Die e-Funktion und Exponentialfunktionen

Definition Exponentialfunktionen:

Es gibt jedoch auch Funktionen mit positiver Basis, bei denen die unabhängige Variable x als Exponent auftritt. Deshalb nennt man sie Exponentialfunktionen. Z. B. f(x) = 1,5^x.

Hierbei bildet die Zahlen 1,5 die Basis und x den Exponenten.
Die Basis e nennt man auch Eulersche Zahl. Sie hat ungefähr den Wert 2,71828.
Im Folgenden wird sie noch eine wichtige Rolle spielen.

Graphen von Exponentialfunktionen mit unterschiedlichen Basen:

Der rot stark hervorgehobene Graph gehört zu der Exponentialfunktion mit der Basis e. Deshalb wir sie e-Funktion genannt.

Auffälligkeiten der e-Funktion

• • Alle im Koordinatensystem dargestellten Graphen schneiden die y-Achse im Punkt Py ( 0 | 1 ).

• • Für große negative x-Werte nähern sich alle Graphen beliebig der x-Achse. Jedoch schneidet sie die x-Achse nicht. In einem solchen Fall wird die negative x-Achse Asymptote genannt. Mit anderen Worten, die Graphen nähern sich für große negative x-Werte asymptotisch der x-Achse.
    In mathematischer Schreibweise sieht das folgendermaßen aus:
    \lim \limits_{x\to - \infty} a^x =0
    Für große positive x-Werte wachsen die Funktionswerte über alle Grenzen. Mit anderen Worten gegen unendlich.
    In mathematischer Schreibweise sieht das folgendermaßen aus:
    \lim \limits_{x\to\infty} a^x = \infty

• Dabei sind alle Funktionswerte der im Koordinatensystem dargestellten Graphen positiv. Denn für Exponentialfunktionen sind nur positive Basen zugelassen. Folglich gibt es in diesem Fall keine Nullstellen.

Zahl e mit Hilfe der Zinseszinsrechnung entwickeln:

Dabei verwenden wir die in jeder Formelsammlung enthaltene Zinseszinsformel.

Z. B. soll sich das Kapital bei jährlicher Verzinsung verdoppeln. Also müssen wir einen Zinsfuß von p = 100% wählen, so dass p/100 = 1 ist.

Wenn wir mehrere Zinsabschnitten pro Jahr haben, wird das Kapital mit Zinseszins mehrfach verzinst. Dabei muss der Zinsfuß durch die Anzahl der Zinsabschnitte geteilt werden.

Der Wert von e

Die meisten Taschenrechner haben eine e-Funktionstaste, ähnlich wie die pi-Taste. Damit kann man sich den Wert von e anschauen. Der Zahlenwert der Eulerschen Zahl ist ein unendlich nicht periodischer Dezimalbruch. Dabei bildet die Zahl e die Basis der e-Funktion.

Im Folgenden stelle ich Grundeigenschaften der e-Funktion f(x) = e^x vor.

Die e-Funktion besitzt keine Nullstellen, keine Extremwerte und auch keine Wendepunkte.

Spiegelung, Verschiebung und Streckung der e-Funktion

Wenn man Normalparabeln verschiebt, entstehen andere Parabeln. Genauso kann man auch e-Funktion verschieben, strecken oder spiegeln. Daraus entstehen andere Exponentialfunktionen.

Im folgenden zeige ich das an Beispielen:

e-Funktion spiegeln:

Hierbei entstehen keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte.

Ebenso keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte.

e-Funktion in y-Richtung verschieben

Weiterhin keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte.

Ebenfalls keine Extremwerte und Wendepunkte.
Aber es gibt eine Nullstelle im Intervall [ 0 ; 1 ]

e-Funktion in x-Richtung verschieben

Ebenso keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte.

Weiterhin keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte.

e-Funktion in y-Richtung strecken und stauchen

Ebenfalls keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte.

e-Funktion in x-Richtung strecken und stauchen

Wenn wir mit mit dem Faktor \color{blue}{k = 2} stauchen:
\color{blue}{f_2(x) = e^{2 \cdot x}} .
Dann ist der Schnittpunkt mit der y-Achse
f_2(0) = e^0 = 1 \Rightarrow P_y(0 | 1) .
Randgrenzwerte
\lim\limits_{x \to - \infty}(e^{2 \cdot x}) = 0 \, \, \, \lim\limits_{x \to \infty}(e^{2 \cdot x}) = \infty .

Wenn wir mit dem Faktor \color{red}{k = \frac{1}{2}} strecken:
\color{red}{f_3 = e^{\frac{1}{2}x}} .
Dann ist der Schnittpunkt mit der y-Achse
f_3(0) = e^0 = 1 \Rightarrow P_y(0 | 1) .
Randgrenzwerte
\lim\limits_{x \to - \infty}(e^{\frac{1}{2}x}) = 0 \, \, \, \lim\limits_{x \to \infty}(e^{\frac{1}{2}x}) = \infty .

Ebenfalls keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte.

Spiegelungen, Verschiebungen und Streckungen der e-Funktion lassen sich genauso miteinander kombinieren.

e-Funktion auf der x- und y-Achse verschieben

Wenn wir f₁ (x) auf der x-Achse um eine Einheit nach rechts und auf der y-Achse um zwei Einheiten nach oben verschieben, entsteht f₂ (x).

f₂ (x) entstanden aus f₁ (x) durch:
Verschiebung auf der x-Achse um zwei Einheit nach links.
Verschiebung auf der y-Achse um eine Einheiten nach unten.