Die e-Funktion und Exponentialfunktionen


In diesem Beitrag geht es um Exponentialfunktionen, außerdem um die Zahl e als Basis der e-Funktion. Dazu erkläre ich  wie man sie spiegeln, verschieben, strecken und stauchen kann. Außerdem ihre Eigenschaften und die graphische Darstellung.

Es gibt Funktionen, in denen der Exponenten eine Zahlen ist. z. B. f(x) = 2x3.

Definition Exponentialfunktionen:

Es gibt jedoch auch Funktionen mit positiver Basis, bei denen die unabhängige Variable x als Exponent auftritt. Deshalb nennt man sie Exponentialfunktionen. Z. B. f(x) = 1,5x.

Hierbei bildet die Zahlen 1,5 die Basis und x den Exponenten.
Die Basis e nennt man auch Eulersche Zahl. Sie hat ungefähr den Wert 2,71828.
Im Folgenden wird sie noch eine wichtige Rolle spielen.

Graphen von Exponentialfunktionen mit unterschiedlichen Basen:
Graph-Exponentialfunktion

Der rot stark hervorgehobene Graph gehört zu der Exponentialfunktion mit der Basis e. Deshalb wir sie e-Funktion genannt.

Auffälligkeiten der e-Funktion

    • Alle im Koordinatensystem dargestellten Graphen schneiden die y-Achse im Punkt Py ( 0 | 1 ).
    • Für große negative x-Werte nähern sich alle Graphen beliebig der x-Achse. Jedoch schneidet sie die x-Achse nicht. In einem solchen Fall wird die negative x-Achse Asymptote genannt. Mit anderen Worten, die Graphen nähern sich für große negative x-Werte asymptotisch der x-Achse.
      In mathematischer Schreibweise sieht das folgendermaßen aus:
      \lim \limits_{x\to - \infty} a^x =0
      Für große positive x-Werte wachsen die Funktionswerte über alle Grenzen. Mit anderen Worten gegen unendlich.
      In mathematischer Schreibweise sieht das folgendermaßen aus:
      \lim \limits_{x\to\infty} a^x = \infty
  • Dabei sind alle Funktionswerte der im Koordinatensystem dargestellten Graphen positiv. Denn für Exponentialfunktionen sind nur positive Basen zugelassen. Folglich gibt es in diesem Fall keine Nullstellen.

Exponentialfunktion-Basis-e


Zahl e mit Hilfe der Zinseszinsrechnung entwickeln:

Dabei verwenden wir die in jeder Formelsammlung enthaltene Zinseszinsformel.

Zinseszinsformel

Z. B. soll sich das Kapital bei jährlicher Verzinsung verdoppeln. Also müssen wir einen Zinsfuß von p = 100% wählen, so dass p/100 = 1 ist.

Wenn wir mehrere Zinsabschnitten pro Jahr haben, wird das Kapital mit Zinseszins mehrfach verzinst. Dabei muss der Zinsfuß durch die Anzahl der Zinsabschnitte geteilt werden.

Zahl-e-mit-Hilfe-der-Zinseszinsrechnung-entwickeln

Der Wert von e

Die meisten Taschenrechner haben eine e-Funktionstaste, ähnlich wie die pi-Taste. Damit kann man sich den Wert von e anschauen. Der Zahlenwert der Eulerschen Zahl ist ein unendlich nicht periodischer Dezimalbruch. Dabei bildet die Zahl e die Basis der e-Funktion.

allgemeine-Form-e-Funktion

Definition-e-Funktion

Im Folgenden stelle ich Grundeigenschaften der e-Funktion f(x) = ex vor.

mc_211f_1363

Die e-Funktion besitzt keine Nullstellen, keine Extremwerte und auch keine Wendepunkte.


Spiegelung, Verschiebung und Streckung der e-Funktion

Wenn man Normalparabeln verschiebt, entstehen andere Parabeln. Genauso kann man auch e-Funktion verschieben, strecken oder spiegeln. Daraus entstehen andere Exponentialfunktionen.

Im folgenden zeige ich das an Beispielen:

e-Funktion spiegeln:

Graph-e-Funktion-spiegeln-an-y-AchseFormeln-e-Funktion-spiegeln-an-y-Achse

Hierbei entstehen keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte.

Graph-spiegeln-an-x-AchseFormeln-e-Funktion-spiegeln-an-x-Achse

Ebenso keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte.

e-Funktion in y-Richtung verschieben

Graph-in-Richtung-y-Achse-verschiebenFunktion-e-Funktion-in-Richtung-y-Achse-verschieben

Weiterhin keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte.

Graph-in-Richtung-y-Achse-verschieben-2Funktion-e-Funktion-in-Richtung-y-Achse-verschieben-2

Ebenfalls keine Extremwerte und Wendepunkte.
Nullstelle im Intervall [ 0 ; 1 ]

e-Funktion in x-Richtung verschieben

Graph-in-Richtung-x-Achse-verschiebenFunktion-e-Funktion-in-Richtung-x-Achse-verschieben

Ebenso keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte.

Graph-in-Richtung-y-Achse-verschieben-2Funktion-e-Funktion-in-Richtung-y-Achse-verschieben-2

Weiterhin keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte.

e-Funktion in y-Richtung strecken und stauchen

Graph-e-Funktion-in-Richtung-y-Achse-streckenFunktion-e-Funktion-in-Richtung-y-Achse-strecken

Ebenfalls keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte.

e-Funktion in x-Richtung strecken und stauchen

Graph-in-Richtung-x-Achse-strecken

Wenn wir mit mit dem Faktor \color{blue}{k = 2} stauchen:
\color{blue}{f_2(x) = e^{2 \cdot x}} .
Dann ist der Schnittpunkt mit der y-Achse
f_2(0) = e^0 = 1 \Rightarrow P_y(0 | 1) .
Randgrenzwerte
\lim\limits_{x \to - \infty}(e^{2 \cdot x}) = 0 \, \, \, \lim\limits_{x \to \infty}(e^{2 \cdot x}) = \infty .

Wenn wir mit dem Faktor \color{red}{k = \frac{1}{2}} strecken:
\color{red}{f_3 = e^{\frac{1}{2}x}} .
Dann ist der Schnittpunkt mit der y-Achse
f_3(0) = e^0 = 1 \Rightarrow P_y(0 | 1) .
Randgrenzwerte
\lim\limits_{x \to - \infty}(e^{\frac{1}{2}x}) = 0 \, \, \, \lim\limits_{x \to \infty}(e^{\frac{1}{2}x}) = \infty .

Ebenfalls keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte.

Spiegelungen, Verschiebungen und Streckungen der e-Funktion lassen sich genauso miteinander kombinieren.

e-Funktion auf der x- und y-Achse verschieben

Graph-auf-y-Achse-verschieben

Wenn wir f1 (x) auf der x-Achse um eine Einheit nach rechts und auf der y-Achse um zwei Einheiten nach oben verschieben, entsteht f2 (x).

Graph-auf-x-Achse-verschieben

f2 (x) entstanden aus f1 (x) durch:
Verschiebung auf der x-Achse um zwei Einheit nach links.
Verschiebung auf der y-Achse um eine Einheiten nach unten.

Hier findest du Trainingsaufgaben hierzu.
Weitere Aufgaben: Potenzen VIII Potenzen mit e-Funktionen
Hier findest du eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Fortgeschrittene Differential- und Integralrechnung, dort auch Links zu weiteren Aufgaben.