Aufgaben zur Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades verläuft durch folgende Punkte: a)Stellen Sie die Funktionsgleichung auf. b)Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge. c)Machen Sie eine Aussage über den Verlauf des Graphen. …
WeiterlesenKategorie: Differentialrechnung
Lösungen Kurvendiskussion
Lösungen zur Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen Ausführliche Lösung a) Aufstellen der Funktionsgleichung aus den vorgegebenen Punkten. b) Da ganzrationale Funktionen auf ganz IR definiert sind, ist die maximale Definitionsmenge von c) Der Summand von f(x) mit …
WeiterlesenAufgaben Differenzialrechnung XI
Aufgaben zur Differenzialrechnung aus der Praxis 1.Anwendungsaufgabe aus der Landwirtschaft (Biologie). In der Landwirtschaft wird die Reaktionsstärke R auf ein Düngemittel in Abhängigkeit von der gegebenen Menge x (Dosis) durch Funktionen dritten Grades R(x) beschrieben. …
WeiterlesenLösungen Differenzialrechnung XI
Lösungen zur Differenzialrechnung aus der Praxis 1.Anwendungsaufgabe aus der Landwirtschaft (Biologie). In der Landwirtschaft wird die Reaktionsstärke R auf ein Düngemittel in Abhängigkeit von der gegebenen Menge x (Dosis) durch Funktionen dritten Grades R(x) beschrieben. …
WeiterlesenAnwendungsaufgaben Differential- und Integralrechnung I
Anwendungsaufgaben: Werbebanner und vermischte Aufgaben Lösungen hierzu Theorie: Differentations- und Integrationsregeln Weitere Aufgaben hierzu: Differential- und Integralrechnung I und Differential- und Integralrechnung II und Integration der e-Funktion, Flächenberechnungen 1.Die nebenstehende Werbefläche (Mund mit einem …
WeiterlesenLösungen Anwendungsaufgaben Differential- und Integralrechnung I
Lösungen Anwendungsaufgaben: Werbebanner und vermischte Aufgaben Aufgaben hierzu Theorie: Differentations- und Integrationsregeln Aufgaben hierzu: Differential- und Integralrechnung I und Differential- und Integralrechnung II und Integration der e-Funktion, Flächenberechnungen 1.Ausführliche Lösungen: a)Der untere Teil des …
WeiterlesenAufgaben Differential- und Integralrechnung II
Aufgaben Differential- und Integralrechnung: Vermischte Aufgaben Lösungen hierzu Theorie: Differentations- und Integrationsregeln weitere Aufgaben: Differential- und Integralrechnung I und Anwendungsaufgaben Differential- und Integralrechnung I und Integration der e-Funktion, Flächenberechnungen 1.Berechnen Sie die Fläche des …
WeiterlesenLösungen Differential- und Integralrechnung II
Lösungen Differential- und Integralrechnung: Vermischte Aufgaben Aufgaben hierzu Theorie: Differentations- und Integrationsregeln weitere Aufgaben: Differential- und Integralrechnung I und Anwendungsaufgaben Differential- und Integralrechnung I und Integration der e-Funktion, Flächenberechnungen 1.Ausführliche Lösung: 2.Ausführliche Lösung: 3.Ausführliche …
WeiterlesenAufgaben Differential- und Integralrechnung I
Aufgaben Differential- und Integralrechnung, vermischte Aufgaben Lösungen hierzu Theorie hierzu: Differentations- und Integrationsregeln weitere Aufgaben: Differential- und Integralrechnung II und Anwendungsaufgaben Differential- und Integralrechnung I und Integration der e-Funktion, Flächenberechnungen 1.Formen Sie folgende Potenz- …
WeiterlesenLösungen Differential- und Integralrechnung I
Lösungen Differential- und Integralrechnung, vermischte Aufgaben Aufgaben hierzu Theorie: Differentations- und Integrationsregeln Weitere Aufgaben hierzu: Differential- und Integralrechnung II und Anwendungsaufgaben Differential- und Integralrechnung I und Integration der e-Funktion, Flächenberechnungen 1.Ausführliche Lösungen: a) b) …
WeiterlesenDifferentations- und Integrationsregeln
Ab- und Aufleitung elementarer Funktionen Funktion Ableitung Stammfunktion Gegenüberstellung von Differentations- und Integrationsregeln Konstantenregel Summenregel Weitere Regeln für die Differentialrechnung Produktregel: Beispiel: Quotientenregel: Beispiel: Kettenregel: Beispiel: Trainingsaufgaben: Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel Differenzieren Sie folgende Funktionen mit …
WeiterlesenLösungen zu Differentations- und Integrationsregeln
Teil 1 1.Ausführliche Lösung: 2.Ausführliche Lösung: 3.Ausführliche Lösung: 4.Ausführliche Lösung: 5.Ausführliche Lösung: 6.Ausführliche Lösung: 7.Ausführliche Lösung: 8.Ausführliche Lösung: 9.Ausführliche Lösung: 10.Ausführliche Lösung: Teil 2 1.Ausführliche Lösung: Die Ableitung erfolgt mit Hilfe der Kettenregel. 2.Ausführliche Lösung: …
WeiterlesenÜberblick über die wichtigsten Funktionsklassen
Funktionsklassen Bisher haben wir nur ganzrationale Funktionen kennen gelernt. Sie gehören zu der Klasse der rationalen Funktionen. In der modernen Mathematik spielen noch weitere Funktionen und Funktionsklassen eine große Rolle. Im nachfolgenden werde ich die …
WeiterlesenKostenrechnung als Anwendung der Differentialrechnung
Kostenrechnung als Anwendung der Differentialrechnung Nachdem wir uns intensiv mit der Kurvendiskussion beschäftigt haben, können wir nun sehen, wie es in der Kostenrechnung eingesetzt wird. Zuerst erkläre ich einige Begriffe, danach stelle ich ein konkretes …
WeiterlesenKurvendiskussion Beispiel 5
Beispiel 5 1.Definitionsbereich: 2.Symmetrien: Keine Symmetrien 3.Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 4.Wendepunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 5.Achsenschnittpunkte: Lösungen mit dem Casio …
WeiterlesenKurvendiskussion Beispiel 4
Beispiel 4 1.Definitionsbereich: 2.Symmetrien: 3.Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 4.Wendepunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 5.Achsenschnittpunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 …
WeiterlesenKurvendiskussion Beispiel 3
Beispiel 3 1.Definitionsbereich: 2.Symmetrien: Keine Symmetrie 3.Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 4.Wendepunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 5.Achsenschnittpunkte: Lösungen mit dem Casio …
WeiterlesenKurvendiskussion Beispiel 2
Beispiel 2 1.Definitionsbereich: 2.Symmetrien: Keine Symmetrie 3.Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 4.Wendepunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 unten 5.Achsenschnittpunkte: Lösungen mit dem Casio …
WeiterlesenKurvendiskussion Beispiel 1
Kurvendiskussion Beispiel 1 Beispiel 1 1.Definitionsbereich: 2.Symmetrien: 3.Extrema: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 jeweils unten 4.Wendepunkte: 5.Achsenschnittpunkte: Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 und Casio fx-CG 50 jeweils unten 6.Wertetabelle …
WeiterlesenKurvendiskussion mit Beispielen
Einführung in die Kurvendiskussion mit Beispielen Um den Graphen einer Funktion zeichnen und interpretieren zu können, muss man einiges über markante Punkte des Graphen und über seinen Verlauf im Definitionsbereich wissen. Eine Funktionen so auf …
WeiterlesenExponentialfunktionen und die e-Funktion
Exponentialfunktionen Bei den bisher betrachteten Funktionen traten Exponenten nur als Zahlen auf. Es gibt jedoch auch Funktionen mit positiver Basis, bei denen die unabhängige Variable x als Exponent auftritt. Diese nennt man Exponentialfunktionen. Hier einige …
WeiterlesenExtrempunkte berechnen
Extrempunkte berechnen in der Differentialrechnung Vorbetrachtungen und Begriffserklärungen Beim Zeichnen eines Funktionsgraphen war es bislang unbefriedigend, den Hochpunkt und den Tiefpunkt nicht zu kennen. Mit Hilfe der Differentialrechnung wollen wir nun versuchen, dieses Problem zu …
WeiterlesenTrainingsaufgaben Extrempunkte ganzrationaler Funktionen dritten Grades
Trainingsaufgaben Extrempunkte ganzrationaler Funktionen dritten Grades Untersuchen Sie die folgenden ganzrationalen Funktionen auf Extremwerte und bestimmen Sie gegebenenfalls die Extrempunkte. Hier finden Sie die Lösungen und hier die Theorie: Extrempunkte berechnen Gefällt dir die …
WeiterlesenLösungen der Trainingsaufgaben Extrempunkte ganzrationaler Funktionen dritten Grades
Lösungen der Trainingsaufgaben: Extrempunkte ganzrationaler Funktionen dritten Grades Untersuchen Sie jeweils die ganzrationalen Funktionen auf Extremwerte und bestimmen Sie gegebenenfalls die Extrempunkte. Zeichnen Sie die Graphen der Funktion und deren beider Ableitungen in ein Koordinatensystem. …
WeiterlesenLösungen der Aufgabe zur Differentialrechnung IX
1a) Die Ableitung f'(x) hat bei x1/2 einfache Nullstellen und wechselt das Vorzeichen. Also hat f(x) zwei Extrempunkte. 1b) Die Ableitung f'(x) hat bei x1/2 einfache Nullstellen und wechselt das Vorzeichen. Also hat f(x) zwei …
WeiterlesenAufgaben zur Differentialrechnung IX
Aufgaben zur Differentialrechnung IX Berechnen Sie die Kurvenpunkte mit waagerechter Tangente. Sind diese Kurvenpunkte Extrempunkte? Begründen Sie Ihre Entscheidung. a) b) c) Berechnen Sie die lokalen Extrempunkte des Graphen der Funktion f(x). …
WeiterlesenWendepunkt, Sattelpunkt und Wendetangente
Wendepunkt, Sattelpunkt und Wendetangente berechnen Im letzten Beitrag hatten wir uns mit Extrempunkten in der Differentialrechnung beschäftigt. Diese brauchen wir um Wendepunkt, Sattelpunkt und Wendetangente zu berechnen. Als erstes werde ich anhand von Beispielen aus …
WeiterlesenLösungen der Trainingsaufgaben zum Wendepunkt ganzrationaler Funktionen
Untersuchen Sie die folgenden ganzrationalen Funktionen auf Wendestellen und bestimmen Sie gegebenenfalls die Wendepunkte. 1. Die Graphen: 2. Die Graphen: 3. Die Graphen: 4. Die Graphen: 5. Die Graphen: 6. Die Graphen: 7. Die Graphen: …
WeiterlesenTrainingsaufgaben zum Wendepunkt ganzrationaler Funktionen
Training: Wendepunkte ganzrationaler Funktionen Untersuchen Sie die folgenden ganzrationalen Funktionen auf Wendestellen und bestimmen Sie ggf. die Wendepunkte. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Lösungen Gefällt dir die Seite? Dann freuen …
WeiterlesenMonotonieeigenschaften
Monotonieeigenschaften in der Differentialrechnung Monotonie, Monotoniesatz In beiden Fällen spricht man von einer monotonen Funktion, und zwar von einer monoton wachsenden Funktion, wenn a1 > 0 ist, und von einer monoton fallenden Funktion, wenn …
WeiterlesenLösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung VIII
Lösungen zur Differentialrechnung aus der Praxis 1a) Der Graph der Grenzkostenfunktion ist eine nach oben geöffnete Parabel. Im Scheitelpunkt dieser sind die Grenzkosten am geringsten. 1b) 1c) 1d) 1e) Die Graphen: 2a) Von 0 bis …
WeiterlesenAufgaben zur Differentialrechnung VIII
Aufgaben zur Differentialrechnung aus der Praxis 1. Die Gesamtkosten eines Betriebes werden bei einer maximalen Ausbringungsmenge von 10 ME beschrieben durch K(x). Der Verkaufspreis pro ME beträgt 28 GE. a) Bestimmen Sie die Ableitung der …
WeiterlesenDifferentialrechnung Anwendungen aus Betriebswirtschaft und Naturwissenschaften
Nachdem wir die Theorie der Differentialrechnung in mehreren Beiträgen kennengelernt haben, stelle ich hier anhand von Beispielen die Anwendungen in der Praxis vor. Differentialrechnung in der Praxis Betriebswirtschaftliche Anwendungen der Differentialrechnung Definition: Die Ableitung der …
WeiterlesenLösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung VI
Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung VI 1a) 1b) 1c) Eine waagerechte Tangente an f(x) liegt in den Punkten vor, wo die Steigung Null ist. 1d) 1e) 1f) Die Gerade, die f(x) in N ( 3 …
WeiterlesenAufgaben zur Differentialrechnung VI
Aufgaben zur Differentialrechnung VI 1. a) An welchen Stellen hat f(x) die Steigung 2? b) Geben Sie ohne Rechnung eine weitere Stelle mit der gleichen Steigung an. Begründen Sie Ihre Vermutung. c) In welchen Punkten …
WeiterlesenTangente und Normale
Tangentensteigung Wie wir bereits in dem Beitrag Steigung und Tangente gesehen haben, ist die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt P ( x0 | f (x0) ) gleichbedeutend mit der Steigung der Tangente in diesem …
WeiterlesenLösungen der Trainingsaufgaben zu Tangente und Normale
Tangente an den Graphen von f(x) im Punkt P0( x0 | f(x0) ). Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes P0 und die Gleichung der Tangente durch diesen Punkt. 1. Die Graphen: 2. Die Graphen: 3. …
WeiterlesenTrainingsaufgaben zu Tangente und Normale
Tangente an den Graphen von f(x) im Punkt P( x0 | f(x0) ). Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes P0 und die Gleichung der Tangente durch diesen Punkt. Bemerkungen zur Tangente: Die Steigung eines Graphen …
WeiterlesenLösungen zu den Aufgaben zur Differentialrechnung VI
Lösungen zu den Aufgaben zur Differentialrechnung VI Leiten Sie folgende Funktionen dreimal ab. 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 2a) 2b) 2c) 2d) Die Anwendung der Produktregel wäre hier zu aufwendig. 2e) 2f) …
WeiterlesenAufgaben zur Differentialrechnung VI
Aufgaben zur Differentialrechnung VI Leiten Sie folgende Funktionen dreimal ab. 1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 1f) 2a) 2b) 2c) 2d) 2e) 2f) 3a) 3b) 3c) 3d) 3e) 3f) 4a) 4b) 4c) 4d) …
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