Tangente und Normale

Tangente, Normale berechnen

Tangentensteigung

Wie wir bereits in dem Beitrag Steigung und Tangente gesehen haben, ist die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt P ( x0 | f (x0) ) gleichbedeutend mit der Tangentensteigung in diesem Punkt. Deshalb werde ich in diesem Beitrag zeigen, wie man Tangente und Normale berechnet, mit anderen Worten: Wie man eine Tangentengleichung bestimmt. Als erstes werde ich anschauliche Beispiele vorstellen, danach die allgemeine Herleitung der Tangenten- und Normalengleichung.

Dazu betrachten wir die Funktion f(x) und deren Ableitungsfunktion etwas genauer.

f_0528: quadratische Funktion und deren Ableitung

Hierzu stellen wir sowohl für die Funktion, wie auch für deren Ableitungsfunktion eine Wertetabelle auf:

f_0529

Aus der Wertetabelle können wir dann den Scheitelpunkt der quadratischen Funktion f(x) ablesen:

f_0530

Mit anderen Worten: im Scheitelpunkt S ist die Steigung von f(x) Null.
Die Tangente in S hat ebenfalls die Steigung Null, sie verläuft dort waagerecht.

Hier sehen Sie die Graphen:

mc_097

f_0531

Merke:

Einsetzen eines x- Wertes in f(x) ergibt die y- Koordinate von P ( x | y ).
Einsetzen eines x- Wertes in f'(x) ergibt die Steigung des Graphen oder die Steigung der Tangente von f(x) im Punkt P ( x | y ).




Tangentengleichung, Normalengleichung

Die Normale ist eine Gerade, die senkrecht zur Tangente an einen Graphen durch deren Berührungspunkt verläuft.
Gegeben ist die Funktion

f_0533

Als nächstes bestimmen wir die Gleichung für Tangente und Normale an der Stelle x0 = 2, anders ausgedrückt für den Punkt P ( 2 | f(2) ).

Vorüberlegung:

Die Tangente ist eine Gerade mit der Gleichung:

f_0534: Tangentengleichung

Die Normale ist eine dazu senkrechte Gerade:

f_1902: Normalengleichung

Die Steigung der Tangente entspricht der Steigung des Graphen von f(x) im Punkt P.

Vorgehensweise:

Wir setzen den Wert für x0 in den Funktionsterm von f(x) ein. Damit erhalten wir die fehlende Koordinate von P.
Dann leiten wir die Funktion f(x) ab.
Danach setzen wir den Wert für x0 in den Ableitungsterm f'(x) ein. Da f'(x) die Steigungsfunktion von f(x) ist, erhalten wir somit die Steigung mt der Tangente in P. Die Steigung mt und die Koordinaten des Punktes P setzen wir als nächstes in die Tangentengleichung ein. Damit erhalten wir den Ordinatenabschnitt bt der Tangente und die Tangentengleichung ist fertig.
Um die Gleichung der Normalen zu erhalten, verfahren wir analog, verwenden für deren Steigung jedoch den negativ reziproken Tangentensteigungswert.
Nachfolgende Rechnung das verdeutlicht dies:

Rechnung:

f_0535

Die Methode zur Berechnung der Tangente ist vergleichbar mit der, eine Geradengleichung aufzustellen, von der man die Steigung und den Punkt P kennt, durch den sie verläuft.

Siehe auch Berechnung der Funktionsgleichung einer Geraden Fall I

Hier sehen Sie die Graphen:
mc_098




Allgemeine Herleitung der Tangenten- und Normalengleichung

Damit man nicht in jedem einzelnen Fall obige Rechnung erneut durchführen muss, leiten wir nun eine allgemeine Formel her.
Die Tangente soll den Graphen von f(x) im Punkt P (x0 | f(x0) ) berühren.
Die Normale soll den Graphen von f(x) im Punkt P (x0 | f(x0) ) senkrecht schneiden.

Herleitung:

f_0536: Allgemeine Herleitung der Tangenten- und Normalengleichung


Anwendungsbeispiel Tangentengleichung:

Eine Leiter soll so an einen Heuhaufen gelehnt werden, dass sie den Haufen in einer Höhe von 3 m vom Boden aus berührt.
Der Heuhaufen hat die Form einer umgestülpten Parabel, ist 4 m hoch und hat an der Basis einen Durchmesser von ebenfalls 4 m.
Unter welchem Winkel muss die Leiter angelegt werden?
Wie weit vom Fuß des Heuhaufens muss die Leiter auf dem Boden aufgesetzt werden?

des_049

Wir legen die y – Achse durch den Scheitelpunkt des Graphen.

Die Parabel hat die Funktionsgleichung:

f_0537

des_050

Rechnung:

f_0538

Der Abstand vom Heuhaufen, wo die Leiter aufgesetzt werden muss, ist der Abstand zwischen der Nullstelle von f(x) und der Nullstelle von t(x).

Nullstellen:

f_0539

Die Leiter muss also 0,5 m vom Fuß des Heuhaufens entfernt auf den Boden aufgesetzt werden.
Aus dieser Aufgabenstellung haben wir gelernt, wie man die Gleichung einer Tangente bestimmt, die den Graphen in einem definierten Punkt berührt.

Beispiel:

Wir ermitteln die Gleichung der Tangente, die den Graphen von f(x) im Punkt P berührt.

f_0540

Zusammenfassung:

f_0541: Tangenten- und Normalengleichung

Wie geht man vor, wenn wir die Formel anwenden?

Wenn die Koordinate x0 bekannt ist.
Die 2. Koordinate von P erhält man durch Einsetzen von x0 in den Term von f(x).
Dann bilden wir die Ableitung von f(x), also f'(x).
Die Steigung der Tangente erhält man durch Einsetzen von x0 in den Term von f'(x).
Danach setzt man die berechneten Werte in die Gleichung für Tangente bzw. Normale ein und vereinfacht diese durch Umformen.


Hier finden Sie Trainingsaufgaben

Weitere Aufgaben auch hier: Aufgaben Differential- und Integralrechnung VI



Hier finden Sie eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Differentialrechnung.

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