Wurzelgleichungen und Exponentialgleichungen

Wurzelgleichungen und Exponentialgleichungen

In diesem Beitrag zeige ich zuerst anhand eines Beispiels, wie man Wurzelgleichungen löst und die Lösungsmenge bestimmt. Dabei weise ich darauf hin, welche Probleme sich ergeben können. Danach zeige ich die Lösung von Exponentialgleichungen.

Wurzelgleichungen lösen Beispiel

Gleichungen, in denen Wurzelterme vorkommen, nennt man Wurzelgleichungen. Im folgenden Beispiel erkläre ich das Lösungsverfahren.

f_694

Wie bei allen Gleichungen gehören dabei zur Lösungsmenge von Wurzelgleichungen nur Elemente aus der Definitionsmenge D, für die man jede Gleichung bestimmen muss.

Rechnung:

Wenn man den linken Wurzelterm mit T1 und den rechten mit T2 bezeichnet, dann gilt:

f_695

Weil die Definitionsmenge von Quadratwurzeln keine negativen Radikanden in IR zulässt, gilt:

f_696

Definitionsmenge von T1:

f_697

Definitionsmenge von T2:

f_698

Die Definitionsmenge D ist dabei die Schnittmenge der Definitionsmengen, von T1 und T2.
Es gehören also nur solche Elemente zur Definitionsmenge, die größer oder gleich -1/5 sind.

f_699

Zur Bestimmung der Lösungsmenge muss man die in der Gleichung vorkommenden Quadratwurzeln beseitigen. Das macht man, indem man beide Seiten der Gleichung quadriert. ausmultipliziert und nach x umformt.

f_700

Zur Probe setzt man das Lösungselement in die Wurzelgleichung ein:

f_701

Wenn man x = 3 in die Wurzelgleichung eingibt, dann ergibt sich eine wahre Aussage. Dadurch bestätigt sich die die Richtigkeit der Lösung.



Folgendes Problem kann sich ergeben:

Ist das Potenzieren der Quadratwurzeln eine Äquivalenzumformung oder kann durch das Quadrieren noch ein weiteres Element hinzukommen, das gar nicht zu der ursprünglichen Gleichung gehört?

f_702

Durch das Quadrieren ist also das Element -3 zusätzlich hinzugekommen. Es ist daher nicht nur wichtig, sondern unbedingt erforderlich, nach einer Umformung durch Potenzieren auf beiden Seiten der Gleichung die Probe zu machen.

Beispiel:

f_703

 

f_704

 

f_705

Mit anderen Worten: es gibt keinen Wert für x der obige Gleichung erfüllt.

Beispiel:

f_706

 

f_707

 

f_708

f_709

 

f_710

 

Beispiel:

f_711

 

f_712

 

f_713

 

f_714




Exponentialgleichungen lösen Beispiel:

Aussageformen, bei denen die Lösungsvariable in Exponenten von Wurzeln oder Potenzen vorkommen, heißen Exponentialgleichungen oder – ungleichungen.
Die Lösungsmengen solcher Aussageformen kann man meistens durch Anwendung der Logarithmengesetze ermitteln.

f_715

 

f_716

f_717
Eine Lösung mittels Exponentenvergleich ist nur dann möglich, wenn es gelingt, die Terme auf beiden Seiten der Aussageform so umzuformen, dass sich Potenzen mit gleichen Basen ergeben.

Beispiel:

f_718

 

f_719

Exponentialgleichungen, in denen Summen oder Differenzen vorkommen, kann man nicht logarithmieren. Man kann jedoch versuchen, sie mittels Substitution (Einsetzung einer Ersatzvariablen) zu lösen.

Beispiel:

f_720

 

f_721


Hilfreich sind ebenfalls die Regeln zum Lösen von Exponentialgleichungen.

Aufgaben hierzu Exponentialgleichungen I

und Aufgaben Exponentialgleichungen II mit e-hoch-x.



Hier finden Sie eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Gleichungen, dort auch Links zu weiteren Aufgaben.

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