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Aufgabensammlung Differentialrechnung Mathematik

Aufgaben zur Differentialrechnung VI

Aufgaben zur Differentialrechnung VI

Bei diesen Aufgaben zur Differentialrechnung VI sollst du folgende Fragen beantworten:

  1. Funktionen dreimal ableiten.
  2. In welchem Punkt hat f(x) eine Tangente mit der Steigung
  3. Bestimme die Gleichung der Tangente an f(x) im Punkt P ( 2 | f(2) ).
  4. Bestimme die Gleichung der Normalen an f(x) im Punkt P ( 2 | f(2) ).
  5. Zeichne f(x), Tangente und Normale in ein Koordinatensystem.

1. Leite folgende Funktionen dreimal ab.

1a)   f(x) = 5x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x + 6

1b) f(x) = (a^2 + x^2)(a^2 - x^2)

1c) f(x) = -2x^4 + 3x^2 - 4x + 2

1d) f(x) = 0,5x^4 - x^3 + 2,5x^2 - 8

1e) f(x) = \frac{1}{32}x^3 + \frac{3}{2}x - 4 

1f) f(x) = -\frac{5}{6}x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{5}{2}

2.

2a) f(x) = -(x - 6)^2(x + 1)

2b) f(x) = \frac{1}{2}(x^2 - 2)^2

2c) f(x) = \frac{1}{16}(x^3 + x - 1)

2d) f(x) = x(x^2 - \frac{3}{2}x - 4)

2e) f(x) = ax^4 + bx^2 + c

2f) f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

3.

3a) f(x) = \frac{k}{2}x^4 - 2kx^3 + k^2

3b) f(x) = \frac{1}{k}x^3 + kx^2 + (k a + 1)x

3c) f(x) = \frac{1}{4}x^3 + ax^2 + (a - \frac{1}{2})x - 3

3d)
03d

3e)
03e

3f)
03f

 



4.

4a)
04a

4b)
04b

4c)
04c

4d)
04d

4e)
04e

4f)
04f

4g)
04g

4h)
04h

 

5.

Gegeben ist die Funktion f(x) = 2x - \frac{1}{4}x^2   ;   x \in \mathbb{R} .

5a) Bestimme die Steigung von f(x) an der Stelle x_0   mit   x_0 \in [-4 ; -1 ; 0 ; 1,5 ; 3]

5b)
In welchem Punkt hat f(x) eine Tangente mit der Steigung 3?

5c)
Bestimme die Gleichung der Tangente an f(x) im Punkt P ( 2 | f(2) ).

5d)
Bestimme die Gleichung der Normalen an f(x) im Punkt P ( 2 | f(2) ).

5e)
Zeichne f(x), Tangente und Normale in ein Koordinatensystem.

5f) g(x) = t \cdot f(x)    ;   t \in \mathbb{R} schneidet die x-Achse in S_1    und    S_2 . Für welche Werte von t sind die Tangenten in S_1    und    S_2 orthogonal zueinander?


Hier findest du die Lösungen

und hier die Theorie: Ableitungen höherer Ordnung.

Hier findest du eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Differentialrechnung, darin auch Links zu weiteren Aufgaben.