Lösungen der Aufgaben zu Ableitungen der e-Funktion mit Produktregel und Kettenregel mit komplettem Lösungsweg

Hier findest du die Lösungen zu den Aufgaben zu Ableitungen der e-Funktion mit Produktregel und Kettenregel mit komplettem Lösungsweg.

Sind die Aufgaben 4 und 8 besser lesbar als die anderen? Ich würde mich über eine Antwort freuen! Viel Erfolg!

1. Ausführliche Lösung:

1-Lösung-e-Funktion

2. Ausführliche Lösung:

2-Lösung-e-Funktion

3. Ausführliche Lösung:

3-Lösung-e-Funktion

4. Ausführliche Lösung:

4-Lösung-e-Funktion

5. Ausführliche Lösung:

f(x) = x \cdot e^{-2x}   mit   u = x \\ \Rightarrow u' = 1 \quad und \quad  v = e^{-2x} \\ \Rightarrow v' = -e^{-2x} 
f'(x) = u' \cdot v + u \cdot v' \\ = 1 \cdot e^{-2x}  + x \cdot (-2 \cdot e^{-2x} ) \\ = 1 \cdot e^{-2x}  - 2x \cdot e^{-2x} \\ = \underline{\underline{ (1 - 2x) \cdot e^{-2x} }} 

f''(x) = u' \cdot v + u \cdot v'    mit    u = 1 - 2x \\ \Rightarrow u' = -2    und    v = e^{-2x}  \\ \Rightarrow v' = -2 \cdot e^{-2x} 
f''(x) = -2 \cdot e^{-2x}  + (1 - 2x) \cdot ( -2 \cdot e^{-2x} ) \\ = [-2 - 2 \cdot (1 - 2x)] \cdot e^{-2x}  = \underline{\underline{(4x - 4) \cdot e^{-2x} }} 

f'''(x) = u' \cdot v + u \cdot v'  mit   u = 4x - 4 \\ \Rightarrow u'  = 4  und     v = e^{-2x} \\ \Rightarrow v' = -2 \cdot e^{-2x}
f'''(x) = 4 \cdot e^{-2x} + (4x - 4) \cdot (-2 \cdot e^{-2x}) \\ = [4 - 2 \cdot (4x - 4)] \cdot e^{-2x} \\ = \underline{\underline{(12 - 8x) \cdot e^{-2x} }}

6. Ausführliche Lösung:

06_l

7. Ausführliche Lösung:

07_l

8. Ausführliche Lösung:

f(x) = (1 - x) \cdot e^{\frac{1}{2}x}   mit \quad u = 1 - x \\ \Rightarrow u' = -1    und  v' = e^{\frac{1}{2}x} \\ \Rightarrow v' = \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{1}{2}x}  
f'(x) = u' \cdot v + u \cdot v' \\ = - 1 \cdot e^{\frac{1}{2}x} + (1 - x) \cdot \frac{1}{2} e^{\frac{1}{2}x} \\ = [ -1 + \frac{1}{2} (1 - x)] \cdot e^{\frac{1}{2}x} \\ = \underline{\underline{(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}x) \cdot e^{\frac{1}{2}x} }}

f''(x) = u' \cdot v + u \cdot v'   mit   u = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}x \\ \Rightarrow u' = -\frac{1}{2}    und   v =  e^{\frac{1}{2}x} \\ \Rightarrow v' = \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{1}{2}x}
f''(x) = -\frac{1}{2} \cdot e^{\frac{1}{2}x} + (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}x)  \cdot \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{1}{2}x} \\ = [-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}x) ] \cdot e^{\frac{1}{2}x} = \underline{\underline{ (-\frac{3}{4} - \frac{1}{4}x) \cdot e^{\frac{1}{2}x} }}

f'''(x) = u' \cdot v + u \cdot v'   mit   u  = -\frac{3}{4} - \frac{1}{4}x \\ \Rightarrow u' = -\frac{1}{4}  und  v = e^{\frac{1}{2}x} \\ \Rightarrow v' = \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{1}{2}x}  
f'''(x) = - \frac{1}{4} \cdot e^{\frac{1}{2}x} + (-\frac{3}{4} - \frac{1}{4}x) \cdot \frac{1}{2} e^{\frac{1}{2}x} \\ = [-\frac{1}{4} + \frac{1}{2} (-\frac{3}{4} - \frac{1}{4}x)] \cdot e^{\frac{1}{2}x} \\ = \underline{\underline{(-\frac{5}{8} - \frac{1}{8}x) \cdot e^{\frac{1}{2}x} }}

9. Ausführliche Lösung:

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10. Ausführliche Lösung:

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Hier findest du die Aufgaben hierzu.

Hier die Theorie: Ableitungen der e-Funktion mit Produkt- und Kettenregel.

Und hier eine Übersicht über alle Beiträge zur Fortgeschrittenen Differential- und Integralrechnung.