Exponentialfunktionen und die e-Funktion
In diesem Beitrag geht es um Exponentialfunktionen. Außerdem um die Zahl e als Basis der e-Funktion, deren graphische Darstellung, Spiegelung, Verschiebung, Streckung und die wesentlichen Eigenschaften dieser Funktion.
- Definition Exponentialfunktion
- Beispiele
- Graphen von Exponentialfunktionen mit unterschiedlichen Basen
- Die Zahl e mit Hilfe der Zinseszinsrechnung entwickeln
- Der Wert von e
- Spiegelung, Verschiebung und Streckung der e-Funktion
- Links zu Trainingsaufgaben
Bei den bisher betrachteten Funktionen traten Exponenten nur als Zahlen auf.
Definition Exponentialfunktionen:
Es gibt jedoch auch Funktionen mit positiver Basis, bei denen die unabhängige Variable x als Exponent auftritt. Diese nennt man Exponentialfunktionen.
Hier einige
Beispiele für Exponentialfunktionen:
Die Zahlen 1,5 ; 2 ; 2,5 ; e und 3 bilden hierbei die Basen und x den Exponenten.
Die Basis e ist als Eulersche Zahl bekannt und hat näherungsweise den Wert 2,71828.
Im Folgenden wird sie noch eine wichtige Rolle spielen.
Hier einige
Graphen von Exponentialfunktionen mit unterschiedlichen Basen:
Der in farbiger Darstellung rot erscheinende stark hervorgehobene Graph gehört zu der Exponentialfunktion mit der Basis e, auch e-Funktion genannt.
Auffälligkeiten:
-
- Alle im Koordinatensystem dargestellten Graphen schneiden die y- Achse im Punkt Py ( 0 | 1 ).
-
- Für große negative x- Werte nähern sich alle Graphen beliebig der x- Achse. In einem solchen Fall wird die negative x- Achse Asymptote genannt. Man sagt auch, die Graphen nähern sich für große negative x- Werte asymptotisch der x- Achse.
Für große positive x- Werte wachsen die Funktionswerte über alle Grenzen.
- Für große negative x- Werte nähern sich alle Graphen beliebig der x- Achse. In einem solchen Fall wird die negative x- Achse Asymptote genannt. Man sagt auch, die Graphen nähern sich für große negative x- Werte asymptotisch der x- Achse.
- Alle Funktionswerte der im Koordinatensystem dargestellten Graphen sind positiv, da für Exponentialfunktionen nur positive Basen zugelassen werden. Das bedeutet es gibt in diesem Fall keine Nullstellen.
Zahl e mit Hilfe der Zinseszinsrechnung entwickeln:
Dabei verwenden wir die in jeder Formelsammlung enthaltene Zinseszinsformel.
Das Kapital soll sich bei jährlicher Verzinsung verdoppeln. Also müssen wir einen Zinsfuß von p = 100% wählen, so dass p/100 = 1 ist.
Bei mehreren Zinsabschnitten pro Jahr, wird das Kapital mit Zinseszins mehrfach verzinst. Dabei muss der Zinsfuß durch die Anzahl der Zinsabschnitte geteilt werden.
Der Wert von e
Die meisten Taschenrechner haben eine e-Funktionstaste, ähnlich wie die pi-Taste. Damit kann man sich den Wert von e anschauen. Der Zahlenwert der Eulerschen Zahl ist ein unendlich nicht periodischer Dezimalbruch. Die Zahl e bildet die Basis der e-Funktion.
Der Wert von e auf 3 Stellen gerundet: e = 2,718
Der Wert von e auf 9 Stellen gerundet e = 2,718 281 828
Die e-Funktion besitzt keine Nullstellen, keine Extremwerte und auch keine Wendepunkte.
Spiegelung, Verschiebung und Streckung der e-Funktion
Ähnlich wie aus der Normalparabel durch entsprechende Operationen andere Parabeln entstehen können lassen sich aus der e-Funktion durch Verschiebung, Streckung und Spiegelung des Graphen andere Exponentialfunktionen gewinnen.
Spiegelung:
Hierbei entstehen keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte
Auch hier haben wir keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte
Verschiebung in y- Richtung
Wieder keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte
Und abermals keine Extremwerte und Wendepunkte.
Nullstelle im Intervall [ 0 ; 1 ]
Verschiebung in x- Richtung
Keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte
Wider keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte
Streckung (Stauchung) in y- Richtung
Und auch hier keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte
Streckung (Stauchung) in x- Richtung
Stauchung mit dem Faktor \color{blue}{k = 2}
\color{blue}{f_2(x) = e^{2 \cdot x}}
Schnittpunkt mit der y-Achse
f_2(0) = e^0 = 1 \Rightarrow P_y(0 | 1)
Randgrenzwerte
\lim\limits_{x \to - \infty}(e^{2 \cdot x}) = 0 \, \, \, \lim\limits_{x \to \infty}(e^{2 \cdot x}) = \infty
Streckung mit dem Faktor \color{red}{k = \frac{1}{2}}
\color{red}{f_3 = e^{\frac{1}{2}x}}
Schnittpunkt mit der y-Achse
f_3(0) = e^0 = 1 \Rightarrow P_y(0 | 1)
Randgrenzwerte
\lim\limits_{x \to - \infty}(e^{\frac{1}{2}x}) = 0 \, \, \, \lim\limits_{x \to \infty}(e^{\frac{1}{2}x}) = \infty
Auch hier keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte
Spiegelungen, Verschiebungen und Streckungen der e-Funktion lassen sich beliebig miteinander kombinieren.
Verschiebungen auf der x- und y- Achse:
f2 (x) entstanden aus f1 (x) durch:
Verschiebung auf der x- Achse um eine Einheit nach rechts.
Verschiebung auf der y- Achse um zwei Einheiten nach oben.
f2 (x) entstanden aus f1 (x) durch:
Verschiebung auf der x- Achse um zwei Einheit nach links.
Verschiebung auf der y- Achse um eine Einheiten nach unten.
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