Aufgaben Ableitungen e-Funktion mit Produktregel

In diesem Beitrag erkläre ich zuerst die Schwierigkeit beim Ableiten einer e-Funktion. Anhand zweier Beispiele zeige ich dann, wie man das Probleme mit Produktregel und Kettenregel lösen kann. Danach stelle ich Aufgaben zur Ableitung einer e-Funktionen mit Produktregel und Kettenregel Verfügung.

Beispiel Ableitungen e-Funktion mit Kettenregel:

Wenn man f(x) = e^x ableitet, ergibt f'(x) = e^x. Also sind bei der Exponentialfunktion zur Basis e Funktion und Ableitungsfunktion gleich.
Anders ausgedrückt: Die e-Funktion reproduziert sich bei ihrer Ableitung.

Deshalb stellt sich die Frage: Wie leitet man z. B. solch eine Funktion ab?:
$f(x)= e^{\frac{1}{2}(x-2)}$
Hierbei handelt es sich um eine verkettete Funktion. Dabei hilft uns die Kettenregel. Dazu könnt ihr euch auch das 📽️Video Differentiationsregeln Kettenregel ansehen.
Also können wir die Funktion von oben so aufteilen: $=e^{u(x)} \quad mit \quad u(x)=\frac{1}{2}(x-2)$
Bei einer e-Funktion sieht die Kettenregel folgendermaßen aus: $f(x)=e^{u(x)} \Rightarrow f'(x)= u'(x) \cdot e^{u(x)}$
Für unsere Funktion ergibt sich also: $u(x)= \frac{1}{2}(x-2) \Rightarrow u'(x)=\frac{1}{2} \Rightarrow f'(x) = \underline{\underline{\frac{1}{2} \cdot e^{\frac{1}{2}(x-2)}}}$

Beispiel Ableitungen e-Funktion mit Produktregel:

$f(x)=(2x-1) \cdot e^x$
Hierbei handelt es sich um die Verknüpfung einer e-Funktion mit einer linearen Funktion. Deshalb können wir hier die Produktregel anwenden. Dazu kannst du dir das 📽️Video Produktregel ansehen.
Die Produktregel sieht folgendermaßen aus: $f(x)=u(x) \cdot v(x) \Rightarrow f'(x)=u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
Als erstes leiten wir beide Teile einzeln ab: $u(x)=(2x-1) \Rightarrow u'(x)=2 \quad und \quad v(x)=e^x \Rightarrow v'(x)=e^x$
Danach berechnen wir mit der Produktregel: $\Rightarrow f'(x)=2\cdot e^x + (2x-1) \cdot e^x = [2+(2x-1)] \cdot e^x = \underline{\underline{(2x+1)\cdot e^x}}$