Vom unbestimmten zum bestimmten Integral

In diesem Beitrag erkläre ich, wie man vom Integral unbestimmten zum bestimmten Integral kommt.

Vorbetrachtungen

Im letzten Beitrag haben gesehen, wenn zu einer Funktion f(x) eine Stammfunktion F(x) ermittelt werden kann, so existieren unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur durch eine additive Konstante C voneinander unterscheiden.

Beispiel:

Definition unbestimmtes Integral:

Der Zusammenhang zwischen der Differenzial – und Integralrechnung können wir mit folgendem Satz beschreiben:

Satz unbestimmtes Integral:

.

Zur Flächenberechnung mit dem unbestimmten Integral

Wenn wir nun die Fläche unter dem Funktionsgraphenzwischen in den Intervallgrenzen [ a ; b ] bestimmt wollen,
so können wir dazu die bisherigen Erkenntnisse auf unser Problem anwenden .

Die Überlegungen nach der Existenz einer Flächenfunktion führten uns zu folgender Erkenntnis:
Es besteht eine Beziehung zwischen
1. der Fläche unter dem Funktionsgraphen der betrachteten Funktion f(x) bis zur Stelle x₀ und
2. einer Funktion F(x), in der die Ableitung der Funktion F(x) an der Stelle x₀ gleich dem Funktionswert der Funktion f an der Stelle x₀ ist.




Die Fläche zwischen den Intervallgrenzen [ a ; b ] lässt sich ermitteln aus der Differenz der Fläche unter dem Funktionsgraphen an der Stelle.


Satz:

Jetzt versuchen wir mit den bisherigen Erkenntnissen noch einmal die Fläche der Wiese aus dem Einführungsbeispiel zu berechnen.

Die Konstante fällt bei der Subtraktion heraus. In der Praxis hat sich für die Lösung dieses Problems eine andere Schreibweise bewährt:

Im nächsten Berechnung einfacher Flächen werden wir uns ansehen, wie man einfache Flächen grundsätzlich berechnet und dazu wieder die Integralrechnung einsetzen.

Hier findest du eine Übersicht über weitere Beiträge zum Thema Integralrechnung, dort auch Links zu weiteren Aufgaben.