Nachdem wir die Theorie der Differentialrechnung in mehreren Beiträgen kennengelernt haben, stelle ich hier anhand von Beispielen die Anwendungen im Alltag vor. Zuerst die Betriebswirtschaftliche Anwendungen der Differentialrechnung. Dazu muss ich die Begriffe Kostenfunktion, Differentialkosten und Grenzkosten erläutern. Danach stelle ich die Naturwissenschaftliche Anwendungen der Differentialrechnung vor.
Betriebswirtschaftliche Anwendungen der Differentialrechnung
Im betriebswirtschaftlichen Alltag wird die Differntialrechnung wie folgt angewendet:
Definition:
Die Ableitung der Kostenfunktion K(x) bezeichnet man als Differentialkosten K'(x) oder auch als Grenzkosten K'(x).
Beispiel:
Gegen ist die Kostenfunktion K(x) = x3 – 9x2 + 40 x + 94
a) Bestimme die Differentialkosten, erstelle dann eine Wertetabelle für K(x) und für K'(x) und zeichne beide Graphen in ein Koordinatensystem.
Dabei sollte die Wertetabelle für I = [ 0 ; 6 ] mit der Schrittweite 1.
b) Bestimme anschließend den geringsten Kostenzuwachs.
Der geringste Kostenzuwachs liegt im Scheitel der Parabel K'(x), also dort, wo die Tangente an K'(x) waagerecht ist.
K'(x) = 3x2 – 18 x + 40 \Rightarrow K''(x) = 6x - 18
Bedingung für waagerechte Tangente an K'(x):
K''(x) = 0 \Leftrightarrow 6x - 18 = 0 \Rightarrow \underline{\underline{x = 3}}
Das gleiche Ergebnis hätten wir auch aus der Tabelle für K'(x) ablesen können.
Mit anderen Worten: Der geringste Kostenzuwachs entsteht bei einer Ausbringungsmenge von x = 3, dort beträgt er 13 GE / ME.
Naturwissenschaftliche Anwendungen der Differentialrechnung
In der Mathematik betrachtet man meistens Funktionen in Abhängigkeit von der Variablen x.
Dagegen behandelt man in den Naturwissenschaften oft Funktionen in Abhängigkeit von der Zeit t.
Beispiel:
Das Weg-Zeit-Gesetz für einen gleichmäßig beschleunigten Gegenstand mit der Anfangsgeschwindigkeit v_0 = 4\dfrac{m}{s} und \quad der \quad Beschleunigung \quad a = 1,8\dfrac{m}{s} lautet:
💡 s(t) = \dfrac{1}{2}at^2 + v_0t 💡
Merke:
Hier findest du die Aufgaben zur Differentialrechnung VII.
Hier findest du eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Differentialrechnung.
