Hier ein kurzes Beispiel Aufgabe für eine Kurvendiskussion: Lösungen: 1. Die Achsenschnittpunkte: 2. Extrempunkte und Wendepunkte. 3. Verhalten für große x- Beträge: Für immer größer werdende x- Werte nähert sich der Funktionsgraph asymptotisch der x- Achse. Hier finden Sie die Theorie: Kurvendiskussion mit Beispielen außerdem hier weitere Beispiele, auch mit dem grafikfähigen Taschenrechner: Kurvendiskussion Beispiel […]
Kategorie: e-Funktion
Hier findest du alle Beiträge zum Thema e-Funktion. Von einfachen Erklärungen, über Aufgaben bis hin zu ausführlichen Lösungen findest du hier alles, was du über e-Funktionen wissen musst.
Aufgaben zur Abiturvorbereitung Aufgabe 9 (Analysis) Eine Bergwerksgeschichte, Entwicklung der Förderquote Die jährliche Fördermenge (Förderquote) einer Erzmine wird durch folgende Funktionsgleichung beschrieben: Die Variable t steht für Zeit in Jahren und M(t) für die Förderquote in 1000 Tonnen pro Jahr. Im Jahr 1900 wurde mit einer Förderquote von 6000 Tonnen begonnen. Im Jahr 1971 erreichte […]
Lösungen zur Abiturvorbereitung Aufgabe 9 (Analysis) Eine Bergwerksgeschichte, Entwicklung der Förderquote mit komplettem Lösungsweg Ausführliche Lösung: a) Parameter und Funktionsgleichung. b) Einstellung der Förderung (Nullstelle). Im Jahr 1996 wurde die Förderung eingestellt. c) Berechnung der maximalen Förderquote. Die maximale Förderquote betrug im Jahr 1971 etwa 26.743 Tonnen/Jahr. d) Maximaler Zuwachs der Förderquote (Wendestelle). Die Zunahme […]
Aufgaben zur Abiturvorbereitung Aufgabe 8 (Analysis) Diskussion einer zusammengesetzten Funktion mit e-Funktion Gegeben ist folgende Funktion: Es handelt sich um eine aus zwei Funktionen zusammengesetzte Funktion. Beachten Sie bitte den jeweiligen Definitionsbereich. Bei folgenden Berechnungen genügt eine Genauigkeit von 3 Kommastellen. Aufgaben: a)Für welchen x-Wert hat die Funktion f (x) den größten Wert? Berechnen Sie […]
Lösungen zur Abiturvorbereitung Aufgabe 8 (Analysis) Diskussion einer zusammengesetzten Funktion mit e-Funktion mit komplettem Lösungsweg Ausführliche Lösung: a) Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion. Der Punkt, der den größten Funktionswert kennzeichnet, heißt relatives Maximum. Das relative Maximum kann nur bei der Teilfunktion g(x) auftreten, da h(x) eine abklingende e-Funktion darstellt, die […]
Aufgaben zur Abiturvorbereitung Aufgabe 7 (Analysis) Vireninfektion, zusammengesetzte Funktion mit e-Funktion Bei einer Virusinfektion erfolgt die Virenvermehrung nach der Funktion Wobei x die Anzahl der Tage ist. Nach t Tagen wird ein Medikament verabreicht, dass die Virenkonzentration nach der Funktion verringert. a)Stellen Sie diesen Sachverhalt für t = 4 Tage grafisch dar. b)Die Fläche zwischen […]
Lösungen zur Abiturvorbereitung Aufgabe 7 (Analysis) Vireninfektion, zusammengesetzte Funktion mit e-Funktion mit komplettem Lösungsweg Ausführliche Lösung: a) Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion. Wertetabelle. Der Graph. b) Der Wirkungsfaktor (Medikament wird nach 4 Tagen verabreicht). Wird das Medikament nach t = 4 Tagen verabreicht, so entsteht keine Schädigung, da W < […]
Aufgaben zur Abiturvorbereitung Aufgabe 5 (Analysis) Konzentration eines Medikaments wird die Konzentration eines Medikaments im Blut eines Patienten beschrieben. Die folgenden Betrachtungen sind nur für die Zeitspanne der ersten 12 Stunden nach der Einnahme des Medikaments durchzuführen. a)Nach welcher Zeit erreicht die Konzentration ihren höchsten Wert? Wie groß ist dieser höchste Wert? b)Berechnen Sie den […]
Lösungen zur Abiturvorbereitung Aufgabe 5 (Analysis) Konzentration eines Medikaments im Blut mit komplettem Lösungsweg Ausführliche Lösung: a) Die Konzentration erreicht nach 2 Stunden ihren höchsten Wert. Sie beträgt dann etwa 14,715 mg/Liter. b) Nach 4 Stunden ist die momentane Abnahme der Konzentration des Medikaments im Blut am größten. (Da das Maximum bei tmax = 2 […]
Aufgaben zur Abiturvorbereitung Aufgabe 4 (Analysis) Bakterienkultur, Parameter bestimmen In einem Laborversuch soll die Entwicklung einer Bakterienkultur mit folgender Exponentialfunktion modelliert werden: a)Bestimmen Sie geeignete Werte für n0, a und k, wenn die Anzahl der Bakterien bei Versuchsbeginn 4 Millionen beträgt und nach x = 8 Stunden auf maximal 12 Millionen angewachsen ist. Stellen Sie […]
Lösungen zur Abiturvorbereitung Aufgabe 4 (Analysis) Bakterienkultur, Parameter bestimmen mit komplettem Lösungsweg Ausführliche Lösung: a) Bei Versuchsbeginn ( t = 0 ) sind 4 Mio. Bakterien vorhanden. Nach 8 Stunden ist die Anzahl auf maximal 12 Mio. angewachsen. b) Wertetabelle: Der Graph: c) Entwicklungsverlauf der Bakterienkultur. Bei Versuchsbeginn sind 4 Mio. Bakterien vorhanden. Die Anzahl […]
Lösungen zur Abivorbereitung Aufgabe 3 (Analysis) Radioaktiver Zerfall von Jod 131 mit komplettem Lösungsweg Ausführliche Lösung: a) Bestimmen Sie die Parameter a und k für das Zerfallsgesetz. Zu Beobachtungsbeginn bei t = 0 sind 30 mg Jod 131 vorhanden. Gerechnet wird ohne Einheiten. Nach 5 Tagen sind nur noch 22 mg vorhanden. b) Vorhandene Menge […]
Aufgaben zur Abivorbereitung Aufgabe 3 (Analysis) Radioaktiver Zerfall von Jod 131 Der Zerfall radioaktiver Substanzen erfolgt nach dem Gesetz: Bei einem wissenschaftlichen Experiment sind zu Beginn der Beobachtung in einem Versuchsbehälter 30 mg radioaktives Jod 131 vorhanden. Nach 5 Tagen sind nur noch 22 mg übrig. a)Bestimmen Sie die Parameter a und k für das […]
Aufgaben zur Abiturvorbereitung Aufgabe 2 (Analysis) Kurvendiskussion und Integration einer e-Funktion verknüpft mit x Gegeben ist die Funktion f(x) mit a)Bestimmen Sie den Schnittpunkt mit der y-Achse. b)Gibt es einen Schnittpunkt mit der x-Achse? Begründen Sie ihre Antwort. c)Untersuchen Sie die Funktion auf Extremwerte und Wendepunkte. d)Zeichnen Sie den Graphen im Intervall [ 0 ; […]
Lösungen zur Abiturvorbereitung Aufgabe 2 (Analysis) Kurvendiskussion und Integration einer e-Funktion verknüpft mit x Lösung: a) Schnittpunkt mit der y- Achse: b) Schnittpunkt mit der x- Achse: Nach dem Satz vom Nullprodukt, ist ein Produkt genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist. Diese Bedingung ist für f(x) nur dann erfüllt, wenndie Variable x […]
Aufgaben zur Abiturvorbereitung Aufgabe 1 (Analysis) Kurvendiskussion und Integration einer e-Funktion verknüpft mit (2x + 2) Gegeben ist die Funktion f(x) mit a)Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte. b)Untersuchen Sie die Funktion auf Extremwerte und Wendepunkte. c)Zeichnen Sie den Graphen im Intervall [ -8 ; 1 ] 1LE = 1cm. Legen sie dazu eine Wertetabelle an (Abstand […]
Lösungen Abiturvorbereitung Aufgabe 1 (Analysis) Kurvendiskussion und Integration einer e-Funktion verknüpft mit (2x + 2) Lösung: a) b) c) d) e) Randwerte des Definitionsbereichs (anschaulich aus der Grafik). Hier finden Sie die Aufgaben. die dazugehörige Theorie hier: Partielle Integration. Und hier eine Übersicht über die fortgeschrittene Differential- und Integralrechnung. Hier weitere Aufgaben zur Abiturvorbereitung.
Trainingsaufgaben zu Ableitungen der e-Funktion mit Produktregel und Kettenregel Leite folgende Aufgaben mit e-Funktionen dreimal ab! Beachte dabei die Produktregel und die Kettenregel! 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Hier finden Sie die Lösungen. Und hier die Theorie: Ableitungen der e-Funktion mit Produkt- und Kettenregel. Hier eine Übersicht über alle Beiträge […]
Aufgaben: Exponentialgleichungen V, mit e-Funktionen und Brüchen 1.Lösen Sie die Gleichungen! a) b) 2.Lösen Sie die Gleichungen! a) b) c) d) 3.Lösen Sie die Gleichungen! a) b) c) d) e) f) 4.Für welche Werte von k hat die Gleichung eine Lösung? a) b) c) 5.Lösen Sie die Gleichungen! a) b) c) d) e) f) 6.Lösen […]
Lösungen Exponentialgleichungen V, mit e-Funktionen und Brüchen mit komplettem Lösungsweg 1.Lösen Sie die Gleichungen! Ausführliche Lösungen: a) b) 2. Lösen Sie die Gleichungen! Ausführliche Lösungen: a) b) c) d) Lösungsweg: Nach einfacher algebraischen Umformung (Multiplikation mit -5/2) werden die beiden Summanden getrennt, so dass auf jeder Seite der Gleichung logarithmiert werden kann. Durch Logarithmieren mit […]
Aufgaben: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen 1.Lösen Sie die Gleichungen! a) b) c) d) e) f) g) h) i) 2.Lösen Sie die Gleichungen! a) b) c) d) e) f) 3.Lösen Sie die Gleichungen! a) b) c) d) e) f) 4.Lösen Sie die Gleichungen! a) b) c) d) e) f) 5.Lösen Sie die Gleichungen! a) b) c) […]
Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg 1a) Lösen Sie die Gleichung! Ausführliche Lösung: Die Gleichung wird zunächst so umgeformt, dass auf beiden Seiten möglichst einfache Ausdrücke stehen. Dann wird unter Anwendung der bekannten Logarithmengesetze logarithmiert. 1b) Lösen Sie die Gleichung! Ausführliche Lösung: Die Gleichung wird zunächst so umgeformt, dass auf beiden Seiten möglichst […]
Aufgaben Integration der e-Funktion, uneigentliche Integrale, Flächenberechnungen Hier findet ihr Aufgaben zur Integration der e-Funktion, uneigentliche Integrale und Flächenberechnungen. 1.Berechnen Sie folgende Integrale und skizzieren Sie die jeweilige Fläche. a) b) c) 2.Berechnen Sie folgende Integrale und skizzieren Sie die jeweilige Fläche. a) b) c) 3.Berechnen Sie folgende Integrale und skizzieren Sie die jeweilige Fläche. […]
Lösungen Integration der e-Funktion, Flächenberechnungen Hier findet ihr die ausführlichen Lösungen zu den Aufgaben zur Integration der e-Funktion, uneigentliche Integrale und Flächenberechnungen. 1.Ausführliche Lösungen: a) b) c) 2.Ausführliche Lösungen: a) b) c) 3.Ausführliche Lösungen: a) b) c) 4.Ausführliche Lösungen: a) b) c) 5.Ausführliche Lösungen: a) b) c) 6.Ausführliche Lösungen: a) b) […]
Aufgaben zu Potenzen mit e-Funktionen 1.Multiplizieren Sie aus und vereinfachen Sie! a) b) c) 2.Multiplizieren Sie aus und vereinfachen Sie! a) b) c) d) e) f) 3.Vereinfachen Sie und fassen Sie zusammen! a) b) c) d) e) f) 4.Vereinfachen Sie und fassen Sie zusammen! a) b) c) d) e) f) 5.Vereinfachen Sie und fassen Sie […]
Lösungen zu Potenzen mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg 1.Multiplizieren Sie aus und vereinfachen Sie! Ausführliche Lösungen a) b) c) 2.Multiplizieren Sie aus und vereinfachen Sie! Ausführliche Lösungen a) b) c) d) e) f) 3.Vereinfachen Sie und fassen Sie zusammen! Ausführliche Lösungen a) b) c) d) e) f) 4.Vereinfachen Sie und fassen Sie zusammen! Ausführliche Lösungen […]
Formelsammlung zur Analysis mit Beispielen Hier findest du eine umfangreiche Formelsammlung der Analysis: Von den binomischen Formeln, Potenzgesetzen, Logartithmusgesetzen, p-q-Formel, quadratische Funktioen bis zur Integralrechnung, mit vielen Beispielen. Binomische Formeln Binomische Formeln Beispiel Weitere Beispiele Potenzgesetze Potenzgesetz Beispiele Weitere Beispiele Logarithmengesetze zur Basis e Logarithmengesetz Beispiel Weitere Beispiele p-q-Formel Weitere Beispiele Steigung einer Geraden durch […]
Kategorien
Uneigentliche Integrale
Uneigentliche Integrale Wie wir in vorherigen Beiträgen gesehen haben, wird die Integralrechnung meist eingesetzt, um Flächen zwischen Graphen bzw. der x-Achse zu berechnen. Es gibt jedoch auch Integrale, die eigentlich nicht zur Flächenberechnung benutzt werden können, denn sie sind in einer Richtung unendlich. Mit anderen Worten: Ihre Grenzen sind nicht definiert, sie haben einen unbeschränkten […]
Lösungen zu Integration der e-Funktion mit komplettem Lösungsweg 1.Ausführliche Lösung: 2.Ausführliche Lösung: 3.Ausführliche Lösung: 4.Ausführliche Lösung: 5.Ausführliche Lösung: 6.Ausführliche Lösung: 7.Ausführliche Lösung: 8.Ausführliche Lösung: 9.Ausführliche Lösung: 10.Ausführliche Lösung: Hier finden Sie die Theorie und Aufgaben hierzu. Und hier eine Übersicht über alle Beiträge zur Fortgeschrittenen Differential- und Integralrechnung, darin auch Links zu weiteren Aufgaben.
Kategorien
Integration der e-Funktion
Integration der e-Funktion In diesem Beitrag beschäftige ich mich mit der Integration der e-Funktion. Dazu zeige ich den Zusammen zwischen Stammfunktion und Integrandenfunktion, stelle das allgemeine und das bestimmte Integral mit Substitution vor. Am Schluss stelle ich Aufgaben zur Verfügung. Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Integrandenfunktion Beispiel Allgemeines Integral mit Substitution Bestimmtes Integral mit Substitution Trainingsaufgaben […]
Lösungen der Aufgaben zu Ableitungen der e-Funktion mit Produktregel und Kettenregel mit komplettem Lösungsweg Hier findest du die Lösungen zu den Aufgaben zu Ableitungen der e-Funktion mit Produktregel und Kettenregel mit komplettem Lösungsweg. Sind die Aufgaben 4 und 8 besser lesbar als die anderen? Ich würde mich über eine Antwort freuen! Viel Erfolg! 1. Ausführliche […]
Ableitungen der e-Funktion mit Produktregel und Kettenregel Wenn ihr eine einfache Version der Ableitung der e-Funktion sucht, seid ihr hier richtig! Die ist nicht einfach, deshalb stelle ich hier eine einfache Version vor. (Auch auf die Gefahr hin, dass einigen Mathematikern die Haare zu Berge stehen!) Anschließend zeige ich, wie man die Kettenregel und die […]
Trainingsaufgaben zu Graphen von Exponentialfunktionen und e-Funktion Bei diesen Aufgaben zu Graphen von Exponentialfunktionen und e-Funktion sollst du folgendes tun: Ermittele Verschiebungen, Spiegelung und Formänderung der Grundfunktion ex. Zeichne jeden Funktionsgraphen und die Grundfunktion ex in ein geeignetes Koordinatensystem und berechne den Schnittpunkt mit der y-Achse. Lese an dem Graphen ab: Grenzwerte und falls vorhanden […]
Die e-Funktion und Exponentialfunktionen In diesem Beitrag geht es um Exponentialfunktionen. Außerdem um die Zahl e als Basis der e-Funktion. Dazu erkläre ich wie man sie spiegeln, verschieben, strecken und stauchen kann. Außerdem ihre Eigenschaften und die graphische Darstellung. Definition Exponentialfunktion Beispiele Graphen von Exponentialfunktionen mit unterschiedlichen Basen Die Zahl e mit Hilfe der Zinseszinsrechnung […]
