In diesem Beitrag erkläre ich zuerst, was die gleichmäßige Beschleunigung ist. Danach leite ich die Formeln zur ab: Berechnung der Beschleunigung, Berechnung der Endgeschwindigkeit und zur Berechnung der Strecke.
Ihr könnt jeweils zu dem Abschnitt springen, der euch am meisten interessiert.
- Beispiel, Versuch und Definition der Beschleunigungen
- Herleitung und Berechnung der Beschleunigung
- Herleitung der Endgeschwindigkeit
- Herleitung der Strecke
- Berechnung der Beschleunigung aus Strecke und Endgeschwindigkeit
- Zusammenfassung aller Formeln
1. Beispiel zur Beschleunigung:
Rennfahrer Michael gibt an: „Mein Rennauto kommt in 20 Sekunden von 0 auf 180 Kilometer pro Stunde.“
Darauf erwidert Rennfahrerin Christina: „Mein Wagen schafft das aber schon auf 500 Meter!“
Hierbei geht es darum, welches Fahrzeug die stärkere Beschleunigung hat. Bevor wir den Streit der beiden entscheiden können, müssen wir ein bisschen ausholen.
Wiederholung Geschwindigkeit
Im Beitrag Geschwindigkeit haben wir folgendes kennengelernt:
Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit:
v=\frac{s}{t }
Also: Geschwindigkeit = Strecke dividiert durch Zeit.
Wobei v für die Geschwindigkeit steht, s für die Strecke in Metern und t für die Zeit in Sekunden.
Die Basiseinheit zur Messung der Geschwindigkeit ist Meter pro Sekunde (\frac{m}{s} ).
Im alltäglichen Sprachgebrauch wird aber oft die Einheit Kilometer pro Stunde (\frac{km}{h} ) verwendet.
Wie man von \frac{km}{h} in \frac{m}{s} umrechnet und umgekehrt, kannst du hier nachlesen.
Soweit zur gleichmäßigen Bewegungen. Als nächstes schauen wir uns Beschleunigungen an:
Schülerversuch
Die Beschleunigung können wir mit einfachen Hilfsmitteln demonstrieren. Dazu lassen wir eine Kugel auf einer geneigten Bahn rollen. Dann messen den zurückgelegten Weg nach 2 Sekunde, nach 4 Sekunden usw.
Tabelle
eintragen:
| t(s) | 2 | 4 | 5 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| s(m) | 6 | 24 | 51 | 96 | 150 |
Dabei steht t(s) für Zeit in Sekunden und s(m) für Strecke in Metern.
Um dies anschaulicher darzustellen, können wir die Werte aus der Tabelle in ein
Weg-Zeit-Diagramm
übertragen. Hierbei stellen die Werte auf der waagerechten X-Achse die Zeit in Sekunden, auf der senkrechten Y-Achse die Strecke (oder auch Weg) in Metern dar. Die Kurve stellt die Geschwindigkeit dar. Im Beitrag Geschwindigkeit war diese eine Gerade.
Jetzt können wir die Geschwindigkeit der Kugel ausrechnen: v=\frac{s}{t } und in ein
Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm
eintragen. Hierbei sehen wir auf der waagerechten X-Achse die Zeit in Sekunden, auf der senkrechten Y-Achse die Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde. Man sieht also deutlich, dass die Geschwindigkeit gleichmäßig zunimmt.
Beobachtung
Schaut man sich die Werte in der Tabelle genauer und zeichnet einen Graphen, so sieht man schnell, dass der zurückgelegte Weg nicht wie bei einer Bewegung mit gleichbleibender Geschwindigkeit proportional zur Zeit ist. Stattdessen ist es so, dass der zurückgelegte Webabschnitt mit jeder Sekunde größer wird. Folgerung: Die Kugel wird also immer schneller, je länger sie auf der geneigten Bahn rollt. Durch die Neigung der Bahn wird die Kugel gleichmäßig beschleunigt.
Definition gleichmäßig beschleunigte Beschleunigung
Ist bei einer beschleunigten Bewegung die Geschwindigkeitszunahme in gleichen Zeitabschnitten immer gleich groß, so spricht man von einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Mit anderen Worten: Bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist die Beschleunigung konstant. Oder anders ausgedrückt:
Steigt die Geschwindigkeit eines Körpers in Bewegung proportional zur Zeit, spricht man von gleichmäßig beschleunigter Bewegung.
2. Herleitung der Formel zur Berechnung der Beschleunigung
Wenn etwas gleichmäßig zunimmt, müsste man es auch berechnen können. Also schauen wir uns noch einmal das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm an:
Die Beschleunigung entspricht der Steigung der Geraden. Wie wir bei Linearen Funktionen gesehen haben, wird die Steigung wie folgt berechnet: Steigung = \frac{ \Delta v}{ \Delta t} = \frac {v_2 - v_1}{t_2 - t_1} .
Wenn wir die Geschwindigkeit v(m/s) und die Zeit t(s) in eine Tabelle eintragen, bestätigt sich dies:
| t(s) | 2 | 4 | 5 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| v(m/s) | 6 | 12 | 15 | 24 | 30 |
Die Geschwindigkeit ist immer dreimal so groß wie die Zeit. Anders ausgedrückt: Geschwindigkeit dividiert durch Zeit ist immer gleich groß. Daraus ergibt sich die
Formel zur Berechnung der Beschleunigung
Man bestimmt die Beschleunigung aus der Geschwindigkeitszunahme pro Zeiteinheit. Daraus ergibt sich folgende
Formel: Beschleunigung = \frac {Geschwindigkeitszunahme} {benötigte \, Zeitspanne} = \frac {v_2 - v_1}{t_2 - t_1} = \frac{ \Delta v}{ \Delta t}
Δ ist der griechische Buchstabe Delta. Mit ihm bezeichnet man in der Mathematik und Physik Differenzen, also wenn etwas Subtrahiert wird.
Die Beschleunigung gibt man mit dem Formelzeichen a an. Die dazugehörige Einheit wird in Meter pro Sekunde zum Quadrat berechnet, also \frac{m}{s ^2 } .
Oder kurz:
a=\frac{v}{t}
Beispielrechnung:
Rennfahrer Michael hatte gesagt: „Mein Rennauto kommt in 20 Sekunden von 0 auf 180 Kilometer pro Stunde.“
Bei Textaufgaben ist es immer nützlich, wenn man erst einmal zusammenstellt, was man hat und was gesucht wird:
Gegeben: v = 180 km/h, t = 20s.
gesucht: Die Beschleunigung a.
Bevor wir a berechnen können, müssen wir km/h erst in m/s umrechnen. Siehe km/h in m/s umrechen.
Dazu kannst du dir dies 📽shorts km/h in m/s ansehen.
v = 180 km/h = 180000 m/3600s = 50 m/s.
Jetzt können wir die Werte in unsere Formel einsetzen:
a=\frac{v}{t} => a=\frac{{50 \frac{m}{s}}}{20s} = 2,5 \frac{m}{s^2}
Die Beschleunigung von Michaels Rennauto beträgt 2,5 \frac{m}{s^2} .
3. Herleitung der Berechnung der Endgeschwindigkeit aus Beschleunigung und Zeit : Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz (aus dem Stillstand)
Wenn wir von einem Gegenstand wissen, wie lange er aus dem Stillstand mit einer bestimmten Beschleunigung beschleunigt, können wir die Geschwindigkeit berechnen. Dazu brauchen wir die Formel von oben nur umzustellen. Wir multiplizieren auf jeder Seite mit t und erhalten die
Formel:
v=a \cdot t
Also Endgeschwindigkeit = Beschleunigung mal Zeit.
Achtung: Dies gilt nur bei Beschleunigung aus dem Stillstand!
Beispielrechnung
Ein Auto beschleunigt aus dem Stillstand mit a=5 \frac{m}{s^2 } .
Welche Geschwindigkeit hat es nach 10 Sekunden?
Dazu brauchen wir die beiden Werte nur in die Formel einzusetzen:
v = 5 \frac{m}{s ^2 } \cdot 10s .
Die 10s müssen wir mit s multiplizieren, um einen Bruch mit gleichem Nennen zu bekommen:
v = \frac{5m}{s ^2 } \cdot \frac{10m \cdot s}{s ^2 }
Da s über und unter dem Bruchstrich steht, können wir dies kürzen und erhalten
v = 50 \frac{m}{s} .
Nach 10 Sekunden hat das Auto also eine Geschwindigkeit von 50 Metern pro Sekunde.
Dazu kannst du dir dieses 📽 Video Geschwindigkeit berechnen mit Beschleunigung und Zeit ansehen.
Berechnung der Endgeschwindigkeit aus Beschleunigung und Zeit aus der Bewegung heraus
Darauf gehe ich hier ausführlich ein.
Wenn ein Gegenstand mit konstanter Geschwindigkeit fährt und dann beschleunigt, müssen wir die Anfangsgeschwindigkeit v0 addieren. Jetzt ist die Formel vollständig:
Formel:
v = a · t + v0
Also Endgeschwindigkeit = Beschleunigung mal Zeit + Anfangsgeschwindigkeit.
Hierzu gleich ein Beispiel:
Ein Auto fährt mit der konstanten Geschwindigkeit v=5\frac {m}{s}. Dann beschleunigt es 10 Sekunden lang mit a=5\frac {m}{s^2}.
Wie schnell ist es danach?
Wieder setzen wir dazu die einzelnen Werte in die Formel ein:
v=5\frac {m}{s^2} \cdot 10 s + 5\frac {m}{s}.
Da die Sekunden über dem Bruchstrich stehen und darunter als Quadrat, können wir kürzen:
v=50\frac {m}{s} + 5\frac {m}{s} = 55\frac {m}{s}Das Auto fährt nach der Beschleunigung mit 55 m/s.
4. Herleitung der Berechnung der Strecke aus Beschleunigung und Zeit: Weg-Zeit-Gesetz (aus dem Stillstand)
Wir halbieren diesmal die Zeit te und erhalten durch den Wert \frac {t_e}{2}. Dem entspricht die Hälfte der Geschwindigkeit \frac {v_e}{2}. Dies nennen wir <v>.
Jetzt setzen wir ein: <v> = \frac {v_e}{2} = \frac {a \cdot t_e}{2} = \frac {a \cdot t}{2}
=> Formel (2) <v> = \frac {a \cdot t}{2}
Wird ein Körper gleichmäßig beschleunigt, so erreicht er nach der Zeit t die Geschwindigkeit v. Der dabei zurückgelegte Weg ist:
s = <v> \cdot t
Mit der Formel (2) <v> = \frac {a \cdot t}{2}
folgt s = \frac {a \cdot t}{2} \cdot t = \frac {a \cdot t^2}{2}
Somit gibt für das Weg-Zeit-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung:
💡
| s = \frac {a \cdot t^2}{2} |
Achtung: Dies gilt nur bei Beschleunigung aus dem Stillstand!
Beispielrechnung
Ein Auto beschleunigt aus dem Stillstand mit a=\frac{5m}{s ^2 } .
Welche Strecke hat es nach 10 Sekunden zurückgelegt?
Dazu setzen wir wieder die Werte in die Formel ein: s = \frac{5 \frac{m}{s ^2 } \cdot {(10s)}^2}{2}
Diesmal haben wir über und unter dem Bruchstrich Sekunden zum Quadrat. Das können wir kürzen und erhalten: s = \frac{5 m \cdot 100}{2} = 250 m.
Nach 10 Sekunden hat das Auto eine Strecke von 250 Metern zurückgelegt.
Dazu kannst du dir dieses 📽 Video Strecke berechnen mit Beschleunigung und Zeit ansehen.
5. Berechnung der Beschleunigung aus Strecke und Endgeschwindigkeit (aus dem Stillstand)
Dafür haben wir noch keine Formel. Aber wir haben diese beiden Formeln:
Formel 1: v = a \cdot t Formel 2: s = \frac {a \cdot t^2}{2}
Das sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Deshalb können wir dies lösen, indem wie eine Formel in die andere einsetzen:
Als erstes stellen wir Formel 1 nach t um, indem wir auf beiden Seiten durch a dividieren: t = \frac {v}{a} .
Danach setzen wir dies in Formel 2 ein, indem wir das t durch Formel 1 ersetzen: s = \frac {a \cdot (\frac{v}{a})^2}{2} =>
s = \frac {a \cdot (\frac{v}{a})^2}{2}
\Leftrightarrow s= \frac {a \cdot \frac{v^2}{a^2}}{2}
\Leftrightarrow s= \frac {v^2}{2a}
Dann stellen wir die Formel nach a um, indem wir auf beiden Seiten durch a dividieren und mit s multiplizieren:
\Leftrightarrow a= \frac {v^2}{2s}Damit haben wir auch die Formel zur Berechnung der Beschleunigung aus Geschwindigkeit und Zeit:
Formel:
💡
| a=\frac {v^2}{2 \cdot s } |
💡
Achtung: Das s unterm Bruchstück steht hier für die Strecke!
Jetzt können wir die Tabelle aus unserem Versuch mit der Kugel vervollständigen und alle Werte zur Kontrolle berechnen:
| t(s) | 2 | 4 | 5 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| s(m) = \frac {a \cdot t^2}{2} | 6 | 24 | 51 | 96 | 150 |
| v(m/s) =\frac{s}{t }
v=a \cdot t |
6 | 12 | 15 | 24 | 30 |
| a=\frac{v}{t}
Formel a=\frac {v^2}{2 \cdot s } |
3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
Beispiel
Rennfahrerin Christina sagt: „Mein Rennauto schafft 180 km/h auf 500 Meter.“
gegeben: v = 180 km/h = 50 m/s, s = 500 m.
Gesucht: Die Beschleunigung a.
Jetzt setzen wir die Zahlenwerte ein:
a= \frac {v^2}{2s}
\Rightarrow a= \frac {(50 \frac{m}{s})^2} {2 \cdot 500m}
\Leftrightarrow = \frac {(2500 \frac{m^2}{s^2})} {1000m} = \underline{\underline{2,5 \frac{m}{s^2}}}
Christinas Rennauto hat eine Beschleunigung von =2,5 \frac{m}{s^2}. Damit hat es die gleiche Beschleunigung wie Michaels Rennauto.
Die Berechnung der Strecke aus der Bewegung heraus erkläre ich Darauf gehe ich hier ausführlich ein. ausführlich.
Dazu kannst du dir dieses 📽 Video Zeit und Beschleunigung berechnen aus Geschwindigkeit und Weg ansehen.
6. Zusammenfassung aller Formeln:
Zusammenhang zwischen Beschleunigung, Geschwindigkeit und Zeit:
a=\dfrac{v}{t}
Wenn man diese Formel umstellt, ergibt sich: t = \dfrac{v}{a}
Außerdem: v = a · t
Zusammenhang zwischen Beschleunigung, Geschwindigkeit und Strecke:
a=\dfrac {v^2}{2 \cdot s }
Zusammenhang zwischen Beschleunigung, Zeit und Strecke:
s = \dfrac {a \cdot t^2}{2}
Hier findest du die Aufgaben zum Thema.
Hier geht es um Beschleunigung aus der Bewegung und Bremsweg.
Und hier eine Übersicht über weitere Beiträge zum Thema Mechanik und Elektronik, darin auch Links zu weiteren Aufgaben.