, gibt es unterschiedliche Temperaturskalen.
Die Celsiusskala soll in die Fahrenheitskala umgerechnet werden.
Zwischen beiden besteht eine lineare Beziehung.
100 0C entsprechen 212 0F, 0 0C entsprechen 32 0F.
Gesucht ist eine Funktionsgleichung, für die Umrechnung von 0C in 0F.
Unabhängige Variable x in 0C, abhängige Variable y = f(x) in 0F.

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Auch für Fall II kann die Rechnung allgemein durchgeführt werden:
Zwei Punkte P1( x1 | y1 ) und P2( x2 | y2 ) liegen auf einer Geraden.
Die Allgemeine Form der Geradengleichung lautet: f(x) = a1x + a0.

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f_1511
ist die allgemeine Form der Geradengleichung durch zwei Punkte.

In der Literatur erscheint sie in der Form:
f_1512
Für den praktischen Gebrauch eignet sich die Form:
f_1513

Beispiel 6:
f_1514

Übung 1:

Stellen Sie eine Funktionsgleichung für die Umrechnung von 0F in 0C auf.
Lösung unten

Interaktiv Geraden erkennen Interativ: Finden Sie zu dem angegebenen Graphen die entsprechende Funktionsgleichung. Nach dem Durchlauf von 10 Aufgaben bekommen Sie eine Note

Interaktiv Gerade durch zwei Punkte Nach Klick auf den Link werden zwei Punkte vorgegeben, die dazugehörige Gerade wird generiert und analysiert.




Sonderfälle von Geradengleichungen

Parallele zur x- Achse:
f_1517
ist eine ganzrationale Funktion 0. Grades und wird auch als konstante Funktion bezeichnet.
Die x- Achse ist ebenfalls eine konstante Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) = 0.
Die Steigung einer Konstanten Funktion ist stets Null.

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Parallele zur y- Achse:
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Die Gerade verläuft parallel zur y- Achse.
Sie kann nicht durch eine Funktionsgleichung beschrieben werden, da es keine eindeutige Zuordnung gibt.x = 0 ist die Gleichung der y- Achse.

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Beispiel 7:

Gegeben ist f(x) = 2,5 und eine Parallele zur y- Achse im Abstand a mit a > 0.
Eine Ursprungsgerade g geht durch den Punkt P( a | f(x) ).
Sie bildet mit der x- Achse und der Parallelen zur y- Achse ein Dreieck.
Bestimmen Sie a so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks 4 Flächeneinheiten (FE) beträgt.
Wie lautet für diesen Fall die Funktionsgleichung g(x)?

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Lösung der Übung

Die Umrechnung von 0C in 0F bedeutet für die Variablen:
x in 0F ist die unabhängige Variable und y = f(x) in 0C ist die abhängige Variable.

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Da zwischen den Temperaturskalen eine lineare Beziehung besteht, liegen die Punkte P1 und P2 auf einer Geraden.
Die allgemeine Form der Geradengleichung lautet: f(x) = a1x + a0.
Zu bestimmen sind die Koeffizienten a1 und a0.

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Hier finden Sie Trainingsaufgaben zu Lineare Funktionen II

und  Aufgaben Lineare Funktionen III

Im nächsten Beitrag erkläre ich wie man die Schnittpunkte zweier Geraden berechnet.

Und in einem anderen Beitrag finden Sie Textaufgaben zur Lösung alltaeglicher Probleme mittels linearer Funktionen

Hier finden Sie eine Übersicht über weitere Beiträge zu linearen Funktionen.



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