Flächen zwischen Funktionsgraphen

Flächeninhalt zwischen den Graphen zweier Funktionen

Bis jetzt haben wir den Flächeninhalt einfacher Flächen ermittelt, das heißt zwischen einem Graphen und der x-Achse. Manchmal müssen wir den Inhalt einer Fläche berechnen, die zwischen zwei Funktionsgraphen liegt. Dazu berechnet man die Differenz der Flächen zwischen den jeweiligen Funktionen mit der x-Achse. Zuerst stelle ich ein anschauliches Beispiel vor. Danach erkläre ich die Berechnung. Anschließend betrachte ich den Fall, dass eine Funktion unterhalb der x-Achse liegt. Dann beschreibe ich die allgemeine Formel zur Berechnung der Fläche zwischen zwei Funktionen. Die Vorgehensweise dazu erkläre ich anhand eines ausführlichen Beispiels. Zuletzt stelle ich Trainingsaufgaben zur Verfügung.

Beispiel:

mc_133

Wir wollen die Fläche A zwischen zwei Funktionsgraphen ermitteln.

mc_134

Dazu brauchen wir  die Fläche zwischen der 1. Funktion und der x-Achse A1.

mc_135

Außerdem die Fläche zwischen der 2. Funktion und der x-Achse A2.

Also kann man A wie folg berechnen:

f_0741.

Berechnung:

f_0742

Eine Funktion liegt unterhalb der x-Achse

Wie wir im letzten Beitrag gesehen haben, hängt das Vorzeichen des Ergebnisses einer Flächenberechnung davon ab, ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegt. Wir untersuchen nun, ob das einen Einfluss auf die Berechnung im obigen Beispiel hat. Dafür verschieben wir die Graphen der beiden Funktionen längs der y-Achse um drei Einheiten nach unten und berechnen den Flächeninhalt neu.

mc_136mc_137
Aus der Anschauung heraus sollte das Ergebnis gleich sein.
Auch die x – Werte der Schnittpunkte und somit die Integrationsgrenzen bleiben unverändert.

f_0743



Formel zur Berechnung der Fläche zwischen zwei Funktionen

f_0744mc_138

Vorgehensweise anhand eines ausführlichen Beispiels

Zuerst zeichnen wir beide Graphen in ein Koordinatensystem. Die Integrationsgrenzen sind die x-Koordinaten der Schnittpunkte beider Graphen.

b1_1_l

b1_des_l

b1_2_l

Die Fläche zwischen den beiden Graphen beträgt etwa 15,798 FE.

Bemerkung:
Man kann die Rechnung auch ohne Beträge durchführen, wenn man von dem Ergebnis, falls es negativ ist, den Betrag bildet.
Falls f(x) im Integrationsintervall [ a ; b ] oberhalb von g(x) liegt, ist das Ergebnis positiv.
Falls f(x) im Integrationsintervall [ a ; b ] unterhalb von g(x) liegt, ist das Ergebnis negativ.

Nachfolgend zeige ich, wie man obige Rechnung mit einem Taschenrechner mit Speicherfunktionen besitzt durchführt.
Zum Beispiel mit dem  TI- 30 eco RS von Texas Instruments.
Lösen Sie das bestimmte Integral:

b1_3_l
Wir speichern die Integrationsgrenzen a und b im Taschenrechner. Dann berechnen wir den algebraische Ausdruck.

b1_4_l



Trainingsaufgaben: Flächen zwischen Funktionsgraphen

Bestimmen Sie die Flächen zwischen folgenden Funktionsgraphen und zeichnen Sie beide Graphen in ein Koordinatensystem. Schraffieren Sie die berechnete Fläche.

1.01

2.02

3.03

4.04

5.05

6.06

7.07

8.08

9.09

10.10


Hier finden Sie die Lösungen.

Und hier eine Übersicht über weitere Beiträge zum Thema Integralrechnung, darin auch Links zur Theorie und zu weiteren Aufgaben.



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