Exponentialfunktionen und die e-Funktion

Exponentialfunktionen

Bei den bisher betrachteten Funktionen traten Exponenten nur als Zahlen auf.

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Es gibt jedoch auch Funktionen mit positiver Basis, bei denen die unabhängige Variable x als Exponent auftritt. Diese nennt man Exponentialfunktionen.
Hier einige

Beispiele

für Exponentialfunktionen:

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Die Zahlen 1,5 ; 2 ; 2,5 ; e und 3 bilden hierbei die Basen und x den Exponenten.
Die Basis e ist als Eulersche Zahl bekannt und hat näherungsweise den Wert 2,71828.
Im Folgenden wird sie noch eine wichtige Rolle spielen.

Hier einige

Graphen

von Exponentialfunktionen mit unterschiedlichen Basen:
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Der in farbiger Darstellung rot erscheinende stark hervorgehobene Graph gehört zu der Exponentialfunktion mit der Basis e, auch e- Funktion genannt.

Auffälligkeiten:

  • Alle im Koordinatensystem dargestellten Graphen schneiden die y- Achse im Punkt Py ( 0 | 1 ).
  • Für große negative x- Werte nähern sich alle Graphen beliebig der x- Achse. In einem solchen Fall wird die negative x- Achse Asymptote genannt. Man sagt auch, die Graphen nähern sich für große negative x- Werte asymptotisch der x- Achse.
    f_1355
    Für große positive x- Werte wachsen die Funktionswerte über alle Grenzen.
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  • Alle Funktionswerte der im Koordinatensystem dargestellten Graphen sind positiv, da für Exponentialfunktionen nur positive Basen zugelassen werden. Das bedeutet es gibt in diesem Fall keine Nullstellen.

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Woher kommt die Zahl e?

Um dies zu veranschaulichen, entwickeln wir die Zahl e im Folgenden mit Hilfe der Zinseszinsrechnung :

Dabei wird die in jeder Formelsammlung enthaltene Zinseszinsformel verwendet.

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Das Kapital soll sich bei jährlicher Verzinsung verdoppeln. Also müssen wir einen Zinsfuß von p = 100% wählen, so dass p/100 = 1 ist.

Bei mehreren Zinsabschnitten pro Jahr, wird das Kapital mit Zinseszins mehrfach verzinst. Dabei muss der Zinsfuß durch die Anzahl der Zinsabschnitte geteilt werden.

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Der Wert von e

Die meisten Taschenrechner haben eine e-Funktionstaste, ähnlich wie die pi-Taste. Damit kann man sich den Wert von e anschauen. Der Zahlenwert der Eulerschen Zahl ist ein unendlich nicht periodischer Dezimalbruch. Die Zahl e bildet die Basis der e-Funktion.

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Der Wert von e auf 3 Stellen gerundet: e = 2,718
Der Wert von e auf 9 Stellen gerundet e = 2,718 281 828

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Die e- Funktion besitzt keine Nullstellen, keine Extremwerte und auch keine Wendepunkte.




Spiegelung, Verschiebung und Streckung der e-Funktion

Ähnlich wie aus der Normalparabel durch entsprechende Operationen andere Parabeln entstehen können lassen sich aus der e- Funktion durch Verschiebung, Streckung und Spiegelung des Graphen andere Exponentialfunktionen gewinnen.

Spiegelung:

mc_212f_1364

Hierbei entstehen keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte

 

mc_213f_1365

Auch hier haben wir keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte

 

Verschiebung in y- Richtung

mc_214f_1366

Wieder keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte

 

mc_215f_1367

Und abermals keine Extremwerte und Wendepunkte.
Nullstelle im Intervall [ 0 ; 1 ]

 



Verschiebung in x- Richtung

mc_216f_1368

Keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte

 

mc_217f_1369

Wider keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte

 

Streckung (Stauchung) in y- Richtung

mc_218f_1370

Und auch hier keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte

 

Streckung (Stauchung) in x- Richtung

mc_219f_1371

Auch hier keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte

 

Spiegelungen, Verschiebungen und Streckungen der e- Funktion lassen sich beliebig miteinander kombinieren.

Verschiebungen auf der x- und y- Achse:

mc_220

f2 (x) entstanden aus f1 (x) durch:
Verschiebung auf der x- Achse um eine Einheit nach rechts.
Verschiebung auf der y- Achse um zwei Einheiten nach oben.

 

mc_221

f2 (x) entstanden aus f1 (x) durch:
Verschiebung auf der x- Achse um zwei Einheit nach links.
Verschiebung auf der y- Achse um eine Einheiten nach unten.

Hier finden Sie Trainingsaufgaben hierzu

und weitere Aufgaben: Potenzen VIII Potenzen mit e-Funktionen



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