Tangente und Normale

Tangentensteigung

Wie wir bereits in dem Beitrag Steigung und Tangente gesehen haben, ist die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt P ( x0 | f (x0) ) gleichbedeutend mit der Steigung der Tangente in diesem Punkt. Nachfolgend soll nun die Gleichung einer solchen Tangente bestimmt werden. Dazu betrachten wir die Funktion f(x) und deren Ableitungsfunktion etwas genauer.

f_0528: quadratische Funktion und deren Ableitung
Hierz stellen wir sowohl für die Funktion, wie auch für deren Ableitungsfunktion eine Wertetabelle auf:

f_0529

Aus der Wertetabelle kann der Scheitelpunkt der quadratischen Funktion f(x) abgelesen werden:

f_0530
Das bedeutet, im Scheitelpunkt S ist die Steigung von f(x) Null.
Die Tangente in S hat ebenfalls die Steigung Null, sie verläuft dort waagerecht.

Hier sehen Sie die Graphen:

mc_097

f_0531

Merke:

Einsetzen eines x- Wertes in f(x) ergibt die y- Koordinate von P ( x | y ).
Einsetzen eines x- Wertes in f'(x) ergibt die Steigung des Graphen oder die Steigung der Tangente von f(x) im Punkt P ( x | y ).




Tangentengleichung, Normalengleichung

Die Normale ist eine Gerade, die senkrecht zur Tangente an einen Graphen durch deren Berührungspunkt verläuft.
Gegeben ist die Funktion
f_0533
Die Gleichung für Tangente und Normale sollen an der Stelle x0 = 2, also für den Punkt P ( 2 | f(2) ) bestimmt werden.

Vorüberlegung:

Die Tangente ist eine Gerade mit der Gleichung:
f_0534: Tangentengleichung
Die Normale ist eine dazu senkrechte Gerade:
f_1902: Normalengleichung
Die Steigung der Tangente entspricht der Steigung des Graphen von f(x) im Punkt P.

Vorgehensweise:

Der Wert für x0 wird in den Funktionsterm von f(x) eingesetzt. Damit erhält man die fehlende Koordinate von P.
Die Funktion f(x) wird abgeleitet.
Der Wert für x0 wird in den Ableitungsterm f'(x) eingesetzt. Da f'(x) die Steigungsfunktion von f(x) ist, erhält man somit die Steigung mt der Tangente in P. Die Steigung mt und die Koordinaten des Punktes P werden nun in die Tangentengleichung eingesetzt. Damit erhält man den Ordinatenabschnitt bt der Tangente und die Tangentengleichung ist fertig.
Um die Gleichung der Normalen zu erhalten, verfährt man analog, verwendet für deren Steigung jedoch den negativ reziproken Tangentensteigungswert.
Nachfolgende Rechnung soll das verdeutlichen.

Rechnung:

f_0535

Die Methode zur Berechnung der Tangente ist vergleichbar mit der, eine Geradengleichung aufzustellen, von der man die Steigung und den Punkt P kennt, durch den sie verläuft.
Siehe auch Berechnung der Funktionsgleichung einer Geraden Fall I

Hier sehen Sie die Graphen:
mc_098




Allgemeine Herleitung der Tangenten – und Normalengleichung

Damit man nicht in jedem einzelnen Fall obige Rechnung erneut durchführen muss, leiten wir nun eine allgemeine Formel her.
Die Tangente soll den Graphen von f(x) im Punkt P (x0 | f(x0) ) berühren.
Die Normale soll den Graphen von f(x) im Punkt P (x0 | f(x0) ) senkrecht schneiden.

Herleitung:

f_0536: Allgemeine Herleitung der Tangenten- und Normalengleichung


Anwendungsbeispiel:

Eine Leiter soll so an einen Heuhaufen gelehnt werden, dass sie den Haufen in einer Höhe von 3 m vom Boden aus berührt.
Der Heuhaufen hat die Form einer umgestülpten Parabel, ist 4 m hoch und hat an der Basis einen Durchmesser von ebenfalls 4 m.
Unter welchem Winkel muss die Leiter angelegt werden?
Wie weit vom Fuß des Heuhaufens muss die Leiter auf dem Boden aufgesetzt werden?

des_049

Wir legen die y – Achse durch den Scheitelpunkt des Graphen.

Die Parabel hat die Funktionsgleichung:
f_0537

des_050

Rechnung:

f_0538

Der Abstand vom Heuhaufen, wo die Leiter aufgesetzt werden muss, ist der Abstand zwischen der Nullstelle von f(x) und der Nullstelle von t(x).

Nullstellen:

f_0539

Die Leiter muss 0,5 m vom Fuß des Heuhaufens entfernt auf den Boden aufgesetzt werden.
Aus dieser Aufgabenstellung haben wir gelernt, wie man die Gleichung einer Tangente bestimmt, die den Graphen in einem definierten Punkt berührt.

Beispiel:

Die Gleichung der Tangente soll ermittelt werden,
die den Graphen von f(x) im Punkt P berührt.
f_0540

Zusammenfassung:

f_0541: Tangenten- und Normalengleichung

Wie geht man vor, wenn die Formel angewendet wird?

Die Koordinate x0 wird als bekannt vorausgesetzt.
Die 2. Koordinate von P erhält man durch einsetzen von x0 in den Term von f(x).
Die Ableitung von f(x), also f'(x) wird gebildet.
Die Steigung der Tangente erhält man durch einsetzen von x0 in den Term von f'(x).
Die berechneten Werte setzt man in die Gleichung für Tangente bzw. Normale ein und vereinfacht diese durch umformen.


Hier finden Sie Trainingsaufgaben

Weitere Aufgaben auch hier: Aufgaben Differential- und Integralrechnung VI



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