Vom unbestimmten zum bestimmten Integral

Vorbetrachtungen

Im letzten Beitrag haben gesehen, wenn zu einer Funktion f(x) eine Stammfunktion F(x) ermittelt werden kann, so existieren unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur durch eine additive Konstante C voneinander unterscheiden.

Beispiel:
f_0706
Definition:
f_0707

Der Zusammenhang zwischen der Differenzial – und Integralrechnung können wir mit folgendem Satz beschreiben:

Satz:

f_0708




Zur Flächenberechnung

Wenn wir nun die Fläche unter dem Funktionsgraphenzwischen in den Intervallgrenzen [ a ; b ] bestimmt wollen,
so können wir dazu die bisherigen Erkenntnisse auf unser Problem anwenden .
mc_119
Die Überlegungen nach der Existenz einer Flächenfunktion führten uns zu folgender Erkenntnis:
Es besteht eine Beziehung zwischen
1. der Fläche unter dem Funktionsgraphen der betrachteten Funktion f(x) bis zur Stelle x0 und
2. einer Funktion F(x), in der die Ableitung der Funktion F(x) an der Stelle x0 gleich dem Funktionswert der Funktion f an der Stelle x0 ist.
mc_120
f_0709
mc_121
mc_122
Die Fläche zwischen den Intervallgrenzen [ a ; b ] lässt sich ermitteln aus der Differenz der Fläche unter dem Funktionsgraphen an der Stelle.
f_0710
mc_123
Satz:

f_0711

Jetzt versuchen wir mit den bisherigen Erkenntnissen noch einmal die Fläche der Wiese aus dem Einführungsbeispiel zu berechnen.

mc_124
f_0712

Die Konstante fällt bei der Subtraktion heraus. In der Praxis hat sich für die Lösung dieses Problems eine andere Schreibweise bewährt:

f_0713


Im nächsten Beitrag werden wir uns ansehen, wie man einfache Flächen gundsätzlich berechnet und dazu wieder die Integralrechnung einsetzen.

Aufgaben hierzu befinden sich noch auf www.brinkmann-du.de, werden hier auch bald für mobile Endgräte optimert.




Gefällt dir die Seite? Dann freuen wir uns über ein like auf facebook.
Die Unterrichtsmaterialien gibt es in unserem Shop. Pakete mit vielen PDF-Datei ab 1 Euro und für Lehrer als WORD-Dateien, die beliebig geändert werden können.