Exponentialfunktionen
Bei den bisher betrachteten Funktionen traten Exponenten nur als Zahlen auf.
Es gibt jedoch auch Funktionen mit positiver Basis, bei denen die unabhängige Variable x als Exponent auftritt. Diese nennt man Exponentialfunktionen.
Hier einige
Beispiele
für Exponentialfunktionen:
Die Zahlen 1,5 ; 2 ; 2,5 ; e und 3 bilden hierbei die Basen und x den Exponenten.
Die Basis e ist als Eulersche Zahl bekannt und hat näherungsweise den Wert 2,71828.
Im Folgenden wird sie noch eine wichtige Rolle spielen.
Hier einige
Graphen
von Exponentialfunktionen mit unterschiedlichen Basen:
Der in farbiger Darstellung rot erscheinende stark hervorgehobene Graph gehört zu der Exponentialfunktion mit der Basis e, auch e- Funktion genannt.
Auffälligkeiten:
-
- Alle im Koordinatensystem dargestellten Graphen schneiden die y- Achse im Punkt Py ( 0 | 1 ).
-
- Für große negative x- Werte nähern sich alle Graphen beliebig der x- Achse. In einem solchen Fall wird die negative x- Achse Asymptote genannt. Man sagt auch, die Graphen nähern sich für große negative x- Werte asymptotisch der x- Achse.
Für große positive x- Werte wachsen die Funktionswerte über alle Grenzen.
- Für große negative x- Werte nähern sich alle Graphen beliebig der x- Achse. In einem solchen Fall wird die negative x- Achse Asymptote genannt. Man sagt auch, die Graphen nähern sich für große negative x- Werte asymptotisch der x- Achse.
- Alle Funktionswerte der im Koordinatensystem dargestellten Graphen sind positiv, da für Exponentialfunktionen nur positive Basen zugelassen werden. Das bedeutet es gibt in diesem Fall keine Nullstellen.
Woher kommt die Zahl e?
Um dies zu veranschaulichen, entwickeln wir die Zahl e im Folgenden mit Hilfe der Zinseszinsrechnung :
Dabei wird die in jeder Formelsammlung enthaltene Zinseszinsformel verwendet.
Das Kapital soll sich bei jährlicher Verzinsung verdoppeln. Also müssen wir einen Zinsfuß von p = 100% wählen, so dass p/100 = 1 ist.
Bei mehreren Zinsabschnitten pro Jahr, wird das Kapital mit Zinseszins mehrfach verzinst. Dabei muss der Zinsfuß durch die Anzahl der Zinsabschnitte geteilt werden.
Der Wert von e
Die meisten Taschenrechner haben eine e-Funktionstaste, ähnlich wie die pi-Taste. Damit kann man sich den Wert von e anschauen. Der Zahlenwert der Eulerschen Zahl ist ein unendlich nicht periodischer Dezimalbruch. Die Zahl e bildet die Basis der e-Funktion.
Der Wert von e auf 3 Stellen gerundet: e = 2,718
Der Wert von e auf 9 Stellen gerundet e = 2,718 281 828
Die e- Funktion besitzt keine Nullstellen, keine Extremwerte und auch keine Wendepunkte.
Spiegelung, Verschiebung und Streckung der e-Funktion
Ähnlich wie aus der Normalparabel durch entsprechende Operationen andere Parabeln entstehen können lassen sich aus der e- Funktion durch Verschiebung, Streckung und Spiegelung des Graphen andere Exponentialfunktionen gewinnen.
Spiegelung:
Hierbei entstehen keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte
Auch hier haben wir keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte
Verschiebung in y- Richtung
Wieder keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte
Und abermals keine Extremwerte und Wendepunkte.
Nullstelle im Intervall [ 0 ; 1 ]
Verschiebung in x- Richtung
Keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte
Wider keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte
Streckung (Stauchung) in y- Richtung
Und auch hier keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte
Streckung (Stauchung) in x- Richtung
Auch hier keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte
Spiegelungen, Verschiebungen und Streckungen der e- Funktion lassen sich beliebig miteinander kombinieren.
Verschiebungen auf der x- und y- Achse:
f2 (x) entstanden aus f1 (x) durch:
Verschiebung auf der x- Achse um eine Einheit nach rechts.
Verschiebung auf der y- Achse um zwei Einheiten nach oben.
f2 (x) entstanden aus f1 (x) durch:
Verschiebung auf der x- Achse um zwei Einheit nach links.
Verschiebung auf der y- Achse um eine Einheiten nach unten.
Hier finden Sie Trainingsaufgaben hierzu
und weitere Aufgaben: Potenzen VIII Potenzen mit e-Funktionen
Hier finden Sie eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Fortgeschrittene Differential- und Integralrechnung.
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