Aufgaben Ableitungen e-Funktion mit Produktregel

In diesem Beitrag erkläre ich zuerst die Schwierigkeit beim Ableiten einer e-Funktion. Anhand zweier Beispiele zeige ich dann, wie man das Probleme mit Produktregel und Kettenregel lösen kann. Danach stelle ich Mathematik Aufgaben zur Ableitung einer e-Funktionen mit Produktregel und Kettenregel zur Verfügung.

Ableitungen e-Funktion mit Kettenregel:

Ihr kennt sicher alle die Potenzregel beim Differenzieren: Wenn man eine Funktion ableitet, setzt man den alten Exponenten als Faktor vor die Variable. Der alte Exponent wird zum neuen Exponenten minus 1.

Wenn man f(x) = e^x ableitet, ergibt sich f'(x) = e^x. Also sind bei der Exponentialfunktion zur Basis e Funktion und Ableitungsfunktion gleich.
Anders ausgedrückt: Die e-Funktion reproduziert sich bei ihrer Ableitung. Denn der natürliche Logarithmus (ln) von e ist gleich 1. Weiter werden wir hier nicht auf den Grund eingehen.

Deshalb stellt sich die Frage: Wie leitet man z. B. solch eine Funktion ab?: $f(x)= e^{\frac{1}{2}(x-2)}$
Den Exponenten können wir als Funktion betrachten, also $f(z)= \frac{1}{2}(x-2)$ und $f(x)= e^{f(z)}$ . Das heißt, wir haben hier die Funktion einer Funktion. Das kann man auch Funktionskette nennen. Deshalb können wir diese Funktionskette mit der Kettenregel lösen.
Dazu könnt ihr euch diesen Beitrag Kettenregel durchlesen und das 📽️Video Differentiationsregeln Kettenregel ansehen.

Laut Kettenregel leitet man zuerst die äußere und die innere Ableitung ab. Danach multipliziert man beide und erhält die Ableitung der Funktionskette.
Das sieht also folgendermaßen aus: $f(x)=e^{u(x)} \Rightarrow f'(x)= u'(x) \cdot e^{u(x)}$
Also können wir die Funktion von oben so aufteilen: $=e^{u(x)} \quad mit \quad u(x)=\frac{1}{2}(x-2)$
Für unsere Funktion ergibt sich also: $u(x)= \frac{1}{2}(x-2) \Rightarrow u'(x)=\frac{1}{2} \Rightarrow f'(x) = \underline{\underline{\frac{1}{2} \cdot e^{\frac{1}{2}(x-2)}}}$

Ableitungen e-Funktion mit Produktregel:

Bei den Aufgaben unten gibt es auch solche Funktionen: $f(x)=(2x-1) \cdot e^x$
Hierbei handelt es sich um die Verknüpfung einer e-Funktion mit einer linearen Funktion. Deshalb können wir hier die Produktregel anwenden.
Dazu kannst du dir die Produktregel durchlesen und das 📽️Video Produktregel ansehen.
Die Produktregel sieht folgendermaßen aus: $f(x)=u(x) \cdot v(x) \Rightarrow f'(x)=u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
Das heißt, wir leiten zuerst beides ab. Danach multiplizieren wir die erste Funktion mit der mit der Ableitung der zweiten Funktion. Dann multiplizieren wir die zweite Funktion mit der Ableitung der ersten Funktion. Schließlich addieren wir beide Produkte und erhalten damit die Ableitung der verknüpften Funktion.
Als erstes leiten wir also beide Teile einzeln ab: $u(x)=(2x-1) \Rightarrow u'(x)=2 \quad und \quad v(x)=e^x \Rightarrow v'(x)=e^x$
Danach berechnen wir mit der Produktregel: $\Rightarrow f'(x)=2\cdot e^x + (2x-1) \cdot e^x = [2+(2x-1)] \cdot e^x = \underline{\underline{(2x+1)\cdot e^x}}$ .

Weitere Regeln beim Differenzieren:

Wenn eine Funktion aus einer elementaren Funktion multipliziert mit einer Konstanten zusammengesetzt ist, braucht ihr die Konstantenregel. Die Ableitung dieser Funktion ist dann gleich der Ableitung der Elementarfunktion multipliziert mit der Konstanten.

Wenn eine Funktion aus der Summe zweier Funktionen zusammengesetzt ist, braucht ihr die Summenregel. Die Ableitung dieser Funktion ist dann gleich der Summe der Ableitungen der einzelnen Funktionen.