Wir schreiben

1 : 4 = \dfrac{1}{4}

Was über dem Bruchstrich steht, nennt man Zähler, was darunter steht, Nenner.

Aufteilungsbeispiele

Wenn wir mehr Schokolade haben und drei Tafeln an vier Personen verteilen, bekommt jeder 3 mal ein Viertel einer Tafel. (Wir müssen dann allerdings aufpassen, dass wir nicht alles auf einmal essen, sonst bekommen wir Bauchschmerzen!) Das kann man so schreiben:

Anz. der Tafeln	Anz. d. Personen	Bruch
3	4	3 : 4 = \frac{3}{4}
7	9	7 : 9 = \frac{7}{9}

Definition Bruch in der Mathematik

Ein Bruch ist eine Zahl mit der Form: \dfrac{Zähler}{Nenner} Zähler und Nenner sind ganze Zahlen ( \in \mathbb{Z} ); Nenner \neq 0 . Der Bruchstrich ist gleichbedeutend mit einem Divisionszeichen.

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Negative Bruchzahl

Beispiel    

 (-1) : 4 = \dfrac{-1}{4} = - \dfrac{1}{4} 

Bruchzahlen lassen sich auch auf der Zahlengeraden darstellen.

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Gemischte Zahl

Sie bestehen aus ganzen Zahlen und Brüchen.

Beispiel:

 \dfrac{5}{3} = 5 : 3 = 1 \, Rest \, 2 \qquad 

also \, \dfrac{5}{3} = 1\dfrac{2}{3} 

umgekehrt  1\dfrac{2}{3} = \dfrac{1 \cdot 3 +2}{3} = \dfrac{5}{3} 

Die wichtigsten Regeln zur Bruchrechnung

Brüche kürzen und erweitern

Man kürzt Brüche, indem man Zähler und Nenner durch die selbe Zahl dividiert.

 \dfrac{2}{6} = \dfrac{2 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \underline{\underline{\dfrac{1}{3}}} 

\dfrac{9}{3} = \dfrac{9 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \dfrac{3}{1} = \underline{\underline{3}} 

Brüche erweitern heißt, man  Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert.

 \dfrac{2}{5} = \dfrac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \underline{\underline{\dfrac{4}{10}}} 

\dfrac{3}{7} = \dfrac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \underline{\underline{\dfrac{9}{21}}} 

Man kann jede ganze Zahl als Bruch mit dem Nenner 1 darstellen. Das ist besonders hilfreich bei der Division von Brüchen und Zahlen.

 \dfrac{3}{4} : 2 = \dfrac{3}{4} : \dfrac{2}{1} = \dfrac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} = \underline{\underline{\dfrac{3}{8}}}

 3 : \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{1} : {2}{5} = \dfrac{3 \cdot 5}{1 \cdot 2} = \underline{\underline{\dfrac{15}{2}}} 

Brüche addieren

Gleichnamige Brüche addieren heißt, die Zähler addieren und den gemeinsamen Nenner beibehalten.

 \dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5} = \dfrac{3 + 4}{5} = \underline{\underline{\dfrac{7}{5}}} 

Brüche subtrahieren

Dabei gehen wir genauso vor wie bei der Addition.

 \dfrac{x}{3} - \dfrac{2x}{3} = \dfrac{x - 2x}{3} = \underline{\underline{- \dfrac{x}{3}}} 

Brüche gleichnamig machen

Bevor man ungleichnamige Brüche addieren kann, muss man sie erst gleichnamig machen und dann addieren.

 \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{5} = \dfrac{5}{10} + \dfrac{6}{10} = \underline{\underline{ \dfrac{11}{10}}}

 \dfrac{x}{4} + \dfrac{3x}{2} = \dfrac{x}{4} + \dfrac{6x}{4} = \dfrac{7x}{4} = \underline{\underline{ \dfrac{7}{4}x}} 

Brüche multiplizieren

Man multipliziert Brüche, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.

 \dfrac{4}{7} \cdot 3 = \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{3}{1} = \dfrac{4 \cdot 3}{7 \cdot 1} = \underline{\underline{ \dfrac{12}{7}}} 

 \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{x}{5} = \dfrac{3 \cdot x}{4 \cdot 5} = \dfrac{3x}{20} = \underline{\underline{\dfrac{3}{20}x}} 

Brüche dividieren

Man dividiert Brüche, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.

 \dfrac{3}{8} : \dfrac{9}{4} = \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{4}{8} \cdot \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} = \underline{\underline{\dfrac{1}{6}}} \newline 

 \dfrac{\frac{3a}{8b}}{\frac{9c}{2b}} = \dfrac{3a}{8b} : \dfrac{9c}{2b} = \dfrac{3a \cdot 2b}{8b \cdot 9c} = \dfrac{a}{4 \cdot 3c} = \underline{\underline{\dfrac{1}{12c}}} 

Beispiele:

1. a)  \dfrac{\frac{2}{5}}{3} = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{3} = \underline{\underline{\dfrac{2}{15}}} 
   
   b)  \dfrac{\frac{3}{7}}{t} = \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{1}{t} = \underline{\underline{\dfrac{3}{7t}}} 
   
   c)  \dfrac{1}{\frac{3}{8}} = \underline{\underline{\dfrac{8}{3}}} 

2. a)  \dfrac{1}{\frac{t}{4}} = \underline{\underline{\dfrac{4}{t}}} 
   
   b)  \dfrac{1}{\frac{t}{2} + 1} = \dfrac{1}{\frac{t + 2}{2}} = \underline{\underline{\dfrac{2}{t + 2}}}
   
   c)  \dfrac{-1 + 8t}{8} = \underline{\underline{- \dfrac{1}{8} + t}} 

3. a)  \dfrac{-4}{2} = - \dfrac{4}{2} = \dfrac{4}{-2} = \underline{\underline{-2}}
   
   b)  \dfrac{-x}{-a} = \underline{\underline{\dfrac{x}{a}}} 

Beachten Sie:

 \dfrac{0}{3} = 0 , aber  \dfrac{3}{0}  ist nicht definiert.

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Hier finden Sie Aufgaben dazu und die Lösungen der Aufgaben

und Aufgaben dazu I und  Lösungen der Aufgaben I

und Aufgaben II und  die Lösungen II

Nächster Theorieteil: Dezimalbrüche

Hier finden Sie eine Übersicht über alle Beiträge zu den mathematischen Grundlagen, dort auch Links zu weiteren Aufgaben.

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