Quadratische Gleichungen und p-q-Formel

Reinquadratische Gleichung

Bis jetzt haben wir uns mit Gleichungen beschäftigt, bei denen die Variable x nur in der 1. Potenz steht, also lineare Gleichungen. In diesem Beitrag geht es um das Lösen  quadratischer Gleichungen, also in denen x potenziert wird, siehe Potenzen, Wurzeln und ihre Rechengesetze.

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Erläuterungen zum Betrag

Jemand gewinnt 120 €, wir sagen auch er gewinnt einen Geldbetrag von 120 €.
Jemand bekommt einen Strafzettel über 120 €, wir sagen auch er hat einen Geldbetrag von 120 € zu zahlen.
Finanztechnisch bedeutet der Gewinn ein Plus und die Strafe ein Minus.

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In beiden Fällen handelt es sich um 120 €.

Der Betrag einer reellen Zahl ergibt sich, wenn das Vorzeichen auf + gewandelt wird.

Beispiele:

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Nicht ganz so einfach ist es, wenn wir den Betrag einer Variablen x bestimmen wollen.
| x | = x gilt leider nicht für alle reellen Zahlen.

Beispiel:

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Der Betrag einer reellen Zahl ist immer positiv.
Der Betrag gibt die Größe einer Zahl an, ohne dabei auf das Vorzeichen zu achten.




Lösungsvariante I

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Beispiel:

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Beispiel:

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Lösungsvariante II

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Satz vom Nullprodukt:

Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist.

Merke:

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Beispiel:

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Beispiel:

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Allgemeine Form der quadratischen Gleichung

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Für praktische Berechnungen empfiehlt es sich, diese Darstellung zu vereinfachen.
Dazu dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch a und erhalten die Normalform der quadratischen Gleichung.

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Lösungsverfahren mit Hilfe der quadratischen Ergänzung

Beispiel:

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Jede quadratische Gleichung lässt sich mit der Methode der quadratischen Ergänzung lösen.

Bemerkung zur Ergänzung der Quadrates:
Der Koeffizient von x wird halbiert, quadriert, addiert und wieder subtrahiert.
Unter Verwendung der 1. oder 2. binomischen Formel wird dann das Quadrat gebildet.




Die p-q-Formel

Wendet man auf die Normalform der quadratischen Gleichung das Verfahren der quadratischen Ergänzung an, so gelangt man zu der sogenannten p – q – Formel, mit der sich quadratische Gleichungen noch einfacher lösen lassen.

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Bei der Lösung einer quadratischen Gleichung sollte man zuerst die Diskriminante bestimmen, um Auskunft über die Anzahl der Lösungen zu bekommen.
Manchmal erspart man sich dadurch Rechenarbeit.

Beispiel:

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Beispiel:

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Nullstellen von quadratischen Funktionen

Um die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu bestimmen, ist stets eine quadratische Gleichung zu lösen.
Hat diese zwei Lösungselemente, so schneidet der Graph der quadratischen Funktion die x – Achse an zwei Stellen.
Hat sie nur eine Lösung, so berührt der Graph die x – Achse an einer Stelle (mit ihrem Scheitelpunkt).
Ist kein Lösungselement vorhanden, so verläuft der Graph oberhalb oder unterhalb der x – Achse, es gibt keinen Schnittpunkt.

Parabelplotter  Nach Eingabe der Koeffizienten der Funktionsgleichung, kann die Parabel gezeichnet werden.




Lösungskontrolle

Wie bei jeder Gleichung kann die Lösung dadurch kontrolliert werden, dass man die Lösungselemente in die Ursprungsgleichung einsetzt, also die Probe macht.
Bei quadratischen Gleichungen geht es jedoch auch einfacher, mit dem Wurzelsatz von Vieta:

Wurzelsatz von Vieta:

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Durch einfaches einsetzen in die Normalform der quadratischen Gleichung kann man das beweisen:

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Beispiel:

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Es lassen sich umgekehrt mit dem Satz von Vieta auch quadratische Gleichungen konstruieren, die ganz bestimmte Lösungen haben.

Beispiel:

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Linearfaktoren

Es gibt noch eine Möglichkeit quadratische Gleichungen zu konstruieren.

Beispiel:

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Zusammenfassung

f_0460: Verschiedene Typen von quadratischen Gleichungen

 

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Dieses Thema wird hier vertieft: Achsenschnittpunkte, p-q-Formel und Linearfaktoren

und Polynomgleichungen

Traingsaufgaben hierzu

Weitere Aufgaben hierzu noch auf www.brinkmann-du.de, wird auch bald für mobile Endgräte optimert.

123mathe.de wird laufend erweitert. Weitere Inhalte auf der alten Webseite brinkmann-du.de.
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