Wurzel- und Exponentialgleichungen

Wurzelgleichungen lösen

Gleichungen in denen Wurzelterme vorkommen nennt man Wurzelgleichungen. Im folgenden Beispiel soll das Lösungsverfahren genauer betrachtet werden.

f_694

Wie bei allen Gleichungen gehören zur Lösungsmenge von Wurzelgleichungen nur Elemente aus der Definitionsmenge D, die für jede Gleichung zu bestimmen ist.

Rechnung:

Bezeichnet man den linken Wurzelterm mit T1 und den rechten mit T2 so gilt:

f_695

Da die Definitionsmenge von Quadratwurzeln keine negativen Radikanden in IR zulässt, gilt:

f_696

Definitionsmenge von T1:

f_697

Definitionsmenge von T2:

f_698

Die Definitionsmenge D ist die Schnittmenge der Definitionsmengen, von T1 und T2.
Es gehören also nur solche Elemente zur Definitionsmenge, die größer oder gleich -1/5 sind.

f_699

Zur Bestimmung der Lösungsmenge müssen die in der Gleichung vorkommenden Quadratwurzeln beseitigt werden. Das geschieht durch Quadrieren beider Seiten der Gleichung. Ausmultiplizieren und Äquivalenzumformungen nach x.

f_700

Zur Probe wird das Lösungselement in die Wurzelgleichung eingesetzt:

f_701

Durch das Einsetzen von x = 3 in die Wurzelgleichung ergibt sich eine wahre Aussage, die die Richtigkeit der Lösung bestätigt.

 



Folgendes Problem kann sich ergeben:

Ist das Potenzieren der Quadratwurzeln eine Äquivalenzumformung, oder kann durch das Quadrieren noch ein weiteres Element hinzukommen, das gar nicht zu der ursprünglichen Gleichung gehört?

f_702

Durch das Quadrieren ist also das Element -3 zusätzlich hinzugekommen. Es ist daher nicht nur wichtig, sondern unbedingt erforderlich, nach einer Umformung durch Potenzieren auf beiden Seiten der Gleichung die Probe zu machen.

Beispiel:

f_703

 

f_704

 

f_705

Das bedeutet, es gibt keinen Wert für x der obige Gleichung erfüllt.

Beispiel:

f_706

 

f_707

 

f_708

f_709

 

f_710

 

Beispiel:

f_711

 

f_712

 

f_713

 

f_714




Exponentialgleichungen

Aussageformen, bei denen die Lösungsvariable in Exponenten von Wurzeln oder Potenzen vorkommen, heißen Exponentialgleichungen oder – ungleichungen.
Die Lösungsmengen solcher Aussageformen lassen sich meistens durch Anwendung der Logarithmengesetze ermitteln.

Beispiel:

f_715

 

f_716

f_717
Eine Lösung mittels Exponentenvergleich ist nur dann möglich, wenn es gelingt, die Terme auf beiden Seiten der Aussageform so umzuformen, dass sich Potenzen mit gleichen Basen ergeben.

Beispiel:

f_718

 

f_719

Exponentialgleichungen, in denen Summen oder Differenzen vorkommen, können nicht logarithmiert werden. Man kann versuchen, sie mittels Substitution (Einsetzung einer Ersatzvariablen) zu lösen.

Beispiel:

f_720

 

f_721


Hilfreich sind auch die Regeln zum Lösen von Exponentialgleichungen

Aufgaben hierzu Exponentialgleichungen I

und Aufgaben Exponentialgleichungen II mit e-hoch-x

und Aufgaben Exponentialgleichungen III mit gebrochenem Exponenten

und Aufgaben Exponentialgleichungen IV mit e-Funktionen

und Aufgaben Exponentialgleichungen V mit e-Funktionen und Brüchen

und Aufgaben: Exponentialgleichungen VI mit Parametern

und Aufgaben Exponentialgleichungen VII mit Sachaufgaben



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