Hier erkläre ich zuerst, was das kleinste gemeinsame Vielfache ist. Danach zeige ich, wie man es berechnet. Das kann man ganz einfach mit einer Tabelle machen. Außerdem kann man das kgV mit Hilfe von Primzahlen berechnen.
Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache?
Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier Zahlen ist die kleinste Zahl, die ein Vielfaches dieser beiden Zahlen ist. Anders ausgedrückt: Das kgV ist die kleinste Zahl, die durch die beiden Zahlen ohne Rest teilbar ist.
Beispiel:
Wir suchen das kgV von 12 und 18, also die kleinste Zahl, die sowohl durch 12, als auch durch 18 ohne Rest teilbar ist. Das ist in diesem Fall die 36.
Schreibweise in der Mathematik:
In der Mathematik gibt es für alles eine bestimmte Schreibweise. Hier zum Beispiel: kgV(12, 18) = 36.
Wofür braucht man das?
Wenn man Brüche addiert oder subtrahiert, muss man die Nenner vorher gleichnamig machen. Das habe ich bei der Einführung ins Bruchrechnen erklärt.
Wie berechnet man das kleinste gemeinsame Vielfache?
Es zwei Methoden um das kgV zu berechnen:
1. kgV mit Zahlenreihe bestimmen:
Wir multiplizieren dabei jede Zahl, für die wir das kgV suchen solange, bis wir in beiden Reihen eine gemeinsame Zahl finden.
Beispiel:
12: 24, 36, 48, 60, 72
18: 36, 54, 72
Damit haben wir zwei Zahlen gefunden, die ein Vielfaches von 12 und 18 sind. 36 ist dabei die Kleinste.
2. kgV mit Primfaktorzerlegung bestimmen:
Dabei teilt man die Zahlen solange wir möglich. Anders ausgedrückt: man zerlegt sie in Primzahlen. Das nennt man Primfaktorzerlegung. Primzahlen sind ja Zahlen, die nur durch sich selbst und 1 teilbar sind. Wenn man kleine Zahlen hat, empfehle ich alles so untereinander zu schreiben:
Beispiel:
| Die Zahl | in Primzahl zerlegt: | in Primzahl zerlegt: | in Primzahl zerlegt: | in Primzahl zerlegt: | |
| 12 = | 2 · | 2 · | 3 | ||
| 18 = | 2 · | 3 · | 3 | ||
| 36= | 2 · | 2 · | 3 · | 3 | kgV |
Dann braucht man nur jede Primzahl, egal in oft sie in jeder Spalte vorkommt, unten einmal hinzuschreiben und das Ergebnis zu multiplizieren. Denn es ist egal, in wie vielen Zahlen eine bestimmte Primzahl vorkommt, wir suchen ja das gemeinsame Vielfache.
Man kann das statt in einer Tabelle ebenfalls mit Potenzen schreiben, zum Beispiel: 12 = 22 · 3 ; 18 = 2 · 33.
Das kgV berechnet man dann, indem man jeweils die höchsten Potenzen der Primzahlen multipliziert. Die habe ich rot markiert, zum Beispiel: 22 · 33 = 4 · 9 = 36. Das ist besser bei größeren Zahlen, denn da ist eine Tabelle manchmal zu unübersichtlich.
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