Einführung in die Polynomdivision

Einführung in die Polynomdivision

In diesem Beitrag werde ich anhand einiger Beispiele einfach erklären, wie man die Polynomdivision durchführt. Anschließend werde ich das Horner-Schema vorstellen.

Die Polynomdivision funktioniert ähnlich wie das schriftliche Dividieren. Zuerst zeige ich das Prinzip anhand eines

Beispiel schriftliches Dividieren:

des_035
Als erstes dividiert man die Zahl 62, also die ersten zwei Ziffern der zu teilenden Zahl, durch den Teiler (47). Dann multipliziert man das Ergebnis (1) mit dem Teiler 47 und subtrahiert es von der Zahl (62). Mit dem Ergebnis der Subtraktion (152) verfährt man in gleicher Weise. Das führt man so lange durch, bis das Subtraktionsergebnis Null ist. Anschließend kann man eine Probe durchführen.

f_0262

Jetzt ein

Beispiel für die Polynomdivision

des_034

Wieder dividieren wir zuerst den erste Summand des zu teilenden Polynoms ( x3) durch den ersten Summanden des Teilers (x). Dann multipliziert man das Ergebnis (x2)  mit dem Teiler (x – 4) und subtrahiert ihn von dem zu teilenden Polynom. Mit dem Ergebnis der Subtraktion ( -2x2 + 11x – 12 ) verfährt man in gleicher Weise. Man führt dieses Verfahren so lange durch, bis das Subtraktionsergebnis Null ist. Als letztes Kann man wieder die Probe durchführen:

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Als nächstes stelle ich ein paar weitere Beipsiele vor:

Beispiel 1:

f_0264

 

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Beispiel 2:

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Beispiel 3:

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Beispiel 4:

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Wie das Beispiel unten zeigt, ist es in manchen Fällen sinnvoll, bei der Schreibweise der Terme eine Lücke zu lassen.

Eine andere Möglichkeit ist, die Lücke mit Null zu füllen.

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Das folgende Beispiel behandelt die Division mit Rest. Ebenfalls bekannt bei der schriftlichen Division von Zahlen.

Beispiel 5:

f_1585

Da gerade Anfänger bei der Durchführung der Polynomdivision immer wieder Fehler machen, ist es wichtig das erhaltene Ergebnis durch eine Proberechnung zu kontrollieren.

Ein Anwendungsbeispiel der Polynomdivision.
Ist von einem Polynom eine Nullstelle bekannt, so kann der Grad des Polynoms um eins reduziert werden.

Beispiel 6:

f_1586

Rechenregeln zu Potenzen finden Sie hier


Horner-Schema ersetzt Polynomdivision

Wenn es darum geht, Lösungen eines Polynoms zu finden, kann man dazu statt der Polynomdivision auch das Horner-Schema verwenden. Hiermit kann man auf einfache Weise zeigen, dass für das Polynom
x3 – x2 -5x + 6 = 0  x1 = 2 eine Lösung darstelt.
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Die Zahlen in der dritten Zeile liefern die Koeffizienten des Restpolynoms, wie es auch durch die Polynomdivision erhalten wurde.

Das Horner-Schema liefert also im Schnellverfahren als Abfallprodukt eine Polynomdivision. Ebenfalls lassen sich mit dem Horner-Schema oft auch Lösungen der Polynomgleichung bestimmen. Dazu setzt man in das Schema vorzugsweise Teiler des Absolutgliedes der Polynomgleichung ein.

Beispiel:

f_1943
Das Restpolynom lässt sich mit der p-q-Formel lösen.

Fazit:
Hat eine Polynomgleichung eine ganzzahlige Lösung, so lässt diese sich leicht mittels Horner-Schema finden. Das Restpolynom wird dabei gleich mitgeliefert.


Hier finden Sie Aufgaben zur Polynomdivision

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Und hier eine Übersicht über weitere ganzrationale Funktionen.

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