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Grundaufgaben Lösungen lineare quadratische Funktionen I

Grundaufgaben für lineare und quadratische Funktionen
Teil I

Die Lösungen finden Sie weiter unten.

1. Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte der folgenden Geraden:

01

2. Gerade mit vorgegebener Steigung durch einen Punkt.

Die Steigung einer Geraden sei m = 2. Sie soll durch den Punkt P ( -3 | 5 ) verlaufen.
Berechnen Sie die Funktionsgleichung.

3.Gerade durch 2 Punkte.

Gegeben sind die Punkte P1 (-3 | 5 )und P2 (2 | -1 ).
Berechnen Sie die Funktionsgleichung.

4.Schnittpunkt zweier Geraden.

Berechnen Sie den Schnittpunkt zweier Geraden mit den Funktionsgleichungen:
04

5.Die zu einer Geraden senkrecht verlaufende Gerade.

Berechnen Sie die zu einer Geraden senkrecht verlaufende Gerade durch den Punkt P.
05

6.Achsenschnittpunkte einer Parabel.

Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte folgender Parabel und zeichnen Sie den Graphen.
06
Hinweis: Die x- Koordinate des Scheitelpunktes liegt symmetrisch zu den Nullstellen.

7.Scheitelpunktform, Scheitelpunktkoordinaten.

Berechnen Sie die Scheitelform der Funktion f(x) und ermitteln Sie die Scheitelkoordinaten.
07

8.Schnittpunkt von Parabel und Gerade.

Eine Parabel wird von einer Geraden geschnitten. Bestimmen Sie die Schnittpunkte.
08

9.Schnittpunkt zweier Parabeln.

Berechnen Sie die Schnittpunkte der beiden Parabeln und den Abstand der Scheitelpunkte.
09

10.Parabel durch drei Punkte.

Berechnen Sie die Funktionsgleichung der Parabel, die durch die Punkte
P1( -1 | -1 ) und P2( 2 | -2 ) sowie P3( 3 | 1 ) verläuft.



11.Der Gauß- Algorithmus.

Lösen Sie das Gleichungssystem mit dem Gauß- Algorithmus:

a)

11a

b)

11b


Lösungen:

1.Achsenschnittpunkte einer Geraden.
Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte der folgenden Geraden:

01
011_l

012_l

2.Gerade mit vorgegebener Steigung durch einen Punkt.
Die Steigung einer Geraden sei m = 2. Sie soll durch den Punkt P ( -3 | 5 ) verlaufen. Berechnen Sie die Funktionsgleichung der Geraden.

02_l
Vorgehensweise:
1. Der Wert der Steigung und die Koordinaten des Punktes P werden in die Funktionsgleichung eingesetzt.
2. Die so entstandene Gleichung wird nach b aufgelöst.

3.Gerade durch 2 Punkte.
Gegeben sind die Punkte P1 (-3 | 5 )und P2 (2 | -1 ). Berechnen Sie die Funktionsgleichung der Geraden, die durch diese beiden Punkte verläuft.

03_l
Vorgehensweise:
1. Die Steigung m wird mit der Steigungsformel berechnet.
2. Die Koordinaten eines der beiden Punkte (hier P2) werden in die Funktionsgleichung eingesetzt.
3. Die so entstandene Gleichung wird nach b aufgelöst.

4.Schnittpunkt zweier Geraden.
Berechnen Sie den Schnittpunkt zweier Geraden mit den Funktionsgleichungen:
04

04_l
Vorgehensweise:
Für den Schnittpunkt beider Geraden gilt:
f1(xs) = f2(xs).
Das Gleichsetzen beider Funktionsgleichungen liefert die x- Koordinate des Schnittpunktes.
Den y- Wert erhält man durch Einsetzen des Wertes in eine der beiden Funktionsgleichungen.



5.Die zu einer Geraden senkrecht verlaufende Gerade.
Berechnen Sie die zu einer Geraden senkrecht verlaufende Gerade durch den Punkt P.
05

05_l
Vorgehensweise:
Zuerst wird die Steigung m2 der senkrechten Geraden aus der Steigung der bekannten Geraden bestimmt.
051_l
Die x- Koordinate von P wird in die Gleichung eingesetzt. Daraus lässt sich dann b errechnen.

6.Achsenschnittpunkte einer Parabel.
Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte folgender Parabel und zeichnen Sie den Graphen.
06
Hinweis: Die x- Koordinate des Scheitelpunktes liegt symmetrisch zu den Nullstellen.

061_l
Vorgehensweise:
Die x- Koordinate des Scheitelpunktes liegt symmetrisch zu den Nullstellen.
Der Schnittpunkt mit der y- Achse hat die x- Koordinate 0, also f(0) = ys.
Schnittpunkte mit der x- Achse haben die y- Koordinate 0, also f(xs) = 0.
Das führt auf eine quadratische Gleichung, deren Lösung die x- Koordinaten derAchsenschnittpunkte sind.
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

Jede Parabel ist symmetrisch zu der Achse, die durch den Scheitelpunkt führt.

Falls es Schnittpunkte mit der x- Achse gibt, liegen auch diese symmetrisch zu der Scheitelachse.

Die x- Koordinate des Scheitelpunktesliegt genau in der Mitte zwischen den Nullstellen.

06_mc_l: Parabel nach oben geöffnet

7.Scheitelpunktform, Scheitelpunktkoordinaten.

Berechnen Sie die Scheitelform der Funktion f(x) und ermitteln Sie die Scheitelkoordinaten.
07

Der Koeffizient von x2 wird ausgeklammert.

In der eckigen Klammer wird eine quadratische Ergänzung durchgeführt.

Nach Multiplikation mit dem Koeffizienten erhält man die Scheitelpunktform, aus der sich die Scheitelkoordinaten ablesen lassen.

07_l

8.Schnittpunkt von Parabel und Gerade.
Eine Parabel wird von einer Geraden geschnitten. Bestimmen Sie die Schnittpunkte.
08

Für den Schnittpunkt der Geraden mit der Parabel gilt:

081_l

Das Gleichsetzen beider Funktionsgleichungen liefert eine quadratische Gleichung. Deren Lösung liefert die x- Koordinaten für den Schnittpunkt.

Die dazugehörigen y- Koordinaten erhält man durch Einsetzen der Werte in f1 oder f2.

08_mc_l: Gerade schneidet Parabel in zwei Punkten

082_l



9.Schnittpunkt zweier Parabeln.
Berechnen Sie die Schnittpunkte der beiden Parabeln und den Abstand der Scheitelpunkte.
09

091_l

Für den Schnittpunkt beider Parabeln gilt:

092_l

Das Gleichsetzen beider Funktionsgleichungen liefert eine quadratische Gleichung. Deren Lösung liefert die x- Koordinaten für den Schnittpunkt.

Die dazugehörigen y- Koordinaten erhält man durch Einsetzen der Werte in f1 oder f2.

Da beide y- Koordinaten auf gleicher Höhe liegen und aus der Symmetrie der Parabel findet man die x- Koordinate der Scheitelpunkte. Damit gelangt man an die Scheitelkoordinaten und kann den Abstand bestimmen.

09_mc_l: Zwei Parabeln schneiden sich

093_l

 

10.Parabel durch drei Punkte.
Berechnen Sie die Funktionsgleichung der Parabel, die durch die Punkte
P1( -1 | -1 ) und P2( 2 | -2 ) sowie P3( 3 | 1 ) verläuft.

Durch Einsetzen der Koordinaten der drei Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung entsteht ein Gleichungssystem mit drei Variablen.

101_l
Dieses ist mit den Gauß- Algorithmus lösbar und liefert die Koeffizienten a, b und c.

10_mc_l: Parabel durch drei Punkte

102_l

11.Der Gauß- Algorithmus.
Lösen Sie das Gleichungssystem mit dem Gauß- Algorithmus:
a)

11a

b)

11b

11a_l

11b_l

Hier finden Sie eine Übersicht über weitere Beiträge zu Quadratischen Funktionen, darin auch Links zu weiteren Aufgaben.

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