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Dreisatz Mathematik Mathematische Grundlagen

Dreisatz einfach rechnen

Dreisatz einfach erklärt

  • Als erstes werde ich die anhand eines Beispiels erklären, wie man den Dreisatz in drei einfachen Schritten rechnet. Dabei gebe ich auch einen Hilfe zum Lösen der Dreisatzaufgaben.
  • Danach zeige ich anhand anschaulicher Beispiele die verschiednen Arten des Dreisatzes:
  • Einfacher Dreisatz proportional und antiproportional.
  • Dabei gebe ich wieder eine Hilfe zum Erkennen, wann ein Dreisatz proportional ist.
  • Zweifach verschachtelter Dreisatz proportional-proportional
  • Dreifach verschachtelter Dreisatz proportional-antiproportional-antiproportional.
  • Auch hier finden Sie wieder eine Hilfe zum Erkennen, wann ein Dreisatz verschachtelt ist.

Keine Sorge! Dies ist einfacher als es jetzt klingt!

Beispiel einfacher Dreisatz:

Ein Gartenbauer verlegt in 8 Stunden 200 m2 Rollrasen. Wieviel Rollrasen würde er bei gleicher Leistung in 13 Stunden verlegen?

Tipp zum Lösen der Dreisatzaufgaben:

Wenn Sie eine Aufgabe lösen, überlegen sie immer, wonach wir suchen!
Hier ist die gesuchte Größe Anzahl der m2 Rollrasen.

In drei einfachen Schritten: die Dreisatzformel:

Beim Dreisatz geht man stets in drei Schritten (Sätzen) vor.

Tipp: Am besten schreibt man sie als Satz auf. Dadurch versteht man leichter, was gerechnet wird.

1. Satz: Bekanntes Verhältnis: In 8 Stunden 200 m2
2. Satz: Schluss auf die Einheit: In 1 Stunde den 8. Teil
3. Satz: Schluss auf die gesuchte Mehrheit: In 13 Stunden 13 mal soviel.

beispiel_1: Beispiel einer proportionalen Zuordnung

Daraus entsteht zur Rechnung ein Bruch, bei dem der Ausgangswert (hier 200 m2) im Zähler steht. Der Teil steht im Nenner (hier 8), mal steht im Zähler (hier 13).
In diesem Fall braucht der Gartenbauer mehr Zeit, je mehr Rasen er verlegt. Deshalb spricht man hier von einer proportionalen Zuordnung. Das erkläre ich gleich genauer.

Lösung: In 13 Stunden würde der Gartenabeiter 325 m2 Rollrasen verlegen.

Grundsatz:

Bei Dreisatzrechnungen sind die Zuordnungen entweder proportional oder antiproportional.

Einfacher Dreisatz proportional

Wann ist der Dreisatz proportional? Tipp:

Wenn zwei Größen im gleichen Verhältnis zu- oder abnehmen, spricht man von einer proportionalen Zuordnung.

Beispiele:

– Je mehr km ein Auto fährt, desto mehr Benzin benötigt es.
– Je weniger am Tag gearbeitet wird, desto weniger Lohn erhält man.
Anders ausgedrückt:
– Zum Doppelten der einen Größe gehört das Doppelte der anderen Größe.
– Zur Hälfte der einen Größe gehört die Hälfte der anderen Größe.

Wenn sich zwei Größen im gleichen Maße verändern, dann muss man sie auch genauso berechnen.
Falls man also die eine Größe mit einer Zahl multipliziert, muss man auch die andere Größe mit derselben Zahl multiplizieren.
Wenn man die eine dividiert, muss man die andere auch mit der gleichen Zahl dividieren.

Sobald man das verstanden hat, ist der Dreisatz einfach.

Beispiel

f_799

des_052: Zusammenhang proportional

entsprechend gilt auch
f_800


Beispiel

Ein Pkw verbraucht auf 100 km 9,6 Liter Benzin. Mit einer Tankfüllung kommt er 540 km weit.
Wie viel Liter fasst der Tank? Das Ergebnis ist auf ganze Liter aufzurunden.

f_490: Einfacher Dreisatz proportional

Es handelt sich um einen proportionalen Zusammenhang.
Je mehr Kilometer das Auto fährt, desto mehr Liter Benzin benötigt es.
In Kurzform: je mehr km, desto mehr Liter ⇒ proportional

Antwort: Der Tank fasst 52 Liter.

Bemerkung:  Zwischenergebnisse sind nicht nötig, die Zahl vor dem Wort „mal” steht in der Rechnung auf dem Bruchstrich, die Zahl vor dem Wort „Teil” steht im Nenner. Das gilt für alle Aufgaben.




Einfacher Dreisatz antiproportional

Wann ist der Dreisatz antiproportional? Tipp:

Wenn zwei Größen im umgekehrten Verhältnis zu- oder abnehmen, spricht man von einer antiproportionalen Zuordnung.

Beispiele:
– Je mehr Arbeiter für eine bestimmte Arbeit zur Verfügung stehen, desto weniger Zeit ist erforderlich.
– Je langsamer ich fahre, desto mehr Zeit benötige ich für eine bestimmte Strecke.
Anders ausgedrückt:
– Zum Doppelten der einen Größe gehört die Hälfte der anderen Größe.
– Zur Hälfte der einen Größe gehört das Doppelte der anderen Größe.

Deshalb gilt hier das Umgekehrte also beim proportionalen Dreisatz:
Wenn zwei Größen im umgekehrten Verhältnis zu- oder abnehmen, muss man sie auch anders berechnen!
Falls man also die eine Größe mit einer Zahl multipliziert, muss man die andere Größe durch dieselben Zahl dividieren.
Wenn man die eine dividiert, muss man die andere mit der gleichen Zahl multiplizieren.

Beispiel

f_801

des_053: Zusammenhang antiproportional

entsprechend gilt auch
f_802

Der einfache Dreisatz kann auch in verkürzter Form tabellarisch durchgeführt werden.

Beispiele

5 kg Bananen kosten 9 €.
Wie teuer sind 7 kg Bananen derselben Sorte?

proportional

des_054: Dreisatz in Tabellenform

7 kg Bananen kosten 12,60 €.

Beispiel

Bei einer mittleren Geschwindigkeit von 60 km/h dauert die Fahrt von Duisburg nach Frankfurt 5 Stunden.
Wie lange dauert die Fahrt bei einer mittleren Geschwindigkeitvon 80 km/h?

antiproportional

des_055

Bei einer mittleren Geschwindigkeit von 80 km/h dauert die Fahrt 3,75 Stunden.

Beispiel  

Nach einer großen Gartenparty brauchen 4 Helfer 3 Stunden für die Aufräumarbeiten. Wie lange dauert das Aufräumen mit 6 Helfern?
Überlegung: Die gesuchte Größe ist die Aufräumzeit in Stunden.

beispiel_2: Beispiel einer antiproportionalen Zuordnung

1. Satz: Bekanntes Verhältnis: 4 Helfer brauchen 3 h2
2. Satz: Schluss auf die Einheit: 1 Helfer braucht 4 mal solange
3. Satz: Schluss auf die gesuchte Mehrheit: 6 Helfer brauchen 6 mal soviel

Antwort: Mit 6 Helfern dauert das Aufräumen 2 Stunden.


Beispiel

Drei Pflasterer benötigen für eine Hofeinfahrt 11,5 Stunden.
Wie lange brauchen 5 Pflasterer?

Dies ist ein Beispiel für einen antiproportionalen Zusammenhang. Je mehr Pflasterer arbeiten, desto schneller sind sie fertig, also desto weniger Stunden brauchen sie.

In Kurzform: je mehr Pflasterer, desto weniger Stunden ⇒ antiproportional

f_493: Einfacher Dreisatz antiproportional

Antwort: 5 Pflasterer brauchen 6,9 Stunden, also etwa 7 Stunden.


Zweifach verschachtelter Dreisatz proportional-proportional

Beispiel

Ein 7 m2 großes Kupferblech, 5 mm dick und wiegt 313,6 kg.
Wie viel wiegt ein 6 mm dickes Kupferblech, das eine Fläche von 4 m2 hat?
Es ist auf ganze Kilogramm zu runden.

In dieser Aufgabe haben wie die Größe des Blechs, seine Dicke und sein Gewicht. Also drei Dinge. Eines davon kennen wir nicht, zwei müssen wir berücksichtigen:
Je dicker und größer das Blech ist, desto schwerer ist es. Deshalb müssen wir zweimal rechnen.

In Kurzform: je mehr mm, desto schwerer das Blech ⇒ proportional
je mehr m2, desto schwerer das Blech ⇒ proportional

f_496: Zweifach verschachtelter Dreisatz proportional- proportional

Antwort: Das Kupferblech wiegt etwa 215 kg.

Tipp: Wenn in einer Aufgabe drei Dinge erwähnt werden, müssen Sie einen zweifach verschachtelten Dreisatz rechnen.


Zweifach verschachtelter Dreisatz antiproportional-proportional

Beispiel

Um eine Fläche von 720 m2 zu pflastern, brauchen 7 Maurer 160 h.
Wie lange benötigen 5 Maurer für eine Fläche von 600 m2 ?
Die Zeit ist in Stunden und Minuten anzugeben.

Zuerst wird über die Maurer, dann über die Fläche geschlossen.

f_499: Zweifach verschachtelter Dreisatz antiproportional- proportional

Antwort: 5 Maurer brauchen 186 Stunden und 40 Minuten.

Hier handelt es sich um eine Mischung aus einer proportionalen und einer antiproportionalen Beziehung:
Je mehr Maurer pflastern, desto schneller sind sie fertig.
Je größer die Fläche ist, desto länger brauchen sie.

In Kurzform: je mehr Maurer, desto weniger Stunden ⇒ antiproportional




Dreifach verschachtelter Dreisatz proportional-antiproportional-antiproportional

Beispiel

Zwölf Einschaler haben bei 9- stündiger Arbeitszeit in 7 Tagen 390 m2 Betonschalung hergestellt.
Wie viel Einschaler sind bei gleicher Leistung einzusetzen, wenn in insgesamt 21 Tagen 2340 m2 Betonschalung hergestellt werden müssen, und die tägliche Arbeitszeit statt der 9, nur noch 8 Stunden beträgt?

Hier sollen Sie die Anzahl der Einschaler berechnen.
Wir haben hier wieder eine Mischung aus proportionalen und antiproportionalen Zusammenhängen:
Je größer die einzuschalende Fläche ist, desto mehr Einschaler werden benötigt.
und je mehr Zeit zur Verfügung steht, desto weniger Einschaler braucht man.
Je geringer die Arbeitszeit pro Tag ist, desto mehr Einschaler braucht man.

In Kurzform: je mehr m2, desto mehr Einschaler ⇒ proportional
je mehr Tage, desto weniger Einschaler ⇒ antiproportional
je weniger Stunden, desto mehr Einschaler ⇒ antiproportional

Tipp: Wenn in einer Aufgabe vier Dinge erwähnt werden, müssen Sie einen dreifach verschachtelten Dreisatz rechnen.

f_502: Dreifach verschachtelter Dreisatz

Antwort: Man braucht 27 Einschaler.


Aufgaben hierzu: Dreisatz Aufgaben

und Dreisatz Aufgaben II



Hier finden Sie eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Dreisatz und zu anderen mathematischen Grundlagen.

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