Einführung in das Horner-Schema

Einführung in das Horner-Schema

In diesem Beitrag stelle ich zuerst das allgemeine Schema für das Horner-Schema vor. Danach werde ich anhand eines anschaulichen Besipiels erklären, wie man mithilfe des Horner-Schemas die Wertetabelle für eine ganzrationale Funktion höherer Ordnung anlegt. Denn diese braucht man, um deren Graphen zu zeichnen.

f_0269

Will man den Wert der Funktion für x = x1 berechnen, so kann man folgendermaßen von innen nach außen vorgehen:
– runde Klammer berechnen
– Zwischenergebnis mit x1 multiplizieren und zu a1 addieren
– Ergebnis mit x1 multiplizieren und zu a0 addieren
Im Folgenden Schema zeige ich diese Rechenoperationen:

Allgemeines Schema für das Horner-Schema:

des_036

Beispiel Horner-Schema:

y = f (x) = x3 + 3x2 -12x -10
Für x = 2 soll der Wert y = f (2) mit dem Horner – Schema berechnet werden.

des_037

Es gilt also y = f(2) = -14

Für ein Polynom 3. Grades soll eine Wertetabelle erstellt werden um den Graphen zeichnen zu können.

f_0270

f_0271

Wertetabelle:

f_0272

Mit den Tabellenwerten kann der Graph danach näherungsweise gezeichnet werden.

Sollte sich beim Zeichnen herausstellen, das noch ein Wert fehlt, so kann man sich diesen trotzdem jederzeit beschaffen.

Der Graph hat bei folgenden x – Werten Nullstellen:
– 3 – 2 und bei 1

Er schneidet die y – Achse bei – 6

mc_048

Sollte sich beim Zeichnen herausstellen, das noch ein Wert fehlt, so kann man sich diesen jederzeit über das Hornerschema beschaffen. z.B. f (0,5)

f_0273




Das Horner-Schema ersetzt Polynomdivision

Wenn es darum geht, Lösungen eines Polynoms zu finden, kann man dazu statt der Polynomdivision auch das Horner-Schema verwenden. Hiermit kann man auf einfache Weise zeigen, dass für das Polynom

x3 – x2 -5x + 6 = 0  x1 = 2 eine Lösung darstelt.
f_1942
Die Zahlen in der dritten Zeile liefern dabei die Koeffizienten des Restpolynoms, wie es auch durch die Polynomdivision erhalten wurde.

Das Horner-Schema liefert also im Schnellverfahren als Abfallprodukt eine Polynomdivision. Ebenfalls lassen sich mit dem Horner-Schema oft auch Lösungen der Polynomgleichung bestimmen. Dazu setzt man in das Schema vorzugsweise Teiler des Absolutgliedes der Polynomgleichung ein.

Beispiel:

f_1943
Das Restpolynom lässt sich mit der p-q-Formel lösen.

Um weitere Lösungen eines Polynoms zu berechnen, von dem eine Lösung bereits bekannt ist, wird üblicherweise die Polynomdivision verwendet, um das Restpolynom zu erhalten woraus man weitere Lösungen ermitteln kann.

Beispiel:

x3 + x2 – 8x – 8 = 0 sei ein Polynom 3. Grades, von dem die Lösung x1 = -1 bekannt ist.
Folgende Polynomdivision liefert eine quadratische Gleichung als Restpolynom:

f_1939

Restpolynom: x2 – 8 = 0
Die quadratischen Gleichung x2 – 8 = 0 liefert, sofern sie lösbar ist, weitere Lösungen der Polynomgleichung.

Mit dem Horner-Schema lässt sich auf einfache Weise zeigen, das x1 = -1 Lösung der Polynomgleichung ist.
f_1940
Die Zahlen in der dritten Zeile liefern die Koeffizienten des Restpolynoms, wie es auch durch die Polynomdivision erhalten wurde.

Das Horner-Schema liefert also im Schnellverfahren als Abfallprodukt eine Polynomdivision. Ebenfalls lassen sich mit dem Horner-Schema oft auch Lösungen der Polynomgleichung bestimmen. Dazu setzt man in das Schema vorzugsweise Teiler des Absolutgliedes der Polynomgleichung ein.

Fazit:

Hat eine Polynomgleichung eine ganzzahlige Lösung, so lässt diese sich leicht mittels Horner-Schema finden. Das Restpolynom wird dabei gleich mitgeliefert.


Hier finden Sie Aufgaben für das Horner-Schema: Graphen ganzrationaler Funktionen zeichnen

und Aufgaben ganzrationale Funktionen

und Anwendungsaufgaben Differential und Integralrechnung I.



Hier finden Sie eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema weitere ganzrationale Funktionen, darin auch Links zu weiteren Aufgaben.

Gefällt dir die Seite? Dann freuen wir uns über ein like auf facebook.

Diese und weitere Materialien sind in den Dateien enthalten, die Sie in unserem Shop erwerben können. Dort gibt es Pakete mit vielen PDF-Dateien für Schüler ab 1 Euro. Für Lehrer gibt es WORD-Dateien, die Sie beliebig ändern können.