Einführungsbeispiel zur Integralrechnung

Einführung in die Integralrechnung

Nachdem wir uns intensiv mit der Differentialrechnung beschäftigt haben, gebe ich hier eine Einführung in die Integralrechnung. Während die Differentialrechnung  eingesetzt wird, um Grenzwerte wie zum Beispiel den maximalen Gewinn zu berechnen, wird die Integralrechnung zur Flächenberechnung eingesetzt. Die Integralrechnung ist sozusagen die Umkehrung der Differentialrechnung.

Als erstes werde ich dies anhand eines praktischen Beispiels veranschaulichen, erst im nächsten Beitrag die Flächenfunktion erklären.

Beispiele: Eine Wiese soll verkauft werden

Die abgebildete Wiese soll verkauft werden. Sie wird oben von einem Bachlauf, links und unten von einer Landstraße und rechts von dem Nachbargrundstück begrenzt.
Um die Wiese verkaufen zu können, müssen wir nun die Fläche ermittelt.
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Beispiel für das Berechnen der Untersumme:

Als erstes ermittelt der Käufer für sich die Fläche. Dabei behält er aber im Hinterkopf, dass er die Fläche bezahlen muss. Er will keinesfalls mehr bezahlen, als er wirklich an Wiese bekommt.

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Dabei unterteilt er die Wiese in Streifen. Jeder Streifen ist 50 m breit und hat die in der Zeichnung angegebene Höhe. Die Streifenflächen werden anschließend. zusammengezählt.

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Für den Käufer ergibt sich somit eine Gesamtfläche von etwa 123700 m2

Beispiel für das Berechnen der Obersumme:

Der Verkäufer soll die Fläche auch möglichst genau, aber keinesfalls zu klein angeben.

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Auch er unterteilt die Wiese in Rechtecke, die 50 m breit sind. Allerdings haben die Streifen eine andere Höhe, wie man in der Zeichnung sehen kann. Die Streifenflächen werden auch hier zusammengezählt.
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Für den Verkäufer ergibt sich somit eine Gesamtfläche von etwa 143700 m2

Nachdem nun Verkäufer und Käufer jeweils die Fläche bestimmt haben, kommen beide zusammen und müssen sich über die zu bezahlende Fläche einig werden.
Käufer und Verkäufer könnten sich in der „Mitte“ treffen, das bedeutet, dass sie beide den errechneten Mittelwert akzeptieren.
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Was der Käufer gemacht hat, nennt man die Untersumme bilden.
Was  der Verkäufer gemacht hat, nennt man die Obersumme bilden.
Der tatsächliche Flächenwert liegt irgendwo dazwischen.

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Im nächsten Beitrag werden wir ein Verfahren entwickeln, diesen Wert genau zu berechnen. Schritt für Schritt werde ich die Flächeninhaltsfunktion erklären.

Dort gibt es dann auch Aufgaben mit ausführlichen Lösungen dazu.



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