Lineare Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen und 2 Variablen

Lineare Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen und 2 Variablen

Ein solches Gleichungssystem besteht aus zwei Gleichungen. Gesucht ist die gemeinsame Lösung beider Gleichungen. Es gibt unterschiedliche Verfahren um zur Lösung zu gelangen.

Additionsverfahren:

Lösungsschritte für das Additionsverfahren Variante 1

Gleichungssystem

f_1719

1. Gleichungen äquivalent so umformen, dass die Koeffizienten (Vorzahlen) der Variablen y, bis auf das Vorzeichen übereinstimmen

f_1720

2. Die entstandenen Gleichungen addieren und nach der Variablen x auflösen.

f_1721

3. Den gefundenen Wert für x in eine der beiden Gleichungen einsetzen und nach der Variablen y auflösen.

f_1722

4. Lösungsmenge aufschreiben

f_1723

5. Probe durch einsetzen

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Lösungsschritte für das Additionsverfahren Variante 2:

Gleichungssystem
f_1719

1. Gleichungen äquivalent so umformen, dass die Koeffizienten (Vorzahlen) der Variablen x, bis auf das Vorzeichen übereinstimmen.

f_1725

2. Die entstandenen Gleichungen addieren und nach der Variablen y auflösen.

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3. Den gefundenen Wert für x in eine der beiden Gleichungen einsetzen und nach der Variablen x auflösen.

f_1727

4. Lösungsmenge aufschreiben

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5. Probe durch einsetzen

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Gleichsetzverfahren:

Lösungsschritte für das Gleichsetzverfahren Variante 1

Gleichungssystem
f_1719

1. Beide Gleichungen werden nach der Variablen x aufgelöst .

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2. Die rechten Seiten beider Gleichungen werden gleichgesetzt und nach der Variablen y aufgelöst.

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3. Der gefundene Wert für y wird in eine der beiden Ausgangsgleichungen eingesetzt, diese dann nach der Variablen x aufgelöst.

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4, Lösungsmenge aufschreiben

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5. Probe durch einsetzen

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Lösungsschritte für das Gleichsetzverfahren Variante 2

Gleichungssystem
f_1719

1. Beide Gleichungen werden nach der Variablen y aufgelöst.

f_1735

2. Die rechten Seiten beider Gleichungen werden gleichgesetzt und nach der Variablen x aufgelöst.

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3. Der gefundene Wert für x wird in eine der beiden Ausgangsgleichungen eingesetzt, diese dann nach der Variablen y aufgelöst.

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4. Lösungsmenge aufschreiben

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5. Probe durch einsetzen

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Einsetzverfahren:

Lösungsschritte für das Einsetzverfahren Variante 1

Gleichungssystem
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1. Gleichung (I) wird nach der Variablen x aufgelöst.

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2. Den gefundenen Term der rechten Seite in Gleichung (II) einsetzen und nach y auflösen.

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3. Der gefundene Wert für y wird in eine der beiden Ausgangsgleichungen eingesetzt, diese dann nach der Variablen x aufgelöst.

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4. Lösungsmenge aufschreiben

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5. Probe durch einsetzen

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Lösungsschritte für das Einsetzverfahren Variante 2

Gleichungssystem
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1. Gleichung (II) wird nach der Variablen y aufgelöst.

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2. Den gefundenen Term der rechten Seite in Gleichung (I) einsetzen und nach x auflösen.

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3. Der gefundene Wert für x wird in eine der beiden Ausgangsgleichungen eingesetzt, diese dann nach der Variablen y aufgelöst.

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4. Lösungsmenge aufschreiben

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5. Probe durch einsetzen

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Alle drei Verfahren mit ihren Varianten wurden auf ein bestimmtes Gleichungssystem angewendet. Wer sich die einzelnen Verfahren genauer anschaut, erkennt dass das Einsetzverfahren in der Variante 2 den geringsten Rechenaufwand erfordert.

Der Rechenaufwand für ein bestimmtes Verfahren hängt von dem zu lösenden Gleichungssystem ab. Deshalb sollte man zuerst überlegen, welches Verfahren sich mit dem geringstem Aufwand durchführen lässt. Dazu bedarf es aber einiger Übungen. Die folgenden Beispiele sollen eine kleine Hilfe dafür sein, dass geeignete Lösungsverfahren zu finden.

 

Beispiele für geeignete Lösungsverfahren

Beispiel 1

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Beispiel 2

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Beispiel 3

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Beispiel 4

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Bemerkung:

Das Gleichungssystem besteht aus Bruchtermen. Da der Nenner nicht Null werden darf, ist die Definitionsmenge anzugeben. Ein solches Gleichungssystem ist nicht linear.

 



Zeichnerisches Verfahren

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Beide Gleichungen werden nach y aufgelöst.
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In jede Gleichung werden für x Zahlen eingesetzt. Daraus werden Wertepaare gebildet.

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Für jede Gleichung entsprechen die Wertepaare deren Lösungsmenge. Trägt man diese in ein Koordinatensystem ein, so erhält man zwei Geraden. Im Schnittpunkt beider Geraden liegt die gemeinsame Lösung beider Gleichungen.

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Das zeichnerische Verfahren veranschaulicht den geometrischen Zusammenhang zwischen Gleichungen und Geraden. Als Lösungsverfahren ist es meist ungeeignet, da die Koordinaten des gemeinsamen Schnittpunktes oft nur ungenau aus der Grafik abgelesen werden können.

 

Gleichungssysteme ohne eindeutige Lösung

Die zeichnerische Lösung veranschaulicht den geometrischen Zusammenhang zwischen Gleichungen und Geraden.
Zwei Geraden können unterschiedliche Lagen zueinander haben.

  • Sie können sich in einem Punkt schneiden, dann gibt es, wie obiges Beispiel veranschaulicht, für die beiden linearen Gleichungen genau eine Lösung.
  • Sie können parallel zueinander verlaufen, dann gibt es keinen Punkt, den beide Geraden miteinander haben. Die dazugehörigen Gleichungen dürften demzufolge keine Lösung haben.
  • Sie können aufeinander liegen, also identisch sein, dann würde jeder Punkt der einen Geraden auch ein Punkt der anderen sein. Die dazugehörigen Gleichungen dürften demzufolge unendlich viele Lösungen haben.

Das Gleichungssystem hat keine Lösung

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Der Lösungsansatz führt zu einer falschen Aussage. Das bedeutet, es existiert keine Lösung zu dem Gleichungssystem. Anschaulich bedeutet das, die beiden Geraden verlaufen parallel zueinander und haben keinen Punkt gemeinsam.

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen

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Bei der Addition nach der Äquivalenzumformung heben sich Gleichung (I) und Gleichung (II) gegenseitig auf, das bedeutet sie sind identisch. Jedes Zahlenpaar, das (I) erfüllt, erfüllt folglich auch (II). Anschaulich bedeutet das, die beiden Geraden liegen aufeinander und haben jeden Punkt gemeinsam.

Aufgaben hierzu

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