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Differentialrechnung Mathematik

Sekantensteigung, Tangentensteigung

Nachdem wir uns in den letzten beiden Beiträgen mit Steigung, Tangente. Differentialquotient und Ableitung beschäftigt haben, will ich die die Differentialrechnung noch einmal von einer anderen Seite erklären. Diesmal mit dem Schwerpunkt auf

Sekantensteigung, Tangentensteigung und Steigungsfunktion

In diesem Beitrag zeige ich zuerst anhand eines Beispiels, dass die Steigung einer Geraden sich also auch mit dem Differenzenquotienten bestimmen lässt. Danach stelle ich die Formeln für die Sekantensteigung und Tangentensteigung vor. Zuletzt gehe ich auf den Zusammenhang zwischen Differenzenquotient, Differentialquotient, Ableitung und Steigungsfunktion ein.

Die Steigung einer Geraden

des_148

Steigungsformel für eine Gerade:
f_1409

Beispiel:

f_1410

f_1411

Wir überprüfen die Gültigkeit dieser Formel mit obigem Beispiel.

f_1412

Die Steigung einer Geraden lässt sich also auch mit dem Differenzenquotienten bestimmen.




Sekantensteigung und Tangentensteigung

Problem:

Wie groß ist die Steigung des Graphen einer beliebigen Funktion f(x) im Punkt P0?

Die Sekantensteigung ist die mittlere Steigung zwischen den Punkten P0 und P1.

des_149

Was geschieht mit der Sekante, wenn wir den Punkt P1 immer weiter in Richtung P0 bewegen?

des_150

Die Sekante schmiegt sich immer mehr dem Graphen von f(x) an.
Wenn P1 auf P0 trifft, gibt es keine Sekante mehr. Sie ist dann zur Tangente geworden.

Die Tangente ist eine Gerade, die den Graphen von f(x) im Punkt P0 berührt. Per Definition ist die Steigung eines Graphen in einem Punkt P0 gleich der Steigung der Tangente an dem Graphen in diesem Punkt.


Differenzenquotient, Ableitung und Steigungsfunktion

Um die Steigung eines Graphen f(x) an der Stelle x0 also im Punkt P0 ( x0 | f(x0) ) zu berechnen, lässt man in der Formel für die Sekantensteigung das „delta x“ immer kleiner werden, was einer Verschiebung des Punktes P1 in Richtung P0 entspricht.

f_1413

Grenzwertbildung bedeutet „delta x“ strebt gegen Null, wird also beliebig klein ohne exakt Null zu werden. Würde man für „delta x“ den Wert Null einsetzen, so entstünde ein undefinierter Ausdruck.

f_1414

Merke:

f_1415

Ableitungsbeispiel:

f_1416

des_151

Statt Ableitungsfunktion f'(x) sagt man auch Steigungsfunktion, da diese Funktion für jeden Funktionswert x die Steigung der abgeleiteten Funktion an der Stelle x angibt.
Oben ist der Graph einer Funktion, sowie der ihrer Ableitungsfunktion in einem Koordinatensystem dargestellt.

Beachten Sie dabei:

An den Extremstellen ( Hochpunkt, Tiefpunkt) hat die Ableitungsfunktion jeweils den Wert Null.
An der Wendestelle (W) hat die Ableitungsfunktion einen Extremwert.


Hier finden Sie Aufgaben zur Differentialrechnung II

und Aufgaben zur Differentialrechnung III

hier Aufgaben zur Differentialrechnung IV

und Aufgaben zur Differentialrechnung VI

Im nächsten Beitrag werde ich die Differentiationsregeln erklären.



Hier finden Sie eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Differentialrechnung.

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