In diesem Beitrag stelle ich zuerst das allgemeine Schema für das Horner-Schema vor. Danach werde ich anhand eines anschaulichen Beispiels erklären, wie man mithilfe des Horner-Schemas die Wertetabelle für eine ganzrationale Funktion höherer Ordnung anlegt. Denn diese braucht man, um deren Graphen zu zeichnen. Außerdem zeige ich, wie das Horner-Schema die Polynomdivision ersetzen kann.
- Allgemeines Schema für das Horner-Schema
- Beispiel Horner-Schema
- Wertetabelle
- Das Horner-Schema ersetzt Polynomdivision
Will man den Wert der Funktion für x = x1 berechnen, so kann man folgendermaßen von innen nach außen vorgehen:
– runde Klammer berechnen
– Zwischenergebnis mit x1 multiplizieren und zu a1 addieren
– Ergebnis mit x1 multiplizieren und zu a0 addieren
Im Folgenden Schema zeige ich diese Rechenoperationen:
Allgemeines Schema für das Horner-Schema:
Beispiel Horner-Schema:
y = f (x) = x3 + 3x2 -12x -10
Für x = 2 soll der Wert y = f (2) mit dem Horner – Schema berechnet werden.
Es gilt also y = f(2) = -14
Für ein Polynom 3. Grades soll eine Wertetabelle erstellt werden um den Graphen zeichnen zu können.
Wertetabelle:
Mit den Tabellenwerten kann der Graph danach näherungsweise gezeichnet werden.
Sollte sich beim Zeichnen herausstellen, dass noch ein Wert fehlt, so kann man sich diesen trotzdem jederzeit beschaffen.
Der Graph hat bei folgenden x – Werten Nullstellen:
– 3 – 2 und bei 1
Er schneidet die y – Achse bei – 6
Sollte sich beim Zeichnen herausstellen, dass noch ein Wert fehlt, so kann man sich diesen jederzeit über das Hornerschema beschaffen. z.B. f (0,5)
Das Horner-Schema ersetzt Polynomdivision
Wenn es darum geht, Lösungen eines Polynoms zu finden, kann man dazu statt der Polynomdivision auch das Horner-Schema verwenden. Hiermit kann man auf einfache Weise zeigen, dass für das Polynom
x3 – x2 -5x + 6 = 0 x1 = 2 eine Lösung darstelt.
Die Zahlen in der dritten Zeile liefern dabei die Koeffizienten des Restpolynoms, wie es auch durch die Polynomdivision erhalten wurde.
Das Horner-Schema liefert also im Schnellverfahren als Abfallprodukt eine Polynomdivision. Ebenfalls lassen sich mit dem Horner-Schema oft auch Lösungen der Polynomgleichung bestimmen. Dazu setzt man in das Schema vorzugsweise Teiler des Absolutgliedes der Polynomgleichung ein.
Beispiel:
Das Restpolynom lässt sich mit der p-q-Formel lösen.
Um weitere Lösungen eines Polynoms zu berechnen, von dem eine Lösung bereits bekannt ist, wird üblicherweise die Polynomdivision verwendet, um das Restpolynom zu erhalten woraus man weitere Lösungen ermitteln kann.
Beispiel:
x3 + x2 – 8x – 8 = 0 sei ein Polynom 3. Grades, von dem die Lösung x1 = -1 bekannt ist.
Folgende Polynomdivision liefert eine quadratische Gleichung als Restpolynom:
Restpolynom: x2 – 8 = 0
Die quadratischen Gleichung x2 – 8 = 0 liefert, sofern sie lösbar ist, weitere Lösungen der Polynomgleichung.
Mit dem Horner-Schema lässt sich auf einfache Weise zeigen, das x1 = -1 Lösung der Polynomgleichung ist.
Die Zahlen in der dritten Zeile liefern die Koeffizienten des Restpolynoms, wie es auch durch die Polynomdivision erhalten wurde.
Das Horner-Schema liefert also im Schnellverfahren als Abfallprodukt eine Polynomdivision. Ebenfalls lassen sich mit dem Horner-Schema oft auch Lösungen der Polynomgleichung bestimmen. Dazu setzt man in das Schema vorzugsweise Teiler des Absolutgliedes der Polynomgleichung ein.
Fazit:
Hat eine Polynomgleichung eine ganzzahlige Lösung, so lässt diese sich leicht mittels Horner-Schema finden. Das Restpolynom wird dabei gleich mitgeliefert.
Hier findest du Aufgaben für das Horner-Schema: Graphen ganzrationaler Funktionen zeichnen
und Aufgaben ganzrationale Funktionen
und Anwendungsaufgaben Differential und Integralrechnung I.
Hier findest du eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema weitere ganzrationale Funktionen, darin auch Links zu weiteren Aufgaben.
