In diesem Beitrag erkläre ich das Bruchrechnen leicht verständlich und mit vielen anschaulichen Beispielen mit Pizza. Vor allem erkläre ich die wichtigsten Bruchregeln: Brüche kürzen, erweitern, gleichnamig machen, addiere, subtrahieren, multiplizieren und dividieren.
- Leckere Beispiele
- Definition Bruch in der Mathematik
- Negative Bruchzahl und gemischte Zahlen auf der Zahlengeraden
- Regeln zur Bruchrechnung:
- kürzen
- erweitern
- gleichnamig machen
- addieren
- subtrahieren
- multiplizieren
- dividieren
1. Pizza teilen
1 Pizza soll gleichmäßig an 4 Personen verteilt werden.
Also schneiden wir sie in 4 Teile: 
Dann erhält jede Person ein Viertel der Pizza. 
Das schreiben wir so:
| Wir schreiben | 1 : 4 = \dfrac{1}{4} |  |
Was über dem Bruchstrich steht, nennt man Zähler, was darunter steht, Nenner. Wir sprechen 1 : 4 = \dfrac{1}{4} so aus: ein Viertel.
Denn der Nenner, die 4 unten, nennt uns, durch was man teilt. In unserem Beispiel verteilen wir die Pizza in 4 Teile. Wir teilen also durch 4.
Der Zähler heißt so, weil er zählt, wie viele Teile wir tatsächlich haben, also hier 1 Teil.
Wenn wir die Pizza an 3 Personen verteilen, müssen wir sie in 3 Teile schneiden: 
Jede Person bekommt also ein Drittel der Pizza: 
Was ist größer, ein Viertel oder ein Drittel Pizza?
Ein Drittel ist größer als ein Viertel, weil wir die Pizza nur mit 3 Leuten teilen müssen.
Aufteilungsbeispiele
Ein Kind und sein Vater teilen sich eine Pizza und das Kind hat wenig Hunger. Deshalb isst das Kind nur ein Viertel.
Der Vater bekommt dann den Rest, also 3 der 4 Teile. 
Das kann man so schreiben:
| Anz. der Stücke | Anz. d. Personen | Bruch |
| 3 | 4 | 3 : 4 = \dfrac{3}{4} |
| 7 | 9 | 7 : 9 = \dfrac{7}{9} |
Definition Bruch in der Mathematik
| Ein Bruch ist eine Zahl mit der Form: \dfrac{Zähler}{Nenner}
Zähler und Nenner sind immer ganze Zahlen ( \in \mathbb{Z} ); Der Nenner darf nicht Null sein. Das schreibt man in der Mathematik so: Nenner \neq 0 . Der Bruchstrich ist gleichbedeutend mit einem Divisionszeichen. Wenn wir die 3 durch 4 teilen, also 3 : 4, dann ist das Ergebnis 3 : 4 = \dfrac{3}{4} . |
Negative Bruchzahl
Beispiel
Brüche können auch negativ sein. Wenn wir eine negative Zahl, z. B. -1 durch eine positive Zahl, z. B. 4 teilen, ist das Ergebnis ein negativer Bruch. Dann steht einfach ein Minuszeichen vor dem Bruch. Das sieht dann so aus:
(-1) : 4 = \dfrac{-1}{4} = - \dfrac{1}{4}
Bruchzahlen lassen sich auch auf der Zahlengeraden darstellen. Links von der Null stehen alle negativen Zahl. Weil \dfrac{3}{2} größer als 1, aber kleiner als 2 ist, steht dieser Bruch dazwischen.
Die wichtigsten Regeln beim Bruchrechnen
Brüche kürzen und erweitern
Wenn du eine Pizza in 6 Teile schneidest, aber nur 2 davon isst, dann sind das \dfrac{2}{6} . 
Du kannst jetzt jeweils 2 Teile zusammen legen, dann siehst du, dass es gleiche wie \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6} ist. 
Du hast also genauso viel gegessen, die Pizza nur in mehrere Teile geschnitten. Da nennt man Brüche kürzen.
Manchmal kann man den Zähler und den Nenner durch die gleiche Zahl teilen. Dadurch werden beide Zahlen kleiner. Das ist dann übersichtlicher.
Regel Brüche kürzen
Man kürzt Brüche, indem man Zähler und Nenner durch die selbe Zahl dividiert.
\dfrac{2}{6} = \dfrac{2 : 2}{6 : 2} = \underline{\underline{\dfrac{1}{3}}}
Beide Zahlen sind genau gleich, sie werden nur anders geschrieben.
Das Ergebnis ist diesmal eine ganze Zahl, das sieht einfacher aus.
Wie man Brüche erweitert und kürzt kannst du dir auch in diesem 
Video Brüche erweitern und kürzen ansehen.
Regel: Brüche erweitern:
\dfrac{2}{5} = \dfrac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \underline{\underline{\dfrac{4}{10}}}
Hier multiplizieren wir oben und unten mit 2. \dfrac{3}{7} = \dfrac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \underline{\underline{\dfrac{9}{21}}}
Man kann jede ganze Zahl als Bruch mit dem Nenner 1 darstellen. Das ist besonders hilfreich bei der Division von Brüchen und Zahlen.
\dfrac{3}{4} : 2 = \dfrac{3}{4} : \dfrac{2}{1} = \dfrac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} = \underline{\underline{\dfrac{3}{8}}} 3 : \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{1} : {2}{5} = \dfrac{3 \cdot 5}{1 \cdot 2} = \underline{\underline{\dfrac{15}{2}}}
Brüche gleichnamig machen
Marie schneidet ihre Pizza in 2 Hälften und isst eine davon. 
Paul schnedet seine Pizza in 3 Dritel und isst zwei Drittel.
Danach wollen sie ausrechnen, wie viel Pizza noch übrig ist. + = ?
Mit Hälften und Drittel passt das nicht, denn man kann nur Sachen addieren, die in gleiche große Teile geteilt sind.
Sie schneiden Maries Hälfte in drei Teile, weil die andere Pizza in drei Teile geschnitten ist. Dadurch haben wir diese Pizza in Sechzehntel geteilt. Es sind 3 Sechzehntel. \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6} 
Paus drittel Pizza schneiden sie in zwei Teile, weil die andere Pizza in zwei Teile geschnitten ist. Diese Pizza ist jetzt auch in Sechzehntel geteilt. Es sind 2 Sechzehntel. \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6} 
Dadurch haben die die Pizzen in Sechstel geschnitten. Jetzt können wir addieren: \dfrac{3}{6} + \underline{\underline{\dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}}} 
Bevor man ungleichnamige Brüche addieren oder subtrahieren kann, muss man sie erst gleichnamig machen. Mit anderen Worten: im Nennen, also unter dem Bruchstrich, muss die gleiche Zahl stehen. Dazu suchen wir das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nennen. (Wie man das kgV findet, kannst du dir in diesem shorts Das kleinste gemeinsame Vielfache ansehen.) Dann erweitern wir jeden Bruch, bei dem das nötig ist.
\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{5}
So können wir die beiden Brüche nicht addieren, wir müssen sie erst dafür sorgen, dass im Nenner das gleiche steht.
Beim ersten Bruch steht im Nenner eine 2, beim zweiten eine 5. Das kleinste gemeinsame Vielfache kgV ist 10.
Deshalb multiplizieren wir im ersten Bruch oben und unten mit 5.
\dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \dfrac{5}{10}
Den zweiten Bruch multiplizieren wir oben und unten mit 2.
\dfrac{3}{5} = \dfrac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \dfrac{6}{10}
Das kann man auch mit Brüchen machen, in denen Variablen wie z. B. x vorkommen:
\dfrac{x}{4} + \dfrac{3x}{2} = \dfrac{x}{4} + \dfrac{6x}{4} = \dfrac{7x}{4} = \underline{\underline{ \dfrac{7}{4}x}}Regel Brüche addieren
Gleichnamige Brüche addieren heißt, die Zähler addieren und den gemeinsamen Nenner beibehalten.
Jetzt können wir die beiden Brüche aus dem Beispiel oben addieren:
\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{5} = \dfrac{5}{10} + \dfrac{6}{10} = \underline{\underline{ \dfrac{11}{10}}} \dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5} = \dfrac{3 + 4}{5} = \underline{\underline{\dfrac{7}{5}}}
Wie man Brüche addiert erkläre ich auch in diesem shorts Brüche addieren.
Brüche subtrahieren
Dabei gehen wir genauso vor wie bei der Addition. Das heißt, wir müssen die Brüche erst gleichnamig machen. Danach subtrahiert man die Zähler oben und der Nenner unten bleibt gleich.
\dfrac{x}{3} - \dfrac{2x}{3} = \dfrac{x - 2x}{3} = \underline{\underline{- \dfrac{x}{3}}}
Brüche multiplizieren
Sophie hat noch ein Drittel Pizza.
Davon will sie die Hälfte essen. Also schneidet sie das Drittel noch einmal durch und isst die Hälfte davon.
Statt. „Die Hälfte von etwas“ kann man auch sagen: mit \dfrac{1}{2} multipliziert. Wie wir oben gesehen haben, hat sie jetzt also \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}
Die Hälfte von einem Drittel ist also ein Sechzehntel. \dfrac{1}{3} * \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}
Brüche multiplizieren Regel:
Man multipliziert Brüche, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.
\dfrac{4}{7} \cdot 3 = \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{3}{1} = \dfrac{4 \cdot 3}{7 \cdot 1} = \underline{\underline{ \dfrac{12}{7}}}
Eine ähnliche Aufgabe erkläre ich auch in diesem shorts Brüche multiplizieren.
Brüche dividieren
Sophie hat oben ihr Pizzastück mit \dfrac{1}{2} multipliert. Wenn man in einem Bruch Nenner und Zähler vertauscht, hat man den Kehrwert. Der Kehrwert von \dfrac{1}{2} ist also \dfrac{2}{1} = 2 . Sophie hätte ihr Pizzastück also durch 2 teilen können. Wenn man mit \dfrac{1}{2} multipliert, ist das also das gleiche wie durch den Kehrwert, also 2 dividieren.
Man dividiert Brüche, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.
\dfrac{3}{8} : \dfrac{9}{4} = \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{4}{8} \cdot \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} = \underline{\underline{\dfrac{1}{6}}} \newline
Wie man Brüche dividiert erkläre ich auch in diesem shorts Brüche dividieren.
Beispiele:
-
a) \dfrac{\frac{2}{5}}{3} = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{3} = \underline{\underline{\dfrac{2}{15}}} b) \dfrac{\frac{3}{7}}{t} = \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{1}{t} = \underline{\underline{\dfrac{3}{7t}}} c) \dfrac{1}{\frac{3}{8}} = \underline{\underline{\dfrac{8}{3}}}
-
a) \dfrac{1}{\frac{t}{4}} = \underline{\underline{\dfrac{4}{t}}} b) \dfrac{1}{\frac{t}{2} + 1} = \dfrac{1}{\frac{t + 2}{2}} = \underline{\underline{\dfrac{2}{t + 2}}} c) \dfrac{-1 + 8t}{8} = \underline{\underline{- \dfrac{1}{8} + t}}
-
a) \dfrac{-4}{2} = - \dfrac{4}{2} = \dfrac{4}{-2} = \underline{\underline{-2}} b) \dfrac{-x}{-a} = \underline{\underline{\dfrac{x}{a}}}
Beachte:
\dfrac{0}{3} = 0 , aber \dfrac{3}{0} ist nicht definiert.
Gemischte Zahl
Sie bestehen aus ganzen Zahlen und Brüchen.
Beispiel:
\dfrac{5}{3} = 5 : 3 = 1 \, Rest \, 2 \qquad
Wir haben gerade gesehen:
Der Bruch \dfrac{5}{3} ist das Gleich wie 5 : 3. Dabei ergibt sich der Rest 1.
Wir sehen also, dass der Bruch \dfrac{5}{3} größer als 1 ist.
Wenn wir den Rest, also die 1 durch 3 teilen, ergibt sich: \, \dfrac{5}{3} = 1\dfrac{2}{3} Umgekehrt funktioniert es genauso:
Die gemischte Zahl 1\dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{3} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{1 \cdot 3 +2}{3} = \dfrac{5}{3}
Die gemischte Zahl kann man aufteilen in zwei Brüche. Die beiden Brüche kann man addieren und erhält dann diesen Bruch.
