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Differentialrechnung Mathematik

Differentiationsregeln: Produktregel, Quotientenregel

Differentiationsregeln

Nachdem ich in den letzten Beiträgen mit anschaulichen Beispielen aus der Praxis in die Differentialrechnung eingeführt habe, erkläre ich hier die Differentiationsregeln: Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel. Zuerst wiederhole ich einige Regeln aus den Grundlagen der Mathematik: Potenzregel, Konstantenregel, Summenregel.

Bisher bekannte Regeln

Potenzregel

1.) Alten Exponenten als Faktor vor die Variable x setzen.
2.) Neuer Exponent ist alter Exponent vermindert um eins

f_0489

Konstantenregel

Wenn eine Funktion aus einer elementaren Funktion multipliziert mit einer Konstanten zusammengesetzt ist,
dann ist die Ableitung dieser Funktion gleich der Ableitung der Elementarfunktion multipliziert mit der Konstanten.

f_0492

Summenregel

Wenn eine Funktion aus der Summe zweier Funktionen zusammengesetzt ist,
dann ist die Ableitung der Funktion gleich der Summe der Ableitungen der einzelnen Funktionen.

f_0495




Differentiationsregeln

Produktregel Differentation

Wenn eine Funktion aus dem Produkt zweier Einzelfunktionen zusammengesetzt ist,
dann wird die Ableitung wie folgt gebildet:

f_0498

Der Beweis ist etwas aufwendiger, deshalb verzichtet ich an dieser Stelle darauf .

Beispiel:

f_0499

Quotientenregel

Wenn eine Funktion aus den Quotienten zweier Funktionen u(x) und v(x) zusammengesetzt ist,
dann wird die Ableitung der Funktion wie folgt gebildet:

f_0500

Beweis:

f_0501

Beispiel:

f_0502

Kettenregel

Sind in einer Funktion die Terme mit der Variablen x so zusammengefasst, dass eine übergeordnete Variable z entsteht, so kann diese Funktion als Funktion einer Funktion betrachtet werden.(Funktionskette).
Dann ist die Ableitung dieser Funktions-kette gleich der äußeren Ableitung multipliziert mit der inneren Ableitung.

f_0503

Der Beweis ist etwas aufwendiger, deshalb verzichtet ich hier auch darauf .

f_0504




Zusammenfassung

Differenzenquotient:

(Sekantensteigung oder mittlere Änderungsrate)

f_0505

Differetialquotient:

(Tangentensteigung oder momentane Änderungsrate)

f_0506

Konstantenregel

f_0507

Summenregel:

f_0508

Produktregel:

f_0509

Quotientenregel:

f_0510

Kettenregel:

f_0511


Ableitung weiterer Funktionenklassen

Funktionsgleichung

Ableitungsfunktionsgleichung

f_0512 f_0513
f_0514 f_0516
f_0517 f_0518
f_0519 f_0520

Beispiele:

f_0521


Hier finden Sie Aufgaben zur Differentialrechnung V



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