Aufgaben Ganzrationale Funktionen II Symmetrie und Verlauf 1.Untersuchen Sie, ob f(x) eine ganzrationale Funktion ist. Geben Sie ggf. den Grad der Funktion und den Wert der Koeffizienten a0; a1; a2; … an. a) b) c) …
Weiterlesen »Kategorie: Funktionen
Trainingsaufgaben zu Achsenschnittpunkte und Nullstellenberechnung
Trainingsaufgaben zu Achsenschnittpunkte und Nullstellenberechnung Teil I Führen Sie für folgende Terme die Polynomdivision durch 1. Zu dieser Aufgabe ein paar Tipps: Der erste Summand des zu teilenden Polynoms ( x3 ) wird durch den …
Weiterlesen »Lösungen Ganzrationale Funktionen II
Lösungen Ganzrationale Funktionen II Symmetrie und Verlauf 1.Untersuchen Sie, ob f(x) eine ganzrationale Funktion ist. Geben Sie ggf. den Grad der Funktion und den Wert der Koeffizienten a0; a1; a2; … an. Ergebnisse a) b) …
Weiterlesen »Trainingsaufgaben Ganzrationale Funktionen
Trainingsaufgaben zu Ganzrationalen Funktionen Teil I: Gegeben sind 4 Punkte. Finden Sie die Funktionsgleichung und zeichnen Sie den Graphen. Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte und fehlende Werte mit dem Horner-Schema 1. 2. 3. 4. 5. 6. …
Weiterlesen »Aufgaben Lineare Funktionen Teil V
1.Prüfen Sie ob die Geraden g, h, i durch einen Punkt verlaufen. a) b) 2.Gegeben ist eine Wertetabelle für zwei lineare Funktionen f(x) und g(x). Wo schneiden sich die Graphen beider Funktionen? In welchem …
Weiterlesen »Lösungen Lineare Funktionen Teil V
1.Prüfen Sie ob die Geraden g, h, i durch einen Punkt verlaufen. Ausführliche Lösungen a) b) Die drei Geraden haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt. 2.Gegeben ist eine Wertetabelle für zwei lineare Funktionen f(x) und g(x). …
Weiterlesen »Aufgaben Exponentialgleichungen V
Aufgaben: Exponentialgleichungen mit e-Funktionen und Brüchen 1.Lösen Sie die Gleichungen a) b) 2.Lösen Sie die Gleichungen a) b) c) d) 3.Lösen Sie die Gleichungen a) b) c) d) e) f) 4.Für welche Werte von k …
Weiterlesen »Lösungen Exponentialgleichungen V
Lösungen Exponentialgleichungen mit e-Funktionen und Brüchen 1.Lösen Sie die Gleichungen Ausführliche Lösungen a) b) 2.Lösen Sie die Gleichungen Ausführliche Lösungen a) b) c) d) Lösungsweg: Nach einfacher algebraischen Umformung (Multiplikation mit -5/2) werden die beiden …
Weiterlesen »Exponentialgleichungen lösen Regeln
Regeln zum Lösen von Exponentialgleichungen Wie gehe ich vor? Hier ein paar praktische Tipps: Wenn es gelingt, die Terme auf beiden Seiten der Exponentialgleichung so umzuformen, dass sich Potenzen mit gleichen Basen ergeben, dann ist …
Weiterlesen »Aufgaben Exponentialgleichungen VI
Aufgaben: Exponentialgleichungen mit Parametern Lösungen hierzu Theorie: Exponentialgleichungen 1. 2. 3. 4.Schreiben Sie als Exponentialgleichung zur Basis e und lösen Sie a) b) c) 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.Zeigen Sie: a) b) 12.Eine …
Weiterlesen »Lösungen Exponentialgleichungen VI
Lösungen: Exponentialgleichungen mit Parametern Aufgaben hierzu Theorie: Exponentialgleichungen 1.Ergebnis 2. Ergebnis 3. Ergebnis 4. Ergebnisse a) b) c) 5. Ergebnis 6. Ergebnis 7. Ergebnis 8. Ergebnis 9. Ergebnis 10. Ergebnis 11. Ergebnisse a) b) 12. …
Weiterlesen »Aufgaben Exponentialgleichungen VII
Aufgaben: Exponentialgleichungen mit Sachaufgaben Lösungen hierzu Theorie: Exponentialgleichungen 1.Lösen Sie die Gleichungen a) b) c) d) e) f) g) h) i) 2.Lösen Sie die Gleichungen a) b) c) d) e) f) 3.Gegeben ist eine Folge …
Weiterlesen »Lösungen Exponentialgleichungen VII
Lösungen: Exponentialgleichungen mit Sachaufgaben Aufgaben hierzu Theorie: Exponentialgleichungen 1.Lösen Sie die Gleichungen Ergebnisse a) b) c) d) e) f) g) h) i) 2.Lösen Sie die Gleichungen Ergebnisse a) b) c) d) e) f) >3. Ergebnisse …
Weiterlesen »Aufgaben Exponentialgleichungen IV
Aufgaben: Exponentialgleichungen mit e-Funktionen 1.Lösen Sie die Gleichungen a) b) c) d) e) f) g) h) i) 2.Lösen Sie die Gleichungen a) b) c) d) e) f) 3.Lösen Sie die Gleichungen a) b) c) …
Weiterlesen »Lösungen Exponentialgleichungen IV
Lösungen: Exponentialgleichungen mit e-Funktionen 1a)Lösen Sie die Gleichung Ausführliche Lösung Die Gleichung wird zunächst so umgeformt, dass auf beiden Seiten möglichst einfache Ausdrücke stehen. Dann wird unter Anwendung der bekannten Logarithmengesetze logarithmiert. 1b)Lösen Sie …
Weiterlesen »Aufgaben Exponentialgleichungen II
Aufgaben: Exponentialgleichungen mit e-hoch-x lösen 1.Lösen Sie folgende Exponentialgleichungen a) b) c) d) 2.Lösen Sie folgende Exponentialgleichungen a) b) c) d) 3.Lösen Sie folgende Exponentialgleichung a) b) 4.Lösen Sie folgende Exponentialgleichungen a) b) c) d) …
Weiterlesen »Lösungen Exponentialgleichungen II
Lösungen: Exponentialgleichungen mit e-hoch-x lösen 1.Lösen Sie folgende Exponentialgleichungen Ausführliche Lösungen a) Lösung durch logarithmieren b) Lösung durch logarithmieren c) Lösung durch logarithmieren d) Lösung durch logarithmieren 2.Lösen Sie folgende Exponentialgleichungen Ausführliche Lösungen a) Lösung …
Weiterlesen »Aufgaben Exponentialgleichungen III Exponentialgleichungen mit gebrochenem Exponenten
Aufgaben: Exponentialgleichungen mit gebrochenem Exponenten 1.Berechnen Sie: a) b) c) d) e) f) 2.Berechnen Sie: a) b) c) d) e) f) 3.Berechnen Sie: a) b) c) d) e) f) 4.Berechnen Sie: a) b) …
Weiterlesen »Lösungen Exponentialgleichungen III
Lösungen: Exponentialgleichungen mit gebrochenem Exponenten 1.Berechnen Sie: Ausführliche Lösungen a) Da 243 eine Potenz der Zahl 3 ist, lässt sich die Exponentialgleichung auf einfache Weise durch Exponentenvergleich lösen. b) Da 15625 eine Potenz der Zahl …
Weiterlesen »Aufgaben zu Exponentialgleichungen I
Aufgaben: Einfache Exponentialgleichungen lösen 1.Lösen Sie die Gleichung: 2.Lösen Sie die Gleichung 3.Lösen Sie die Gleichung 4.Lösen Sie die Gleichung 5.Lösen Sie die Gleichung 6.Lösen Sie die Gleichung 7.Lösen Sie die Gleichung 8.Lösen Sie die …
Weiterlesen »Lösungen zu Exponentialgleichungen I
Lösungen: Einfache Exponentialgleichungen lösen 1.Lösen Sie die Gleichung Ausführliche Lösung Lösung der Exponentialgleichung durch logarithmieren 2.Lösen Sie die Gleichung Ausführliche Lösung Lösung der Exponentialgleichung durch logarithmieren 3.Lösen Sie die Gleichung Ausführliche Lösung Lösung der Exponentialgleichung …
Weiterlesen »Aufgaben Integration der e-Funktion I
Aufgaben Integration der e-Funktion, Flächenberechnungen 1.Berechnen Sie folgende Integrale und skizzieren Sie die jeweilige Fläche. a) b) c) 2.Berechnen Sie folgende Integrale und skizzieren Sie die jeweilige Fläche. a) b) c) 3.Berechnen Sie folgende Integrale …
Weiterlesen »Lösungen Integration der e-Funktion I
Lösungen Integration der e-Funktion, Flächenberechnungen Aufgaben hierzu Theorie hierzu: Integration der e-Funktion 1.Ausführliche Lösungen: a) b) c) 2.Ausführliche Lösungen: a) b) c) 3.Ausführliche Lösungen: a) b) c) 4.Ausführliche Lösungen: a) b) c) …
Weiterlesen »Aufgaben zu Potenzen VIII
Aufgaben zu Potenzen mit e-Funktionen Lösungen hierzu Theorie hierzu: Potenzen und Exponentialfunktionen und die e-Funktion weitere Aufgaben: Potenzen I Potenzen vereinfachen und Potenzen II Potenzterme berechnen und Potenzen III Potenzbrüche vereinfachen und Potenzen IV Potenzbrüche multiplizieren und dividieren und …
Weiterlesen »Aufgaben zu Potenzen VII
Aufgaben: Potenzen und Polynomdivision Lösungen hierzu Theorie hierzu: Potenzen und Polynomdivision und Achsenschnittpunkte und Nullstellenberechnung, darin auch Trainingsaufgaben zur Polynomdivision weitere Aufgaben: Potenzen I und Potenzen II und Potenzen III und Potenzen IV und Aufgaben …
Weiterlesen »Lösungen zu Potenzen VII Polynomdivision
Lösungen: Potenzen und Polynomdivision Aufgaben hierzu Theorie hierzu: Potenzen und Polynomdivision und Achsenschnittpunkte und Nullstellenberechnung, darin auch Trainingsaufgaben zur Polynomdivision weitere Aufgaben: Potenzen I und Potenzen II und Potenzen III und Potenzen IV und Potenzen …
Weiterlesen »Stetig, Differenzierbar, Integrierbar
Stetigkeit Als erstes möchte ich den Begriff der Stetigkeit bei Funktionen anschaulich erläutern. Definition Eine Funktion f(x) heißt dann in einem Intervall [ a ; b ] stetig, wenn man den dazugehörigen Graphen von einem …
Weiterlesen »Uneigentliche Integrale
Uneigentliche Integrale Wie wir in vorherigen Beiträgen gesehen haben, wird die Integralrechnung meist eingesetzt, um Flächen zwischen Graphen bzw. der x-Achse zu berechnen. Es gibt jedoch auch Integrale, die eigentlich nicht zur Flächenberechnung benutzt werden …
Weiterlesen »Lösungen zu Integration der e-Funktion
1.Ausführliche Lösung: 2.Ausführliche Lösung: 3.Ausführliche Lösung: 4.Ausführliche Lösung: 5.Ausführliche Lösung: 6.Ausführliche Lösung: 7.Ausführliche Lösung: 8.Ausführliche Lösung: 9.Ausführliche Lösung: 10.Ausführliche Lösung: Hier finden Sie die Theorie und Aufgaben hierzu Gefällt dir die Seite? Dann freuen wir …
Weiterlesen »Integration der e-Funktion
Integration der e-Funktion In der Integralrechnung haben wir folgende Zusammenhänge kennengelernt: Das bedeutet, leitet man die Stammfunktion ab, so erhält man wieder die Integrandenfunktion. Dieser Zusammenhang ermöglicht es uns durch Ableiten das Ergebnis der Integration …
Weiterlesen »Lösungen zu Ableitungen der e-Funktion mit Produkt- und Kettenregel
1.Ausführliche Lösung: 2.Ausführliche Lösung: 3.Ausführliche Lösung: 4.Ausführliche Lösung: 5.Ausführliche Lösung: 6.Ausführliche Lösung: 7.Ausführliche Lösung: 8.Ausführliche Lösung: 9.Ausführliche Lösung: 10.Ausführliche Lösung: Hier finden Sie die Theorie und Aufgaben hierzu Gefällt dir die Seite? Dann freuen wir …
Weiterlesen »Ableitungen der e-Funktion mit Produkt- und Kettenregel
Ableitung der e-Funktion (heuristisch) Die Ableitung der e-Funktion ist nicht einfach. Hier stelle ich eine anschauliche Methode vor, auch auf die Gefahr hin, dass Mathematikexperten meutern werden. Grundregeln zum Ableiten von e-Funktionen Spiegelungen, Streckungen und …
Weiterlesen »Lösungen zu Achsenschnittpunkte und Exponentialgleichungen
Teil I 1.Vereinfachen Sie mit den Ihnen bekannten Potenz- und Logarithmengesetzen folgenden Term: Ausführliche Lösung : 2.Vereinfachen Sie mit den Ihnen bekannten Potenz- und Logarithmengesetzen folgenden Term: Ausführliche Lösung ; 3.Vereinfachen Sie mit den Ihnen …
Weiterlesen »Anwendungen der Exponentialfunktion
Anwendungen der Exponentialfunktion Nachdem wir im letzten Beitrag die Exponentialfunktionen und die e-Funktion kennengelern haben, werde ich hier einige praktische Anwendungsbereiche vorstellen. Anhand dieser Beispiele werde ich erklären, wie man dabei am besten vorgeht. Aufstellen der …
Weiterlesen »Überblick über die wichtigsten Funktionsklassen
Funktionsklassen Bisher haben wir nur ganzrationale Funktionen kennen gelernt. Sie gehören zu der Klasse der rationalen Funktionen. In der modernen Mathematik spielen noch weitere Funktionen und Funktionsklassen eine große Rolle. Im nachfolgenden werde ich die …
Weiterlesen »Lösungen zu Logarithmusfunktionen
1.Zeichnen Sie den Graphen und lesen Sie die Verschiebungen und Formänderung der Grundfunktion ln (x), sowie Achsenschnittpunkte, Grenzwerte und Extremwerte ab. Ausführliche Lösung : Besonderheiten der Logarithmusfunktion. Die Logarithmusfunktion ist nur für …
Weiterlesen »Zusammenfassung ganzrationale Funktionen
Zusammenfassung In diesem Beitrag fasse ich alle Definitionen, Formeln und Vorgehensweisen zum Thema ganzrationale Funktionen zusammen. Definition Beispiele: Verlauf des Graphen Satz: Der Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion wird durch den Summanden mit der …
Weiterlesen »Lösungen zu Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen
Teil I: Ganzrationale Funktionen durch 4 Punkte. Finden Sie jeweils die Funktionsgleichung und zeichnen Sie den Graphen. Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte und fehlende Werte mit dem Hornerschema. 1. Ausführliche Lösung Ausführlicher Gauß- Algorithmus: 2. …
Weiterlesen »Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen
Aufstellen der Funktionsgleichung In diesem Beitrag erkläre ich nun, wie man die Funktionsgleichung einer Parabel bis zu ganzrationalen Funktionen 4. Grades durch 5 Punkte bestimmt. Wir erinnern uns, um die Funktionsgleichung einer Parabel zu bestimmen, …
Weiterlesen »Graphen ganzrationaler Funktionen zeichnen
Graphen zeichnen Um den Graphen einer ganzrationalen Funktion zeichnen zu können, benötigt man eine Wertetabelle und die Achsenschnittpunkte. Wertetabelle: Wir können die Wertetabelle für eine ganzrationale Funktion berechnen, indem wir alle benötigten Funktionswerte mit dem …
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