Wurzelgleichungen und Exponentialgleichungen

In diesem Beitrag zeige ich zuerst anhand eines Beispiels, wie man Wurzelgleichungen löst und die Lösungsmenge bestimmt. Dabei weise ich darauf hin, welche Probleme sich ergeben können. Danach zeige ich die Lösung von Exponentialgleichungen.

Wurzelgleichungen lösen Beispiel

Gleichungen, in denen Wurzelterme vorkommen, nennt man Wurzelgleichungen. Im folgenden Beispiel erkläre ich das Lösungsverfahren.

Wie bei allen Gleichungen gehören dabei zur Lösungsmenge von Wurzelgleichungen nur Elemente aus der Definitionsmenge D, für die man jede Gleichung bestimmen muss.

Rechnung:

Wenn man den linken Wurzelterm mit T₁ und den rechten mit T₂ bezeichnet, dann gilt:

Weil die Definitionsmenge von Quadratwurzeln keine negativen Radikanden in IR zulässt, gilt:

f_696

Definitionsmenge von T₁:

Definitionsmenge von T₂:

Die Definitionsmenge D ist dabei die Schnittmenge der Definitionsmengen, von T₁ und T₂.
Es gehören also nur solche Elemente zur Definitionsmenge, die größer oder gleich -1/5 sind.

f_699

Zur Bestimmung der Lösungsmenge muss man die in der Gleichung vorkommenden Quadratwurzeln beseitigen. Das macht man, indem man beide Seiten der Gleichung quadriert. ausmultipliziert und nach x umformt.

f_700

Zur Probe setzt man das Lösungselement in die Wurzelgleichung ein:

f_701

Wenn man x = 3 in die Wurzelgleichung eingibt, dann ergibt sich eine wahre Aussage. Dadurch bestätigt sich die die Richtigkeit der Lösung.

Folgendes Problem kann sich ergeben:

Ist das Potenzieren der Quadratwurzeln eine Äquivalenzumformung oder kann durch das Quadrieren noch ein weiteres Element hinzukommen, das gar nicht zu der ursprünglichen Gleichung gehört?

f_702

Durch das Quadrieren ist also das Element -3 zusätzlich hinzugekommen. Es ist daher nicht nur wichtig, sondern unbedingt erforderlich, nach einer Umformung durch Potenzieren auf beiden Seiten der Gleichung die Probe zu machen.

Beispiel:

f_703

f_704

f_705

Mit anderen Worten: es gibt keinen Wert für x der obige Gleichung erfüllt.

Beispiel:

f_706

f_707

f_708

f_709

Beispiel:

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f_712

f_713

f_714

Exponentialgleichungen lösen Beispiel:

Aussageformen, bei denen die Lösungsvariable in Exponenten von Wurzeln oder Potenzen vorkommen, heißen Exponentialgleichungen oder – ungleichungen.
Die Lösungsmengen solcher Aussageformen kann man meistens durch Anwendung der Logarithmengesetze ermitteln.

f_715

f_716

Eine Lösung mittels Exponentenvergleich ist nur dann möglich, wenn es gelingt, die Terme auf beiden Seiten der Aussageform so umzuformen, dass sich Potenzen mit gleichen Basen ergeben.

Beispiel:

f_718

f_719

Exponentialgleichungen, in denen Summen oder Differenzen vorkommen, kann man nicht logarithmieren. Man kann jedoch versuchen, sie mittels Substitution (Einsetzung einer Ersatzvariablen) zu lösen.