Ab- und Aufleitung elementarer Funktionen Funktion Ableitung Stammfunktion Gegenüberstellung von Differentations- und Integrationsregeln Konstantenregel Summenregel Weitere Regeln für die Differentialrechnung Produktregel: Beispiel: Quotientenregel: Beispiel: Kettenregel: Beispiel: Training: Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel Differenzieren Sie folgende Funktionen mit …
Weiterlesen »Kategorie: Differentialrechnung
Lösungen zu Differentations- und Integrationsregeln
Aufgaben hierzu Teil 1 1.Ausführliche Lösung: 2.Ausführliche Lösung: 3.Ausführliche Lösung: 4.Ausführliche Lösung: 5.Ausführliche Lösung: 6.Ausführliche Lösung: 7.Ausführliche Lösung: 8.Ausführliche Lösung: 9.Ausführliche Lösung: 10.Ausführliche Lösung: Teil 2 1.Ausführliche Lösung: Die Ableitung erfolgt mit Hilfe der Kettenregel. …
Weiterlesen »Funktionenklassen
Einführung Bisher haben wir nur ganzrationale Funktionen kennen gelernt. Sie gehören zu der Klasse der Rationalen Funktionen. In der modernen Mathematik spielen noch weitere Funktionen und Funktionsklassen eine große Rolle. Im nachfolgenden sollen einige Funktionen …
Weiterlesen »Kostenrechnung als Anwendung der Differentialrechnung
Begriffe der Kostenrechnung Gesamtkosten (Ertragliche Kostenfunktion) sind die in einem Betrieb bei der Produktion eines Produktes entstehenden Kosten. Stückkosten sind die Gesamtkosten pro Stück Fixkosten sind die Kosten, die auch dann entstehen, wenn nichts produziert …
Weiterlesen »Kurvendiskussion Beispiel 5
Beispiel 5 1.Definitionsbereich: 2.Symmetrien: Keine Symmetrien 3.Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 unten 4.Wendepunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 unten 5.Achsenschnittpunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 unten 6.Wertetabelle und Graph: Lösungen mit …
Weiterlesen »Kurvendiskussion Beispiel 4
Beispiel 4 1.Definitionsbereich: 2.Symmetrien: 3.Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 unten 4.Wendepunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 unten 5.Achsenschnittpunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 unten 6.Wertetabelle und Graph: Lösungen mit dem Casio …
Weiterlesen »Kurvendiskussion Beispiel 3
Beispiel 3 1.Definitionsbereich: 2.Symmetrien: Keine Symmetrie 3.Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 unten 4.Wendepunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 unten 5.Achsenschnittpunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 unten 6.Wertetabelle und Graph: Lösungen mit …
Weiterlesen »Kurvendiskussion Beispiel 2
Beispiel 2 1.Definitionsbereich: 2.Symmetrien: Keine Symmetrie 3.Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 unten 4.Wendepunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 unten 5.Achsenschnittpunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 unten 6.Wertetabelle und Graph: Lösungen mit …
Weiterlesen »Kurvendiskussion Beispiel 1
Beispiel 1 1.Definitionsbereich: 2.Symmetrien: 3.Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 jeweils unten 4.Wendepunkte: 5.Achsenschnittpunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 jeweils unten 6.Wertetabelle und Graph: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 jeweils unten 7.Krümmungsverhalten …
Weiterlesen »Kurvendiskussion mit Beispielen
Vorbetrachtungen und Begriffserklärungen Um den Graphen einer Funktion zeichnen und interpretieren zu können, ist es erforderlich einiges über markante Punkte des Graphen und über seinen Verlauf im Definitionsbereich zu wissen. Derartige Untersuchungen von Funktionen auf …
Weiterlesen »Exponentialfunktionen und die e-Funktion
Einführung Bei den bisher betrachteten Funktionen traten Exponenten nur als Zahlen auf. Funktionen mit positiver Basis, bei denen die unabhängige Variable x als Exponent auftritt heißen Exponentialfunktionen. Beispiele für Exponentialfunktionen: Die Zahlen 1,5 ; 2 …
Weiterlesen »Extrempunkte berechnen
Vorbetrachtungen und Begriffserklärungen Beim zeichnen eines Funktionsgraphen war es bislang unbefriedigend, den Hochpunkt und den Tiefpunkt nicht zu kennen. Mit Hilfe der Differentialrechnung wollen wir nun versuchen, dieses Problem zu lösen. Definitionen: Hochpunkte bzw. Tiefpunkte …
Weiterlesen »Trainingsaufgaben Extrempunkte ganzrationaler Funktionen dritten Grades
Untersuchen Sie die folgenden ganzrationalen Funktionen auf Extremwerte und bestimmen Sie ggf. die Extrempunkte. Lösungen Gefällt dir die Seite? Dann freuen wir uns über ein like auf facebook Die Unterrichtsmaterialien gibt es in unserem Shop …
Weiterlesen »Lösungen der Trainingsaufgaben Extrempunkte ganzrationaler Funktionen dritten Grades
Untersuchen Sie die ganzrationalen Funktionen auf Extremwerte und bestimmen Sie gegebenenfalls die Extrempunkte. Zeichnen Sie die Graphen der Funktion und deren beider Ableitungen in ein Koordinatensystem. 1. Berechnung: Die Graphen: 2. Berechnung: Die Graphen: 3. …
Weiterlesen »Lösungen der Aufgabe zur Differentialrechnung IX
1a) Die Ableitung f'(x) hat bei x1/2 einfache Nullstellen und wechselt das Vorzeichen. Also hat f(x) zwei Extrempunkte. 1b) Die Ableitung f'(x) hat bei x1/2 einfache Nullstellen und wechselt das Vorzeichen. Also hat f(x) zwei …
Weiterlesen »Aufgabe zur Differentialrechnung IX
Berechnen Sie die Kurvenpunkte mit waagerechter Tangente. Sind diese Kurvenpunkte Extrempunkte? Begründen Sie Ihre Entscheidung. a) b) c) Berechnen Sie die lokalen Extrempunkte des Graphen der Funktion f(x). Zeichnen Sie den Graphen …
Weiterlesen »Wendepunkt, Sattelpunkt und Wendetangente
Vorbetrachtungen und Begriffserklärungen Sie starten mit dem Fahrrad bei A, durchfahren eine S – Kurve und fahren dann weiter bis B. Betrachten Sie mal die jeweilige Lenkerstellung auf der Fahrstrecke. Nach Durchfahren der Linkskurve (Lenkerstellung …
Weiterlesen »Lösungen der Trainingsaufgaben zum Wendepunkt ganzrationaler Funktionen
Untersuchen Sie die folgenden ganzrationalen Funktionen auf Wendestellen und bestimmen Sie gegebenenfalls die Wendepunkte. 1. Die Graphen: 2. Die Graphen: 3. Die Graphen: 4. Die Graphen: 5. Die Graphen: 6. Die Graphen: 7. Die Graphen: …
Weiterlesen »Trainingsaufgaben zum Wendepunkt ganzrationaler Funktionen
Training: Wendepunkte ganzrationaler Funktionen Untersuchen Sie die folgenden ganzrationalen Funktionen auf Wendestellen und bestimmen Sie ggf. die Wendepunkte. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Lösungen Gefällt dir die Seite? Dann freuen …
Weiterlesen »Monotonieeigenschaften
Monotonie, Monotoniesatz In beiden Fällen spricht man von einer monotonen Funktion, und zwar von einer monoton wachsenden Funktion, wenn a1 > 0 ist, und von einer monoton fallenden Funktion, wenn a1 < 0 ist. …
Weiterlesen »Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung VIII
1a) Der Graph der Grenzkostenfunktion ist eine nach oben geöffnete Parabel. Im Scheitelpunkt dieser sind die Grenzkosten am geringsten. 1b) 1c) 1d) 1e) Die Graphen: 2a) Von 0 bis 1 s : Bewegung mit gleichbleibender …
Weiterlesen »Aufgaben zur Differentialrechnung VIII
1. Die Gesamtkosten eines Betriebes werden bei einer maximalen Ausbringungsmenge von 10 ME beschrieben durch K(x). Der Verkaufspreis pro ME beträgt 28 GE. a) Bestimmen Sie die Ableitung der Kostenfunktion (Differentialkostenfunktion oder Grenzkostenfunktion) und zeichnen …
Weiterlesen »Differentialrechnung Anwendungen aus Betriebswirtschaft und Naturwissenschaften
Betriebswirtschaftliche Anwendungen Definition: Die Ableitung der Kostenfunktion K(x) bezeichnet man als Differentialkosten K'(x)oder auch als Grenzkosten K'(x). Beispiel: a) Bestimmen Sie die Differentialkosten , erstellen Sie eine Wertetabelle für K(x) und für K'(x) und zeichnen …
Weiterlesen »Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung VI
1a) 1b) 1c) Eine waagerechte Tangente an f(x) liegt in den Punkten vor, wo die Steigung Null ist. 1d) 1e) 1f) Die Gerade, die f(x) in N ( 3 | 0) schneidet, ist die Normale …
Weiterlesen »Aufgaben zur Differentialrechnung VI
1. a) An welchen Stellen hat f(x) die Steigung 2? b) Geben Sie ohne Rechnung eine weitere Stelle mit der gleichen Steigung an. Begründen Sie Ihre Vermutung. c) In welchen Punkten hat f(x) eine waagerechte …
Weiterlesen »Tangente und Normale
Tangentensteigung Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt P ( x0 | f (x0) ) ist gleichbedeutend mit der Steigung der Tangente in diesem Punkt. Nachfolgend soll nun die Gleichung einer solchen Tangente bestimmt werden. …
Weiterlesen »Lösungen der Trainingsaufgaben zu Tangente und Normale
Tangente an den Graphen von f(x) im Punkt P0( x0 | f(x0) ). Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes P0 und die Gleichung der Tangente durch diesen Punkt. 1. Die Graphen: 2. Die Graphen: 3. …
Weiterlesen »Trainingsaufgaben zu Tangente und Normale
Tangente an den Graphen von f(x) im Punkt P( x0 | f(x0) ). Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes P0 und die Gleichung der Tangente durch diesen Punkt. Bemerkungen zur Tangente: Die Steigung eines Graphen …
Weiterlesen »Lösungen zu den Aufgaben zur Differentialrechnung VI
Leiten Sie folgende Funktionen dreimal ab. 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 2a) 2b) 2c) 2d) Die Anwendung der Produktregel wäre hier zu aufwendig. 2e) 2f) 3a) 3b) 3c) 3d) 3e) 3f) …
Weiterlesen »Aufgaben zur Differentialrechnung VI
Leiten Sie folgende Funktionen dreimal ab. 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 2a) 2b) 2c) 2d) 2e) 2f) 3a) 3b) 3c) 3d) 3e) 3f) 4a) 4b) 4c) 4d) 4e) 4f) 4g) 4h) …
Weiterlesen »Ableitungen höherer Ordnung
Ableiten Außer der ersten Ableitung einer Funktion kennt man auch Ableitungen höherer Ordnung, die durch weiteres differenzieren entstehen. Durch nochmaliges Differenzieren von f'(x) erhält man die Ableitungsfunktion f“(x), die zweite Ableitungsfunktion. Beispiele: Funktionsgraphen Darstellungen der …
Weiterlesen »Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung V
1. Leiten Sie ab! 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 1g) 1h) 1i) 1j) 2. Bilden Sie die Ableitung. Verwenden Sie die Ihnen bekannten Ableitungsregeln. Notieren Sie die Regel, die Sie benutzten. 2a) Konstantenregel …
Weiterlesen »Aufgaben zur Differentialrechnung V
1. Leiten Sie ab. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 2. Bilden Sie die Ableitungen folgender Funktionen. Verwenden Sie die Ihnen bekannten Ableitungsregeln. Notieren Sie die Regel, die Sie jeweils …
Weiterlesen »Differentionsregeln
Bisher bekannte Regeln Potenzregel 1.) Alten Exponenten als Faktor vor die Variable x setzen. 2.) Neuer Exponent ist alter Exponent vermindert um eins Konstantenregel Eine Funktion ist zusammengesetzt aus einer elementaren Funktion multipliziert mit einer …
Weiterlesen »Sekantensteigung, Tangentensteigung und Steigungsfunktion
Die Steigung einer Geraden Steigungsformel für eine Gerade: Beispiel: Wir überprüfen die Gültigkeit dieser Formel mit obigem Beispiel. Die Steigung einer Geraden lässt sich also auch mit dem Differenzenquotienten bestimmen. Sekantensteigung und Tangentensteigung Problem: Wie …
Weiterlesen »Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung IV
1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 1g) 1h) 1i) 1j Gefällt dir die Seite? Dann freuen wir uns über ein like auf facebook Die Unterrichtsmaterialien gibt es in unserem Shop Pakete mit vielen PDF-Datei ab …
Weiterlesen »Aufgaben zur Differentialrechnung IV
Leiten Sie ab. 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 1g) 1h) 1i) 1j) 2a) 2b) 2c) 2d) 2e) 2f) 2g) 2h) 2i) 2j) 3a) 3b) 3c) 3d) 3e) 3f) 3g) 3h) 3i) 3j) 4a) 4b) …
Weiterlesen »Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung III
Leiten Sie ab. 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 1g) 1h) 1i) 1j) 2a) 2b) 2c) 2d) 2e) 2f) 2g) 2h) 2i) 2j) 3a) 3b) 3c) 3d) 3e) 3f) 3g) 3h) 3i) 3j) 4a) 4b) …
Weiterlesen »Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung II
1a) Berechnen Sie die Ableitung von f(x) an den Stellen x = 2 und x = u. Die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle gibt die Steigung des Funktionsgraphen an dieser Stelle an. Statt …
Weiterlesen »Aufgaben zur Differentialrechnung II
1. Berechnen Sie die Ableitung von f(x) an den Stellen x = 2 und x = u. a) b) c) d) 2. Leiten Sie ab. a) b) c) d) …
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