Berechnung einfacher Flächen

Flächeninhalt einfacher Flächen in der Integralrechnung

Im letzten Beitrag  haben wir gesehen, wie wir die Wiese aus dem Einführungsbeispiel mit Hilfe der Integralrechnung berechnen können. Hier zeige ich wie man den Flächeninhalt einfacher Flächen in der Integralrechnung berechnet. Zuerst demonstriere ich anhand eines anschaulichen Beispiels, wie man bei einer Funktion 1. Grades die Fläche zwischen f(x) und der x-Achse mittels Integration berechnet. Danach erkläre ich das Gleiche bei einer Funktion 2. Grades. Danach wird der Zusammenhang zwischen Flächenlage und Vorzeichen klar. Anschließend untersuche ich, was geschieht, wenn die Integrationsgrenzen vertauscht werden. Bevor ich Trainingsaufgaben zur Verfügung stelle, zeige ich den Rechenweg anhand eines Beispiels.

1. Beispiel

mc_125

f_0714

2. Beispiel
mc_126
f_0715

3. Beispiel
mc_127
f_0716

Die Rechnung zeigt, dass die Fläche oberhalb der x-Achse positiv und die unterhalb der x-Achse negativ zählt.
Im 3. Beispiel heben sich die Flächen gegenseitig auf.

Soll die physikalische Fläche ermittelt werden, dann müssen wir das Integral aufteilen und mit Beträgen rechnen.

f_0717



4. Beispiel

f_0719
mc_128

f_0718

5. Beispiel

f_0720
mc_129
f_0721

Zusammenhang zwischen Flächenlage und Vorzeichen:

f_0722




Vertauschung der Integrationsgrenzen

Was geschieht, wenn die Integrationsgrenzen vertauscht werden?

6. Beispiel

f_0723
mc_130

f_0724

7. Beispiel

f_0725
mc_131
f_0726

f_0727

Satz

f_0728

8. Beispiel

f_0729
mc_132
f_0730

Ausführliches Beispiel:

b1_e

Trainingsaufgaben: Integrale berechnen

Bevor Sie anfangen zu üben, stelle ich die Vorgehensweise anhand eines ausführlichen Beispieles vor:

b1_e

Berechnen Sie folgende bestimmte Integrale:

1.01

2.02

3.03

4.04

5.05

6.06

7.07

8.08

9.09

10.10


Hier finden Sie die Lösungen Integralrechnung II.

Und hier eine Übersicht über alle Beiträge zur Integralrechnung, darin auch Links zur Theorie und zu weiteren Aufgaben.




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