Potenzen, Wurzeln und ihre Rechengesetze
In diesem Beitrag werde ich zuerst den Potenzbegriff definieren. Danach stelle ich die Potenzgesetzte vor: Addition und Subtraktion von Potenzen, Multiplikation und Division von Potenzen mit gleicher Basis. Die erweiterte Potenzdefinition zeigt, dass die Basis einer Potenz kann zum Beispiel x sein, der Exponent auch negativ. Dann zeige ich, wie man Potenzen mit ungleicher Basis aber gleichem Exponenten multipliziert und dividiert. Danach geht es um das Potenzieren von Potenzen. Schließlich stelle ich Tips und Tricks bei Berechnungen mit Wurzeln vor.
Potenz Definition:
Eine Potenz ist eine Multiplikation gleicher Faktoren (Basis), bei der der Exponent die Anzahl der Faktoren angibt, zum Beispiel:
Potenzgesetze
Addition und Subtraktion von Potenzen:
Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten können addiert oder subtrahiert werden.
Beispiele:
a) 
b) 
Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert und die Basis beibehält.
Beispiele:
a) 
b) 
c) 
Merke
Division von Potenzen mit gleicher Basis
Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man den Nennerexponenten vom Zählerexponenten subtrahiert und die Basis beibehält.
Der Satz kann aber laut Definition nur gelten, wenn m > n ist.
Wir untersuchen daher die Fälle m = n und m < n
Bei der Division gleicher Potenzen ergibt sich im Ergebnis der Exponent 0.
Die Division gleicher Zahlen führt zum Ergebnis 1.
Daher ist es sinnvoll, a0 = 1 zu definieren.
Ist der Zählerexponent kleiner als der Nennerexponent, so ergibt sich bei der Anwendung der Regel über die Division von Potenzen eine negative Zahle als Exponent.
Um die Allgemeingültigkeit der Regel zu erreichen, muss die Definition des Potenzbegriffes erweitert und die Potenz mit negativen Exponenten sinnvoll interpretiert werden.
Setzt man eine Potenz vom Zähler in den Nenner oder umgekehrt, so ändert sich das Vorzeichen des Exponenten.
Erweiterte Potenzdefinition:
Das heißt, die Basis der Potenz kann eine reelle Zahl sein. Der Exponent kann eine ganze Zahl.
Eine ausführliche Erklärung der Zahlenmengen finden Sie im Beitrag Entwicklung der Zahlenmengen
eine Übersicht dazu in Standardmengen und mathematische Zeichen.
Mit Hilfe dieser Definition sind die Regeln über die Multiplikation und Division ebenfalls uneingeschränkt gültig.
Beispiele:
a)
b)
c)
d)
Multiplikation von Potenzen mit ungleicher Basis aber gleichem Exponenten
Potenzen mit ungleicher Basis aber gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man ihre Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.
Beispiele:
a)
b)
Division von Potenzen mit ungleicher Basis aber gleichem Exponenten
Potenzen mit ungleicher Basis aber gleichem Exponenten werden dividiert, indem man ihre Basen dividiert und den Exponenten beibehält.
Beispiele:
a)
b)
Potenzieren von Potenzen
Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.
Beispiele:
a)
b)
Radizieren von Potenzen
Man zieht die Wurzel aus Potenzen, indem man den Potenzexponenten durch den Wurzelexponenten dividiert und die Basis beibehält.
Damit lassen sich nun alle Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten darstellen. Das vereinfacht Berechnungen mit Wurzeln, da man sich auf die bekannten Potenzgesetze stützen kann.
Beispiele:
a) 
b) 
Zusammenfassung der Potenzgesetze:
Potenzen mit:
gleichen Basen werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert.
gleichen Basen werden dividiert, indem man ihre Exponenten subtrahiert.
ungleichen Basen aber gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und das Produkt mit dem Exponenten versieht.
ungleichen Basen aber gleichen Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Quotineten mit dem Exponenten versieht.
Potenzen werden potenziert, indem man ihre Exponenten multipliziert.
Jede Wurzel kann als Potenz mit gebrochenem Exponenten geschrieben werden.
Der Potenzwert einer Potenz mit dem Exponenten 0 ist stets 1.
Bildet man den Kehrwert einer Potenz, so ändert sich das Vorzeichen des Exponenten.
Tips und Tricks bei Berechnungen mit Wurzeln
Faktor aus der Wurzel ziehen
Beispiele:
a)
b)
Den Nenner wurzelfrei machen
Beispiele:
a)
b)
Aufgaben hierzu: Potenzen I Potenzen vereinfachen
Hier finden Sie weitere Aufgaben und eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Potenzen und zu anderen mathematischen Grundlagen.
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