In diesem Beitrag erkläre ich die Bruchrechnung leicht verständlich und mit vielen anschaulichen Beispielen. Vor allem erkläre ich die wichtigsten Bruchregeln: Brüche kürzen, erweitern, gleichnamig machen, addiere, subtrahieren, multiplizieren und dividieren.
- Leckere Beispiele
- Definition Bruch in der Mathematik
- Negative Bruchzahl und gemischte Zahlen auf der Zahlengeraden
- Regeln zur Bruchrechnung:
- kürzen
- erweitern
- gleichnamig machen
- addieren
- subtrahieren
- multiplizieren
- dividieren
1. Schokoladenbeispiele
1 Tafel Schokolade soll gleichmäßig an 4 Personen verteilt werden. Dann erhält jede Person ein Viertel der Tafel. Das schreiben wir so:
| Wir schreiben | 1 : 4 = \dfrac{1}{4} |  |
Was über dem Bruchstrich steht, nennt man Zähler, was darunter steht, Nenner.
Aufteilungsbeispiele
Wenn wir mehr Schokolade haben und drei Tafeln an vier Personen verteilen, bekommt jeder 3 mal ein Viertel einer Tafel. (Wir müssen dann allerdings aufpassen, dass wir nicht alles auf einmal essen, sonst bekommen wir Bauchschmerzen!) Das kann man so schreiben:
| Anz. der Tafeln | Anz. d. Personen | Bruch |
| 3 | 4 | 3 : 4 = \frac{3}{4} |
| 7 | 9 | 7 : 9 = \frac{7}{9} |
Definition Bruch in der Mathematik
| Ein Bruch ist eine Zahl mit der Form: \dfrac{Zähler}{Nenner}
Zähler und Nenner sind ganze Zahlen ( \in \mathbb{Z} ); Nenner \neq 0 . Der Bruchstrich ist gleichbedeutend mit einem Divisionszeichen. |
Negative Bruchzahl
Beispiel
(-1) : 4 = \dfrac{-1}{4} = - \dfrac{1}{4}
Bruchzahlen lassen sich auch auf der Zahlengeraden darstellen.
Gemischte Zahl
Sie bestehen aus ganzen Zahlen und Brüchen.
Beispiel:
\dfrac{5}{3} = 5 : 3 = 1 \, Rest \, 2 \qquad also \, \dfrac{5}{3} = 1\dfrac{2}{3} umgekehrt: 1\dfrac{2}{3} = \dfrac{1 \cdot 3 +2}{3} = \dfrac{5}{3}
Die wichtigsten Regeln zur Bruchrechnung
Brüche kürzen und erweitern
Man kürzt Brüche, indem man Zähler und Nenner durch die selbe Zahl dividiert.
\dfrac{2}{6} = \dfrac{2 : 2}{6 : 2} = \underline{\underline{\dfrac{1}{3}}} \dfrac{9}{3} = \dfrac{9 : 3}{3 : 3} = \dfrac{3}{1} = \underline{\underline{3}}
\dfrac{2}{5} = \dfrac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \underline{\underline{\dfrac{4}{10}}} \dfrac{3}{7} = \dfrac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \underline{\underline{\dfrac{9}{21}}}
Man kann jede ganze Zahl als Bruch mit dem Nenner 1 darstellen. Das ist besonders hilfreich bei der Division von Brüchen und Zahlen.
\dfrac{3}{4} : 2 = \dfrac{3}{4} : \dfrac{2}{1} = \dfrac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} = \underline{\underline{\dfrac{3}{8}}} 3 : \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{1} : {2}{5} = \dfrac{3 \cdot 5}{1 \cdot 2} = \underline{\underline{\dfrac{15}{2}}}
Brüche gleichnamig machen
Bevor man ungleichnamige Brüche addieren oder subtrahieren kann, muss man sie erst gleichnamig machen. Mit anderen Worten: im Nennen, also unter dem Bruchstrich, muss die gleiche Zahl stehen. Dazu suchen wir das kleinste gemeinsame Vielfache der Nennen. Dann erweitern wir jeden Bruch, bei dem das nötig ist.
\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{5} = \dfrac{5}{10} + \dfrac{6}{10} = \underline{\underline{ \dfrac{11}{10}}} \dfrac{x}{4} + \dfrac{3x}{2} = \dfrac{x}{4} + \dfrac{6x}{4} = \dfrac{7x}{4} = \underline{\underline{ \dfrac{7}{4}x}}
Brüche addieren
Gleichnamige Brüche addieren heißt, die Zähler addieren und den gemeinsamen Nenner beibehalten.
\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5} = \dfrac{3 + 4}{5} = \underline{\underline{\dfrac{7}{5}}}
Brüche subtrahieren
Dabei gehen wir genauso vor wie bei der Addition.
\dfrac{x}{3} - \dfrac{2x}{3} = \dfrac{x - 2x}{3} = \underline{\underline{- \dfrac{x}{3}}}
Brüche multiplizieren
Man multipliziert Brüche, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.
\dfrac{4}{7} \cdot 3 = \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{3}{1} = \dfrac{4 \cdot 3}{7 \cdot 1} = \underline{\underline{ \dfrac{12}{7}}} \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{x}{5} = \dfrac{3 \cdot x}{4 \cdot 5} = \dfrac{3x}{20} = \underline{\underline{\dfrac{3}{20}x}}
Brüche dividieren
Man dividiert Brüche, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.
\dfrac{3}{8} : \dfrac{9}{4} = \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{4}{8} \cdot \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} = \underline{\underline{\dfrac{1}{6}}} \newline \dfrac{\frac{3a}{8b}}{\frac{9c}{2b}} = \dfrac{3a}{8b} : \dfrac{9c}{2b} = \dfrac{3a \cdot 2b}{8b \cdot 9c} = \dfrac{a}{4 \cdot 3c} = \underline{\underline{\dfrac{1}{12c}}}
Beispiele:
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a) \dfrac{\frac{2}{5}}{3} = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{3} = \underline{\underline{\dfrac{2}{15}}} b) \dfrac{\frac{3}{7}}{t} = \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{1}{t} = \underline{\underline{\dfrac{3}{7t}}} c) \dfrac{1}{\frac{3}{8}} = \underline{\underline{\dfrac{8}{3}}}
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a) \dfrac{1}{\frac{t}{4}} = \underline{\underline{\dfrac{4}{t}}} b) \dfrac{1}{\frac{t}{2} + 1} = \dfrac{1}{\frac{t + 2}{2}} = \underline{\underline{\dfrac{2}{t + 2}}} c) \dfrac{-1 + 8t}{8} = \underline{\underline{- \dfrac{1}{8} + t}}
-
a) \dfrac{-4}{2} = - \dfrac{4}{2} = \dfrac{4}{-2} = \underline{\underline{-2}} b) \dfrac{-x}{-a} = \underline{\underline{\dfrac{x}{a}}}
Beachten Sie:
\dfrac{0}{3} = 0 , aber \dfrac{3}{0} ist nicht definiert.
