Kategorien
Differentialrechnung GTR grafikfähiger Taschenrechner Mathematik

Einführung in die Kurvendiskussion mit Beispielen

Einführung in die Kurvendiskussion mit Beispielen In diesem Beitrag erkläre ich zuerst allgemein, was eine Kurvendiskussion ist und das man dabei beachten sollte. Danach gebe ich eine Anleitung für die Kurvendiskussion, die sich bewährt hat. Anschließend werde ich dies anhand eines Beispiels erklären und dabei auch die Berechnung mit dem Casio fx-CG20 und Casio fx-CG50 […]

Kategorien
Aufgabensammlung Ganzrationale Funktionen Mathematik weitere ganzrationale Funktionen

Aufgaben Symmetrie Verlauf ganzrationale Funktionen

Trainingsaufgaben zu Symmetrie und Verlauf ganzrationaler Funktionen Machen Sie eine Aussage über die Symmetrieeigenschaften, den Verlauf und die Anzahl der Nullstellen folgender ganzrationaler Funktionen. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Hier finden Sie die Lösungen und hier die Theorie dazu: Ganzrationale Funktionen n-ten Grades Gefällt dir die Seite? Dann freuen wir […]

Kategorien
Aufgabensammlung Ganzrationale Funktionen Mathematik weitere ganzrationale Funktionen

Lösungen Symmetrie Verlauf ganzrationale Funktion

Lösungen zu den Trainingsaufgaben zu Symmetrie und Verlauf ganzrationaler Funktionen Machen Sie eine Aussage über die Symmetrieeigenschaften, den Verlauf und die Anzahl der Nullstellen folgender ganzrationaler Funktionen. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.   9. 10. Hier finden Sie die Aufgaben und hier die Theorie dazu: Ganzrationale Funktionen n-ten Grades Hier finden Sie […]

Kategorien
Differentialrechnung Mathematik

Extrempunkte berechnen Differentialrechnung

Extrempunkte berechnen in der Differentialrechnung Bevor ich erkläre, wie man Extrempunkte in der Differentialrechnung berechnet, muss ich einige Begriffe definieren: Hochpunkt, relatives (lokales) Maximum , Tiefpunkt und relatives (lokales) Minimum. Danach zeige ich, wie man die Extrempunkte des Graphen einer Funktion findet. Dann zeige ich den Nachweis für Extrempunkte über Vorzeichenwechsel von f'(x) und mit […]

Kategorien
Differentialrechnung Mathematik

Aufgaben Extrempunkte ganzr Funktion dritten Grades

Trainingsaufgaben Extrempunkte ganzrationaler Funktionen dritten Grades Untersuchen Sie die folgenden ganzrationalen Funktionen auf Extremwerte und bestimmen Sie gegebenenfalls die Extrempunkte.     Hier finden Sie die Lösungen und hier die Theorie: Extrempunkte berechnen Hier finden Sie eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Differentialrechnung, darin auch Links zu weiteren Aufgaben. Gefällt dir die Seite? Dann […]

Kategorien
Differentialrechnung Mathematik

Lösungen Aufgaben Extrempunkte g F dritten Grades

Lösungen der Trainingsaufgaben: Extrempunkte ganzrationaler Funktionen dritten Grades mit komplettem Lösungsweg Untersuchen Sie jeweils die ganzrationalen Funktionen auf Extremwerte und bestimmen Sie gegebenenfalls die Extrempunkte. Zeichnen Sie die Graphen der Funktion und deren beider Ableitungen in ein Koordinatensystem. Aufgabe Berechnung: Die Graphen: 2. Aufgabe Berechnung: Die Graphen: 3. Aufgabe Berechnung: Die Graphen: 4. Aufgabe Berechnung: […]

Kategorien
Aufgabensammlung Differentialrechnung Mathematik

Lösungen Aufgabe zur Differentialrechnung IX

Lösungen der Aufgabe zur Differentialrechnung IX mit komplettem Lösungsweg 1a) Die Ableitung f'(x) hat bei x1/2 einfache Nullstellen und wechselt das Vorzeichen. Also hat f(x) zwei Extrempunkte. 1b) Die Ableitung f'(x) hat bei x1/2 einfache Nullstellen und wechselt das Vorzeichen. Also hat f(x) zwei Extrempunkte. 1c) Die Ableitung f'(x) hat an der Stelle x1/2 = […]

Kategorien
Differentialrechnung Mathematik

Aufgaben zur Differentialrechnung IX

Aufgaben zur Differentialrechnung IX Berechnen Sie die Kurvenpunkte mit waagerechter Tangente. Sind diese Kurvenpunkte Extrempunkte? Begründen Sie Ihre Entscheidung. a) b) c) Berechnen Sie die lokalen Extrempunkte des Graphen der Funktion f(x). Zeichnen Sie den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem. Bestimmen Sie a so, dass die Funktion f(x)in x = 2 eine Extremstelle hat. Um […]

Kategorien
Differentialrechnung Mathematik

Wendepunkt, Sattelpunkt und Wendetangente

Wendepunkt, Sattelpunkt und Wendetangente berechnen Im letzten Beitrag hatten wir uns mit Extrempunkten in der Differentialrechnung beschäftigt. Diese brauchen wir um Wendepunkt, Sattelpunkt und Wendetangente zu berechnen. Zuerst erkläre ich anhand von Beispielen aus der Praxis diese Begriffe. Damit es leicht verständlich ist, stelle ich zuerst Wendepunkte beim Radfahren vor, danach Wendepunkte in der Mathematik. […]

Kategorien
Aufgabensammlung Differentialrechnung Mathematik

Lösungen Trainingsaufgaben Wendepunkt ganzr Funkt

Lösungen der Trainingsaufgaben zum Wendepunkt ganzrationaler Funktionen mit komplettem Lösungsweg Untersuchen Sie die folgenden ganzrationalen Funktionen auf Wendestellen und bestimmen Sie gegebenenfalls die Wendepunkte. 1. Die Graphen: 2. Die Graphen: 3. Die Graphen: 4. Die Graphen: 5. Die Graphen: 6. Die Graphen: 7. Die Graphen: 8. Die Graphen: 9. Die Graphen: 10. Die Graphen: Hier […]

Kategorien
Aufgabensammlung Differentialrechnung Mathematik

Trainingsaufgaben Wendepunkt berechnen

Trainingsaufgaben zum Wendepunkt ganzrationaler Funktionen Untersuchen Sie die folgenden ganzrationalen Funktionen auf Wendestellen und bestimmen Sie ggf. die Wendepunkte. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Hier finden Sie die Lösungen und hier eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Differentialrechnung. Gefällt dir die Seite? Dann freuen wir uns über ein like […]

Kategorien
Differentialrechnung Mathematik

Monotonieeigenschaften in der Differentialrechnung

Monotonieeigenschaften in der Differentialrechnung In diesem Beitrag werde ich zuerst erklären, was wir in der Differentialrechnung unter Monotonie verstehen. Danach stelle ich den Monotoniesatz vor und zeige anhand von anschaulichen Beispielen, wie man den Monotoniebereich bestimmt. Monotonie, Monotoniesatz   In beiden Fällen spricht man von einer monotonen Funktion, und zwar von einer monoton wachsenden Funktion, […]

Kategorien
Aufgabensammlung Differentialrechnung Mathematik

Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung VIII

Lösungen zur Differentialrechnung aus der Praxis 1a) Der Graph der Grenzkostenfunktion ist eine nach oben geöffnete Parabel. Im Scheitelpunkt dieser sind die Grenzkosten am geringsten. 1b) 1c) 1d) 1e) Die Graphen: 2a) Von 0 bis 1 s : Bewegung mit gleichbleibender Geschwindigkeit v = 2 m/s Von 1 bis 2 s: Stillstand v = 0 […]

Kategorien
Aufgabensammlung Differentialrechnung Mathematik

Aufgaben zur Differentialrechnung aus der Praxis

Aufgaben zur Differentialrechnung VIII aus der Praxis 1. Die Gesamtkosten eines Betriebes werden bei einer maximalen Ausbringungsmenge von 10 ME beschrieben durch K(x). Der Verkaufspreis pro ME beträgt 28 GE. a) Bestimmen Sie die Ableitung der Kostenfunktion (Differentialkostenfunktion oder Grenzkostenfunktion) und zeichnen Sie den Graphen. Beschreiben Sie den Graphen. b) Berechnen Sie die minimalen Differentialkosten. […]

Kategorien
Differentialrechnung Mathematik

Differentialrechnung Anwendungen aus Betriebswirtschaft und Naturwissenschaften

Differentialrechnung in der Praxis Nachdem wir die Theorie der Differentialrechnung in mehreren Beiträgen kennengelernt haben, stelle ich hier anhand von Beispielen die Anwendungen in der Praxis vor. Zuerst die Betriebswirtschaftliche Anwendungen der Differentialrechnung. Dazu muss ich die Begriffe Kostenfunktion, Differentialkosten und Grenzkosten erläutern. Danach stelle ich die Naturwissenschaftliche Anwendungen der Differentialrechnung vor. Betriebswirtschaftliche Anwendungen der […]

Kategorien
Aufgabensammlung Differentialrechnung Mathematik

Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung VI

Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung VI mit komplettem Lösungsweg 1a) 1b) 1c) Eine waagerechte Tangente an f(x) liegt in den Punkten vor, wo die Steigung Null ist. 1d) 1e) 1f) Die Gerade, die f(x) in N ( 3 | 0) schneidet, ist die Normale in diesem Punkt. Die Graphen: 2a) Charakteristische Punkte sind Nullstellen, die […]

Kategorien
Aufgabensammlung Differentialrechnung Mathematik

Aufgaben zur Differentialrechnung Tangente

Aufgaben zur Differentialrechnung VI 1. a) An welchen Stellen hat f(x) die Steigung 2? b) Geben Sie ohne Rechnung eine weitere Stelle mit der gleichen Steigung an. Begründen Sie Ihre Vermutung. c) In welchen Punkten hat f(x) eine waagerechte Tangente? Geben Sie die Gleichung an. d) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an f(x) im […]

Kategorien
Differentialrechnung Mathematik

Tangente und Normale

Tangente, Normale berechnen Tangentensteigung Wie wir bereits in dem Beitrag Steigung und Tangente gesehen haben, ist die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt P ( x0 | f (x0) ) gleichbedeutend mit der Tangentensteigung in diesem Punkt. Deshalb werde ich in diesem Beitrag zeigen, wie man Tangente und Normale berechnet, mit anderen Worten: Wie man […]

Kategorien
Aufgabensammlung Differentialrechnung Mathematik

Lösungen der Trainingsaufgaben Tangente, Normale

Lösungen der Trainingsaufgaben zu Tangente und Normale mit komplettem Lösungsweg Tangente an den Graphen von f(x) im Punkt P0( x0 | f(x0) ). Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes P0 und die Gleichung der Tangente durch diesen Punkt. 1. Die Graphen: 2. Die Graphen: 3. Berechnung: Die Graphen: 4. Berechnung: Die Graphen: 5. Berechnung: Die […]

Kategorien
Aufgabensammlung Differentialrechnung Mathematik

Trainingsaufgaben zu Tangente und Normale

Trainingsaufgaben zu Tangente und Normale Tangente an den Graphen von f(x) im Punkt P( x0 | f(x0) ). Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes P0 und die Gleichung der Tangente durch diesen Punkt. Bemerkungen zur Tangente: Die Steigung eines Graphen in einem Punkt, entspricht der Steigung der Tangente in diesem Punkt. Über die erste Ableitung, […]

Kategorien
Aufgabensammlung Differentialrechnung Mathematik

Lösungen zu den Aufgaben zur Differentialrechnung VI

Lösungen zu den Aufgaben zur Differentialrechnung VI mit komplettem Lösungsweg Leiten Sie folgende Funktionen dreimal ab. 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f)   2a) 2b) 2c) 2d) Die Anwendung der Produktregel wäre hier zu aufwendig. 2e) 2f)   3a) 3b) 3c) 3d) 3e) 3f)   4a) 4b) Die Anwendung der Produktregel wäre hier zu aufwendig. […]

Kategorien
Aufgabensammlung Differentialrechnung Mathematik

Aufgaben zur Differentialrechnung VI

Aufgaben zur Differentialrechnung VI Leiten Sie folgende Funktionen dreimal ab. 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f)   2a) 2b) 2c) 2d) 2e) 2f)   3a) 3b) 3c) 3d) 3e) 3f)   4a) 4b) 4c) 4d) 4e) 4f) 4g) 4h)   5. 5a) 5b) In welchem Punkt hat f(x) eine Tangente mit der Steigung 3? 5c) […]

Kategorien
Differentialrechnung Mathematik

Ableitungen höherer Ordnung

Ableitungen höherer Ordnung In diesem Beitrag stelle ich die Funktionsgraphen einiger Funktionen mit ihren dazugehörigen Ableitungsfunktionen vor. Im letzten Beitrag hatte ich die Differentionsregeln erklärt. Mit deren Hilfe konnten Sie einfach Funktionen ableiten. Außer der ersten Ableitung einer Funktion kennt man jedoch auch Ableitungen höherer Ordnung, die durch weiteres Differenzieren entstehen. Durch nochmaliges Differenzieren von […]

Kategorien
Aufgabensammlung Differentialrechnung Mathematik

Lösungen Aufgaben Differentiationsregeln

Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung V Differentiationsregeln mit komplettem Lösungsweg 1. Leiten Sie ab! 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 1g) 1h) 1i) 1j)   2. Bilden Sie die Ableitung. Verwenden Sie die Ihnen bekannten Ableitungsregeln. Notieren Sie die Regel, die Sie benutzten. 2a) Konstantenregel 2b) Konstantenregel 2c) Konstantenregel 2d) Summenregel 2e) Summenregel, Konstantenregel 2f) […]

Kategorien
Aufgabensammlung Differentialrechnung Mathematik

Aufgaben zu Differentiationsregeln

Aufgaben zur Differentialrechnung V Differentiationsregeln 1. Leiten Sie ab. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)   2. Bilden Sie die Ableitungen folgender Funktionen. Verwenden Sie die Ihnen bekannten Ableitungsregeln. Notieren Sie die Regel, die Sie jeweils benutzten. a) b) c) d) e) f) g) h) i)   3. Bilden Sie die […]

Kategorien
Differentialrechnung Mathematik

Sekantensteigung, Tangentensteigung

Nachdem wir uns in den letzten beiden Beiträgen mit Steigung, Tangente. Differentialquotient und Ableitung beschäftigt haben, will ich die die Differentialrechnung noch einmal von einer anderen Seite erklären. Diesmal mit dem Schwerpunkt auf Sekantensteigung, Tangentensteigung und Steigungsfunktion In diesem Beitrag zeige ich zuerst anhand eines Beispiels, dass die Steigung einer Geraden sich also auch mit […]

Kategorien
Aufgabensammlung Differentialrechnung Mathematik

Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung IV

Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung IV 1.Leiten Sie jeweils ab. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 2.Leiten Sie ab.  a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 3.Leiten Sie ab.  a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 4.Leiten Sie ab.  a)  b)  c)  d)  e)  f)  […]

Kategorien
Aufgabensammlung Differentialrechnung Mathematik

Aufgaben zur Differentialrechnung IV

Aufgaben zur Differentialrechnung IV Leiten Sie jeweils ab. 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 1g) 1h) 1i) 1j) 2a) 2b) 2c) 2d) 2e) 2f) 2g) 2h) 2i) 2j) 3a) 3b) 3c) 3d) 3e) 3f) 3g) 3h) 3i) 3j) 4a) 4b) 4c) 4d) 4e) 4f) 4g) 4h) 4i) 4j) Hier finden Sie die Lösungen und hier […]

Kategorien
Aufgabensammlung Differentialrechnung Mathematik

Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung III

Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung III mit komplettem Lösungsweg Leiten Sie ab. 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 1g) 1h) 1i) 1j) 2a) 2b) 2c) 2d) 2e) 2f) 2g) 2h) 2i) 2j) 3a) 3b) 3c) 3d) 3e) 3f) 3g) 3h) 3i) 3j) 4a) 4b) 4c) 4d) 4e) 4f) 4g) 4h) 4i) 4j) Hier finden Sie […]

Kategorien
Aufgabensammlung Mathematik

Aufgaben zur Differentialrechnung III

Aufgaben zur Differentialrechnung III Leiten Sie jeweils ab! 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 1g) 1h) 1g) 1h) 2a) 2b) 2c) 2d) 2e) 2f) 2g) 2h) 2i) 2j) 3a) 3b) 3c) 3d) 3e) 3f) 3g) 3h) 3i) 3j) 4a) 4b) 4c) 4d) 4e) 4f) 4g) 4h) 4i) 4j) Hier finden Sie die Lösungen und hier […]

Kategorien
Aufgabensammlung Differentialrechnung Mathematik

Lösungen Aufgaben Differentialrechnung II Steigung

Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung II mit komplettem Lösungsweg 1a) Berechnen Sie die Ableitung von f(x) an den Stellen x = 2 und x = u. Die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle gibt die Steigung des Funktionsgraphen an dieser Stelle an. Statt Steigung sagt man auch momentane Änderungsrate. 1b) Berechnen Sie die Ableitung […]

Kategorien
Aufgabensammlung Differentialrechnung Mathematik

Aufgaben Differentialrechnung II Steigung berechnen

Aufgaben zur Differentialrechnung II, ableiten, Steigung berechnen 1. Berechnen Sie die Ableitung von f(x) an den Stellen x = 2 und x = u. a) b) c) d) 2. Leiten Sie ab. a) b) c) d) e) f) 3. Leiten Sie ab. a) b) c) d) e) f) 4. Leiten Sie ab. a) b) c) […]

Kategorien
Aufgabensammlung Differentialrechnung Mathematik

Lösungen Aufgaben Differentialrechnung I Steigung

Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung I Steigung und Tangente mit komplettem Lösungsweg 1a) b) Die Wasserstoffproduktion pro Zeiteinheit wird immer geringer c) 2. 3a) 3b) Die Gleichung der Sekante s(x) durch die Punkte P und Q ist genauso zu bestimmen wie die Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte. 3c) 3d) 4. Die momentane Geschwindigkeit ist […]

Kategorien
Aufgabensammlung Differentialrechnung Mathematik

Aufgaben Differentialrechnung I Steigung, Tangente

Aufgaben zur Differentialrechnung I Steigung und Tangente 1. Chemische Reaktionen können mit unterschiedlicher Geschwindigkeit ablaufen. Bringt man z.B. Zink in Salzsäure, so entsteht Wasserstoff. Die folgende Tabelle gibt die Menge des Wasserstoffs in Abhängigkeit von der Zeit an. a) Erstellen Sie hierzu ein Diagramm. b) Was lässt sich über die Wasserstoffproduktion aussagen? b) Berechnen Sie […]

Kategorien
Differentialrechnung Mathematik

Einführung in die Differentialrechnung

Einführung in die Differentialrechnung In diesem Beitrag zeige ich zuerst anhand des Beispiels, wie die Steigung eines Flugzeuges schwankt. Dadurch wird klar, wofür man die Differentialrechnung braucht. Danach erkläre ich, wie man die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt berechnet. Zuletzt stelle ich ein mathematisches Verfahren zur Berechnung der momentanen Änderungsrate vor. Steigung eines Funktionsgraphen […]