Monotonieeigenschaften

Monotonieeigenschaften in der Differentialrechnung

Monotonie, Monotoniesatz

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In beiden Fällen spricht man von einer monotonen Funktion, und zwar von einer monoton wachsenden Funktion, wenn a1 > 0 ist,
und von einer monoton fallenden Funktion, wenn a1 < 0 ist.

Der Begriff Monotonie lässt sich auch auf Funktionen übertragen, deren Kurvenverlauf gekrümmt ist, wenn man bedenkt, dass man im Allgemeinen in jedem Kurvenpunkt eine Tangente an den Graphen legen kann.

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Der Anstieg des Graphen ist jetzt zwar nicht mehr konstant, wie dies bei der Geraden der Fall war, sondern er ändert sich von Kurvenpunkt zu Kurvenpunkt. Aber der Zusammenhang:

Wenn der Anstieg der Tangente > 0, dann ist die Kurve monoton wachsend
Wenn der Anstieg der Tangente < 0, dann ist die Kurve monoton fallend

bleibt erhalten.

Bekanntlich liefert die erste Ableitung der Funktion f(x) die Steigungsfunktion f'(x). Damit lässt sich der Monotoniesatz wie folgt formulieren:

Monotoniesatz:

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Bestimmung der Monotoniebereiche

Beispiel:

Aus dem Funktionsgraphen lassen sich häufig die Monotoniebereiche mehr oder weniger genau ablesen.

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Beispiel:

Folgende Monotoniebereiche lassen sich aus dem Graphen ablesen:

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Mit der Monotonie werden wir uns bei der Kurvendiskussion befassen. Dort gibt es dann auch Aufgaben dazu.



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