Bruchrechnung Regeln
Anhand eines leckeren Beispiels definiere ich hier als erstes den Bruch in der Mathematik. Danach zeige ich anhand der Zahlengeraden eine negative Bruchzahl, anschließend eine gemischte Zahl. Schließlich stelle ich die wichtigsten Regeln zur Bruchrechnung vor: Brüche kürzen, erweitern und gleichnamig machen, Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren.
Schokoladenbeispiel
1 Tafel Schokolade soll gleichmäßig an 4 Personen verteilt werden. Dann erhält jede Person ein Viertel der Tafel. Das schreiben wir so:
| Wir schreiben | 1 : 4 = \dfrac{1}{4} |  |
Was über dem Bruchstrich steht, nennt man Zähler, was darunter steht, Nenner.
Aufteilungsbeispiele
Wenn wir mehr Schokolade haben und drei Tafeln an vier Personen verteilen, bekommt jeder 3 mal ein Viertel einer Tafel. (Wir müssen dann allerdings aufpassen, dass wir nicht alles auf einmal essen, sonst bekommen wir Bauchschmerzen!) Das kann man so schreiben:
| Anz. der Tafeln | Anz. d. Personen | Bruch |
| 3 | 4 | 3 : 4 = \frac{3}{4} |
| 7 | 9 | 7 : 9 = \frac{7}{9} |
Definition Bruch in der Mathematik
| Ein Bruch ist eine Zahl mit der Form: \dfrac{Zähler}{Nenner} Zähler und Nenner sind ganze Zahlen ( \in \mathbb{Z} ); Nenner \neq 0 . Der Bruchstrich ist gleichbedeutend mit einem Divisionszeichen. |
Negative Bruchzahl
Beispiel
(-1) : 4 = \dfrac{-1}{4} = - \dfrac{1}{4}
Bruchzahlen lassen sich auch auf der Zahlengeraden darstellen.
Gemischte Zahl
Sie bestehen aus ganzen Zahlen und Brüchen.
Beispiel:
\dfrac{5}{3} = 5 : 3 = 1 \, Rest \, 2 \qquad also \, \dfrac{5}{3} = 1\dfrac{2}{3} umgekehrt 1\dfrac{2}{3} = \dfrac{1 \cdot 3 +2}{3} = \dfrac{5}{3}
Die wichtigsten Regeln zur Bruchrechnung
Brüche kürzen und erweitern
Man kürzt Brüche, indem man Zähler und Nenner durch die selbe Zahl dividiert.
\dfrac{2}{6} = \dfrac{2 : 2}{6 : 2} = \underline{\underline{\dfrac{1}{3}}} \dfrac{9}{3} = \dfrac{9 : 3}{3 : 3} = \dfrac{3}{1} = \underline{\underline{3}}
Brüche erweitern heißt, man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert.
\dfrac{2}{5} = \dfrac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \underline{\underline{\dfrac{4}{10}}} \dfrac{3}{7} = \dfrac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \underline{\underline{\dfrac{9}{21}}}
Man kann jede ganze Zahl als Bruch mit dem Nenner 1 darstellen. Das ist besonders hilfreich bei der Division von Brüchen und Zahlen.
\dfrac{3}{4} : 2 = \dfrac{3}{4} : \dfrac{2}{1} = \dfrac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} = \underline{\underline{\dfrac{3}{8}}} 3 : \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{1} : {2}{5} = \dfrac{3 \cdot 5}{1 \cdot 2} = \underline{\underline{\dfrac{15}{2}}}
Brüche addieren
Gleichnamige Brüche addieren heißt, die Zähler addieren und den gemeinsamen Nenner beibehalten.
\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5} = \dfrac{3 + 4}{5} = \underline{\underline{\dfrac{7}{5}}}
Brüche subtrahieren
Dabei gehen wir genauso vor wie bei der Addition.
\dfrac{x}{3} - \dfrac{2x}{3} = \dfrac{x - 2x}{3} = \underline{\underline{- \dfrac{x}{3}}}
Brüche gleichnamig machen
Bevor man ungleichnamige Brüche addieren kann, muss man sie erst gleichnamig machen und dann addieren.
\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{5} = \dfrac{5}{10} + \dfrac{6}{10} = \underline{\underline{ \dfrac{11}{10}}} \dfrac{x}{4} + \dfrac{3x}{2} = \dfrac{x}{4} + \dfrac{6x}{4} = \dfrac{7x}{4} = \underline{\underline{ \dfrac{7}{4}x}}
Brüche multiplizieren
Man multipliziert Brüche, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.
\dfrac{4}{7} \cdot 3 = \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{3}{1} = \dfrac{4 \cdot 3}{7 \cdot 1} = \underline{\underline{ \dfrac{12}{7}}} \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{x}{5} = \dfrac{3 \cdot x}{4 \cdot 5} = \dfrac{3x}{20} = \underline{\underline{\dfrac{3}{20}x}}
Brüche dividieren
Man dividiert Brüche, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.
\dfrac{3}{8} : \dfrac{9}{4} = \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{4}{8} \cdot \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} = \underline{\underline{\dfrac{1}{6}}} \newline \dfrac{\frac{3a}{8b}}{\frac{9c}{2b}} = \dfrac{3a}{8b} : \dfrac{9c}{2b} = \dfrac{3a \cdot 2b}{8b \cdot 9c} = \dfrac{a}{4 \cdot 3c} = \underline{\underline{\dfrac{1}{12c}}}
Beispiele:
-
a) \dfrac{\frac{2}{5}}{3} = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{3} = \underline{\underline{\dfrac{2}{15}}} b) \dfrac{\frac{3}{7}}{t} = \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{1}{t} = \underline{\underline{\dfrac{3}{7t}}} c) \dfrac{1}{\frac{3}{8}} = \underline{\underline{\dfrac{8}{3}}}
-
a) \dfrac{1}{\frac{t}{4}} = \underline{\underline{\dfrac{4}{t}}} b) \dfrac{1}{\frac{t}{2} + 1} = \dfrac{1}{\frac{t + 2}{2}} = \underline{\underline{\dfrac{2}{t + 2}}} c) \dfrac{-1 + 8t}{8} = \underline{\underline{- \dfrac{1}{8} + t}}
-
a) \dfrac{-4}{2} = - \dfrac{4}{2} = \dfrac{4}{-2} = \underline{\underline{-2}} b) \dfrac{-x}{-a} = \underline{\underline{\dfrac{x}{a}}}
Beachten Sie:
\dfrac{0}{3} = 0 , aber \dfrac{3}{0} ist nicht definiert.
Hier finden Sie Aufgaben dazu und die Lösungen der Aufgaben
und Aufgaben dazu I und Lösungen der Aufgaben I
und Aufgaben II und die Lösungen II
Nächster Theorieteil: Dezimalbrüche
Hier finden Sie eine Übersicht über alle Beiträge zu den mathematischen Grundlagen, dort auch Links zu weiteren Aufgaben.
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