Zinsrechnung Lösungen der Aufgaben mit komplettem Lösungsweg

Hier findest du die Lösungen der Zinsrechen-Aufgaben mit komplettem Lösungsweg, in denen mit Monaten und Tagen gerechnet wird.

1. Wie hoch ist der Zins nach 9 Monaten und 10 Tagen?

Ein Kapital von 22.500 € wird zu einem Zinssatz von 7,5% angelegt.

K = 22500€, Zinssatz p = 7,5%
Laufzeit 9 Monate und 10  Tage = 9 · 30 Tage + 10  Tage = 280  Tage
Gesucht sind die in dieser Zeit anfallenden Zinsen:
Z = K \cdot \dfrac{ p \cdot t  }{ 100 \%  \cdot \, 360  Tage }  = 22500€ \cdot \dfrac{7,5 \% \cdot 280  Tage}{100 \% \cdot \, 360 \ Tage}  \\ = \underline{\underline{1312,50€}}

Nach 9 Monaten und 10 Tagen belaufen sich die anfallenden Zinsen auf 1.312,50 €.
Die Lösung könnt ihr euch in diesem  Video Zinsrechnung Endkapital mit Monaten und Tagen ansehen.

2. Wie hoch ist die Hypothek?

Das Haus der Familie Müller ist mit einer Hypothek belastet. Familie Müller zahlt bei einem Zinssatz von 8,5 % monatlich 637,50 € Zinsen.

Zinssatz p = 8,5 %
Monatliche Zahlung  637,50€, also jährliche Zahlung Z = 12 · 637,50€ = 7650€
Gesucht ist das Kapital (Hypothek)
K = \frac{Z}{p} \cdot 100 \% = \underline{\underline{90000€}}

Die Hypothek beträgt 90.000 €.

3. Wie lange war das Kapital angelegt?

Ein Sparer erhält für sein Kapital von 42.500 € bei einem Zinssatz von 6,5% 552,50 € ausgezahlt.

Kapital K = 42500€
Zinssatz  p = 6,5 %
Zinsen Z = 552,50€
Ansatz: Z = K \cdot \dfrac{p}{100 \% \cdot \, 360 \, Tage} \cdot t  \Leftrightarrow t = \dfrac{Z}{K \cdot p} \cdot 100 \% \cdot \, 360 \, Tage
t = \dfrac{552,50€}{42500€ \cdot 6,5 \%} \cdot 100 \% \cdot 360 \, Tage \\ = 72 \, Tage \, \hat{=} \, \underline{\underline{2 \, Monate \, und \, 12 \, Tage}}

Das Kapital war 2 Monate und 12 Tage angelegt.

4. Nach welcher Zeit wurde das Darlehen abgelöst?

Für ein Darlehen von 330.00 € mussten bei einem Zinssatz von 8% insgesamt 9240 € an Zinsen gezahlt werden.

Kapital K = 33000€
Zinssatz p = 8 %
Zinsen Z = 9240€
Gesucht ist die Laufzeit.
Ansatz: Z = K \cdot \dfrac{p}{100 \% \cdot 12 \, Monate} \cdot m \Leftrightarrow m = \dfrac{Z}{K \cdot p} \cdot 100 \% \cdot 12 \, Monate
m = \dfrac{9240€}{33000€ \cdot 8 \%} \cdot 100\% \cdot 12 \, Monate \\ = \underline{\underline{42 \, Monate \, oder \, 3,5 \, Jahre}}

Das Darlehen wurde nach 42 Monaten (3,5 Jahren) abgelöst.

5. Wie hoch war der Zinssatz?

Herr Schmidt kauft ein Auto zum Preis von 13.750 € und lässt diese Summe vom Autohändler finanzieren. Nach einem Jahr hat er insgesamt 15.331,25 € gezahlt.

Kapital K = 13750€
Zinsen  Z = 15331,25€ – 13750€ = 1581,25€
Gesucht ist der Zinssatz
Z = K \cdot \dfrac{ p }{ 100 \%  } \Rightarrow  p = \dfrac{Z}{K} \cdot 100\%  = \dfrac{1581,25€}{13750€} \cdot 100\%  = \underline{\underline{11,5 \%}}

Der Zinssatz betrug 11,5%.
Die Lösung könnt ihr euch in diesem Video Zinssatz berechnen ansehen.

6. Welchen Preis muss er zahlen?

Ein Handwerker kauft Werkzeuge für 2300 € ein. Er erhält einen Rabatt von 6% und, da er bar zahlt, noch 2% Skonto.

Bruttopreis: 2300,00€
Rabatt: W = \dfrac{G \cdot p}{100 \%} = \dfrac{2300€ \cdot 6 \%}{100 \%} = 138€

Skonto: W = \dfrac{G \cdot p}{100 \%} = \dfrac{2161€ \cdot 2 \%}{100 \%} = 43,24€
Bruttopreis abzüglich 6 %  Rabatt: 2300,00€ – 138,00€ = 2162,00€
Abzüglich 2 \% Skonto: 2162,00€ - 42,24€ = \underline{\underline{ 2118,76€}}

Der Handwerker muss 2.118,76 € zahlen.

7. Wie hoch sind die Rabatte?

In einem Baumarkt werden zwei Artikel zu Einzelpreisen von 65 € und 47,50 € angeboten. Beide Artikel zusammen bekommt man für 102 €.
Wie hoch sind die Rabatte, wenn für den ersten Artikel der Rabatt 2,5 – mal so hoch ist, wie der Rabatt für den zweiten?

Artikel I:
Einzelpreis  65,00€ (Grundwert I  = G_{I})
Artikel II:
Einzelpreis 47,50€ (Grundwert II = G_{II} )
Preis ohne Rabatt: 65,00€ + 47,50€ = 112,50€
Preis mit Rabatt: 102,00€
Gesamtrabatt: 112,50€ – 102,00€ = 10,50€

(Prozentwert I + Prozentwert II = W_{I} + W_{II} )
Es gilt p_{I} = 2,5 \cdot p_{II} \,  (1) und W_{I} + W_{II} = 10,50€ \, (2)
mit W_{I} = \dfrac{G_{I} \cdot p_{I}}{100 \%} und W_{II} = \dfrac{G_{II} \cdot p_{II}}{100 \%} gelangt man zu folgendem Ansatz:

W_{I} + W_{II} = \dfrac{G_{I} \cdot p_{I}}{100 \%} + \dfrac{G_{II} \cdot p_{II}}{100 \%}  = \dfrac{65 \cdot p_{I}}{100 \%} + \dfrac{47,50 \cdot p_{II}}{100 \%} = 10,50€

mit  (1)  gilt: (Rechnung ohne Einheiten)
\dfrac{65 \cdot 2,5 \cdot p_{II}}{100} + \dfrac{47,50 \cdot p_{II}}{100} = \dfrac{152,5 \cdot p_{II} + 47,50 \cdot p_{II}}{100} = \dfrac{210 \cdot p_{II}}{100} \\ = 2,1 \cdot p_{II} = 10,50
  \Leftrightarrow p_{II} = \dfrac{10,50}{2,1} = 5 \Rightarrow p_{II} = \underline{\underline{5 \%}}
mit (1) gilt: p_{I} = 2,5 \cdot p_{II} = 2,5 \cdot 5 \% = \underline{\underline{12,5 \%}}

Auf Artikel I ist ein Rabatt von 12,5% und auf Artikel II von 5%.

8. Wie hoch ist der Finderlohn?

Ein Schüler findet eine Brieftasche mit 1125 € Inhalt. Der Verlierer zahlt den gesetzlichen Finderlohn von 5% für die ersten 500 € und 3% für den Rest.

Der Gesamtbetrag von  1125€ wird aufgeteilt in  500€  zu 5 %
und 1125€ – 500€ = 625€ zu  3 %
Finderlohn = 500€ \cdot 0,05 + 625€ \cdot 0,03 = \underline{\underline{43,75€}}

Der Finderlohn beläuft sich auf 43,75 €.

9. Wie viel Prozent?

Preisnachlass gewährt ein Fliesenleger seinem Auftraggeber, wenn er statt 13.700 € nur 12604 € berechnet?

Grundwert  G = 13700€
Prozentwert W = 13700€ – 12604€ = 1096€
p = \dfrac{W}{G} \cdot 100 \% = \dfrac{1096€}{13700€} \cdot 100 \% = \underline{\underline{8 \%}}

Der Fliesenleger gewährt seinem Auftraggeber einen Preisnachlass von 8%.

10. Wie viel Boden?

Herr Boller plant in seinem Garten einen Teich anzulegen. Das Volumen des Teiches würde 15,6 m³ betragen.
Wie viel Boden muss Herr Boller per Container abfahren lassen, wenn mit einer Auflockerung von 15% zu rechnen ist?

Grundwert  G = 15,6m³
Prozentsatz p = 15 %
W = \dfrac{G \cdot p}{100 \%} = \dfrac{15,6m^3 \cdot 15 \%}{100 \%} = 2,34m^3
Insgesamt: 15,6m^3 + 2,34m^3 = \underline{\underline{17,94m^3}}

Insgesamt müssen 17,94 m³ Boden abgefahren werden.

11. Wie viel Prozent beträgt die Ermäßigung?

In einem Kaufhaus mit einer Fotoabteilung werden Poster der Größe 20 x 30 cm vom Negativ im Sonderangebot für 0,57 € angeboten.

Normal kosten solche Vergrößerungen 0,95 €.
Wie viel Prozent beträgt die Ermäßigung?

Grundwert G = 0,95€
Prozentwert  W = 0,95€ – 0,57€ = 0,38€
p = \dfrac{W}{G} \cdot 100 \%  = \dfrac{0,38€}{0,95€} \cdot 100 \% = \underline{\underline{40 \%}}

Die Ermäßigung beträgt 40%.

12. Wie hoch war das Kapital?

Herr Steger hat ein Kapital auf 5 Jahre zu 6% festgelegt.
Wie hoch war das Kapital, wenn Herr Steger nach 5 Jahren 45500 € ausgezahlt wurden?

Laufzeit 5 Jahre, Zinssatz  p = 6 % pro Jahr, das sind in 5 Jahren  5 · 6 % = 30 % (ohne Zinseszins).
Nach 5 Jahren wird ausgezahlt:
K + 0,3K = 45500€ \\ \Leftrightarrow 1,3K = 45500€ \\ \Leftrightarrow K = \frac{45500€}{1,3} = \underline{\underline{35000€}}

Vor 5 Jahren betrug das angelegte Kapital 35000 €.

13. Wie viel bezahlen=

Ein Unternehmer muss für eine Materiallieferung 8229 € bezahlen, da die Preise um 5,5% angehoben wurden.
Wie viel hätte er vor dieser Verteuerung bezahlen müssen?

Preisanstieg um  5,5 % auf 8229€  bedeutet vermehrter Grundwert.
1,055 \cdot G = 8229€ \Leftrightarrow G = \dfrac{8229€}{1,055} = \underline{\underline{7800€}}

Vor der Verteuerung hätte der Unternehmer 7800 € zahlen müssen.

14. Wie viel Quadratmeter?

Um ein Zimmer mit Holz zu verkleiden, sind 50 m² Holzpaneele vorhanden.

Die zu verkleidende Fläche beträgt 46,8 m².
Wie viel m² Paneele müssen noch nachgeliefert werden, wenn mit 18% Verschnitt zu rechnen ist?

Die zu verlegende Panelenfläche beträgt 46,8 m². Bei einem Verschnitt von 18% sind das 82% vom Grundwert. Von der insgesamt benötigten Quadratmeterzahl sind also 82% verwendbar, der Rest ist Verschnitt.

\Rightarrow 0,82 \cdot G = 46,8m^2
\Leftrightarrow G = \dfrac{46,8m^2}{0,82} \approx \underline{\underline{57,07m^2}}
Kontrolle:
W = \dfrac{G \cdot p}{100} = \dfrac{57,07m^2 \cdot 0,82}{100} \approx 46,8m^2

Es werden insgesamt 57,07 m² Paneele benötigt. Da aber schon 50 m² vorhanden sind, müssen noch etwa 57,07 m² – 50 m² = 7,07 m² Paneele nachgeliefert werden.

15. Wie viel Ersparnis?

500 g Erdbeeren werden auf dem Wochenmarkt für 1,75 € angeboten. Beim Kauf von 1,5 kg zahlt der Kunde nur 4,50 €.
Wie viel Prozent beträgt die Ersparnis?

3 · 500g Erdbeeren kosten  3 · 1,75€ = 5,25€  (Grundwert G)
1,5kg  Erdbeeren kosten  4,50€
Ersparnis = 5,25€ – 4,50€ = 0,75€ (Prozentwert W)
Ersparnis in \% : p = \dfrac{W}{G} \cdot 100 \% = \dfrac{0,75€}{5,25€} \cdot 100 \% \approx \underline{\underline{14,3 \%}}

Die Ersparnis beim Kauf von 1,5 kg Erdbeeren beträgt etwa 14,3%

16. Wie viel Preisnachlass?

Sonnenschirme, Durchmesser 2,70 m, aus Aluminiumrohr mit einer wetterfesten Polyesterbespannung werden in einem Baumarkt von 87,50 € auf 70 € herabgesetzt.
Wie viel Prozent beträgt der Preisnachlass?

Preisnachlass von 87,50€ auf 70,00€
Grundwert  G = 87,50€
Prozentwert  W = 87,50€ – 70,00€ = 17,50€
Prozentsatz p = \dfrac{W}{G} \cdot 100 \% = \dfrac{17,50€}{87,50€} \cdot 100 \% = \underline{\underline{20 \%}}

Der Preisnachlass beträgt 20%.

Hier finden Sie die Aufgaben.

Und hier eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Zinsrechnung und zu anderen mathematischen Grundlagen, darin auch Links zu weiteren Aufgaben.