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Bruchrechnen Mathematische Grundlagen

Bruchrechnung Regeln

Bruchrechnung Regeln

Anhand eines leckeren Beispiels definiere ich hier als erstes den Bruch in der Mathematik. Danach zeige ich anhand der Zahlengeraden eine negative Bruchzahl, anschließend eine gemischte Zahl. Schließlich stelle ich die wichtigsten Regeln zur Bruchrechnung vor: Brüche kürzen, erweitern und gleichnamig machen, Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren.

Schokoladenbeispiel

1 Tafel Schokolade soll gleichmäßig an 4 Personen verteilt werden. Dann erhält jede Person ein Viertel der Tafel. Das schreiben wir so:

Wir schreiben 1 : 4 = \dfrac{1}{4} des_047

Was über dem Bruchstrich steht, nennt man Zähler, was darunter steht, Nenner.

Aufteilungsbeispiele

Wenn wir mehr Schokolade haben und drei Tafeln an vier Personen verteilen, bekommt jeder 3 mal ein Viertel einer Tafel. (Wir müssen dann allerdings aufpassen, dass wir nicht alles auf einmal essen, sonst bekommen wir Bauchschmerzen!) Das kann man so schreiben:

Anz. der Tafeln Anz. d. Personen Bruch
3   4 3 : 4 = \frac{3}{4}
7 9 7 : 9 = \frac{7}{9}

Definition Bruch in der Mathematik

Ein Bruch ist eine Zahl mit der Form: \dfrac{Zähler}{Nenner}
Zähler und Nenner sind ganze Zahlen ( \in \mathbb{Z} ); Nenner \neq 0 .
Der Bruchstrich ist gleichbedeutend mit einem Divisionszeichen.

Negative Bruchzahl

Beispiel    

 (-1) : 4 = \dfrac{-1}{4} = - \dfrac{1}{4} 

Bruchzahlen lassen sich auch auf der Zahlengeraden darstellen.

des_048


Gemischte Zahl

Sie bestehen aus ganzen Zahlen und Brüchen.

Beispiel:

 \dfrac{5}{3} = 5 : 3 = 1 \, Rest \, 2 \qquad 

also \, \dfrac{5}{3} = 1\dfrac{2}{3} 

umgekehrt  1\dfrac{2}{3} = \dfrac{1 \cdot 3 +2}{3} = \dfrac{5}{3} 



Die wichtigsten Regeln zur Bruchrechnung

Brüche kürzen und erweitern

Man kürzt Brüche, indem man Zähler und Nenner durch die selbe Zahl dividiert.

 \dfrac{2}{6} = \dfrac{2 : 2}{6 : 2} = \underline{\underline{\dfrac{1}{3}}} 

\dfrac{9}{3} = \dfrac{9 : 3}{3 : 3} = \dfrac{3}{1} = \underline{\underline{3}} 

Brüche erweitern heißt, man  Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert.

 \dfrac{2}{5} = \dfrac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \underline{\underline{\dfrac{4}{10}}} 

\dfrac{3}{7} = \dfrac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \underline{\underline{\dfrac{9}{21}}} 

Man kann jede ganze Zahl als Bruch mit dem Nenner 1 darstellen. Das ist besonders hilfreich bei der Division von Brüchen und Zahlen.

 \dfrac{3}{4} : 2 = \dfrac{3}{4} : \dfrac{2}{1} = \dfrac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} = \underline{\underline{\dfrac{3}{8}}}

 3 : \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{1} : {2}{5} = \dfrac{3 \cdot 5}{1 \cdot 2} = \underline{\underline{\dfrac{15}{2}}} 

Brüche addieren

Gleichnamige Brüche addieren heißt, die Zähler addieren und den gemeinsamen Nenner beibehalten.

 \dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5} = \dfrac{3 + 4}{5} = \underline{\underline{\dfrac{7}{5}}} 

Brüche subtrahieren

Dabei gehen wir genauso vor wie bei der Addition.

 \dfrac{x}{3} - \dfrac{2x}{3} = \dfrac{x - 2x}{3} = \underline{\underline{- \dfrac{x}{3}}} 

Brüche gleichnamig machen

Bevor man ungleichnamige Brüche addieren kann, muss man sie erst gleichnamig machen und dann addieren.

 \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{5} = \dfrac{5}{10} + \dfrac{6}{10} = \underline{\underline{ \dfrac{11}{10}}}

 \dfrac{x}{4} + \dfrac{3x}{2} = \dfrac{x}{4} + \dfrac{6x}{4} = \dfrac{7x}{4} = \underline{\underline{ \dfrac{7}{4}x}} 

Brüche multiplizieren

Man multipliziert Brüche, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.

 \dfrac{4}{7} \cdot 3 = \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{3}{1} = \dfrac{4 \cdot 3}{7 \cdot 1} = \underline{\underline{ \dfrac{12}{7}}} 

 \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{x}{5} = \dfrac{3 \cdot x}{4 \cdot 5} = \dfrac{3x}{20} = \underline{\underline{\dfrac{3}{20}x}} 

Brüche dividieren

Man dividiert Brüche, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.

 \dfrac{3}{8} : \dfrac{9}{4} = \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{4}{8} \cdot \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} = \underline{\underline{\dfrac{1}{6}}} \newline 

 \dfrac{\frac{3a}{8b}}{\frac{9c}{2b}} = \dfrac{3a}{8b} : \dfrac{9c}{2b} = \dfrac{3a \cdot 2b}{8b \cdot 9c} = \dfrac{a}{4 \cdot 3c} = \underline{\underline{\dfrac{1}{12c}}} 

Beispiele:

  1. a)  \dfrac{\frac{2}{5}}{3} = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{3} = \underline{\underline{\dfrac{2}{15}}} 
    
    b)  \dfrac{\frac{3}{7}}{t} = \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{1}{t} = \underline{\underline{\dfrac{3}{7t}}} 
    
    c)  \dfrac{1}{\frac{3}{8}} = \underline{\underline{\dfrac{8}{3}}} 
  2. a)  \dfrac{1}{\frac{t}{4}} = \underline{\underline{\dfrac{4}{t}}} 
    
    b)  \dfrac{1}{\frac{t}{2} + 1} = \dfrac{1}{\frac{t + 2}{2}} = \underline{\underline{\dfrac{2}{t + 2}}}
    
    c)  \dfrac{-1 + 8t}{8} = \underline{\underline{- \dfrac{1}{8} + t}} 
  3. a)  \dfrac{-4}{2} = - \dfrac{4}{2} = \dfrac{4}{-2} = \underline{\underline{-2}}
    
    b)  \dfrac{-x}{-a} = \underline{\underline{\dfrac{x}{a}}} 

Beachten Sie:

 \dfrac{0}{3} = 0 , aber  \dfrac{3}{0}  ist nicht definiert.

Hier finden Sie Aufgaben dazu und die Lösungen der Aufgaben

und Aufgaben dazu I und  Lösungen der Aufgaben I

und Aufgaben II und  die Lösungen II

Nächster Theorieteil: Dezimalbrüche



Hier finden Sie eine Übersicht über alle Beiträge zu den mathematischen Grundlagen, dort auch Links zu weiteren Aufgaben.

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