Potenzen, Wurzeln und ihre Rechengesetze

Potenzen, Wurzeln und ihre Rechengesetze

In diesem Beitrag werde ich zuerst den Potenzbegriff definieren. Danach stelle ich die Potenzgesetzte vor: Addition und Subtraktion von Potenzen, Multiplikation und Division von Potenzen mit gleicher Basis. Die erweiterte Potenzdefinition zeigt, dass die Basis einer Potenz kann zum Beispiel x sein, der Exponent auch negativ. Dann zeige ich, wie man Potenzen mit ungleicher Basis aber gleichem Exponenten multipliziert und dividiert. Danach geht es um das Potenzieren von Potenzen. Schließlich stelle ich Tips und Tricks bei Berechnungen mit Wurzeln vor.

Potenz Definition:

f_0293

Eine Potenz ist eine Multiplikation gleicher Faktoren (Basis), bei der der Exponent die Anzahl der Faktoren angibt, zum Beispiel:

f_0294
f_0295
f_0296
f_0297
f_0298
f_0299


Potenzgesetze

Addition und Subtraktion von Potenzen:

Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten können addiert oder subtrahiert werden.

Beispiele:

a) f_0300

b) f_0301

Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis

Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert und die Basis beibehält.

f_0302

Beispiele:

a) f_0303

b) f_0304

c) f_0305

Merke

f_0306

Division von Potenzen mit gleicher Basis

Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man den Nennerexponenten vom Zählerexponenten subtrahiert und die Basis beibehält.

f_0307

Der Satz kann aber laut Definition nur gelten, wenn m > n ist.
Wir untersuchen daher die Fälle m = n und m < n

f_0308

Bei der Division gleicher Potenzen ergibt sich im Ergebnis der Exponent 0.
Die Division gleicher Zahlen führt zum Ergebnis 1.
Daher ist es sinnvoll, a0 = 1 zu definieren.

f_0309

Ist der Zählerexponent kleiner als der Nennerexponent, so ergibt sich bei der Anwendung der Regel über die Division von Potenzen eine negative Zahle als Exponent.
Um die Allgemeingültigkeit der Regel zu erreichen, muss die Definition des Potenzbegriffes erweitert und die Potenz mit negativen Exponenten sinnvoll interpretiert werden.

Setzt man eine Potenz vom Zähler in den Nenner oder umgekehrt, so ändert sich das Vorzeichen des Exponenten.

f_0310



Erweiterte Potenzdefinition:

f_0311

Das heißt, die Basis der Potenz kann eine reelle Zahl sein. Der Exponent kann eine ganze Zahl.
Eine ausführliche Erklärung der Zahlenmengen finden Sie im Beitrag Entwicklung der Zahlenmengen
eine Übersicht dazu in Standardmengen und mathematische Zeichen.
Mit Hilfe dieser Definition sind die Regeln über die Multiplikation und Division ebenfalls uneingeschränkt gültig.

Beispiele:

a)
f_0312

b)
f_0313

c)
f_0314

d)
f_0315

Multiplikation von Potenzen mit ungleicher Basis aber gleichem Exponenten

Potenzen mit ungleicher Basis aber gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man ihre Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.

f_0316

Beispiele:

a)
f_0317

b)
f_0318

Division von Potenzen mit ungleicher Basis aber gleichem Exponenten

Potenzen mit ungleicher Basis aber gleichem Exponenten werden dividiert, indem man ihre Basen dividiert und den Exponenten beibehält.

f_0319

Beispiele:
a)
f_0320
b)
f_0321

Potenzieren von Potenzen

Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.

f_0322

Beispiele:
a)
f_0323
b)
f_0324

Radizieren von Potenzen

Man zieht die Wurzel aus Potenzen, indem man den Potenzexponenten durch den Wurzelexponenten dividiert und die Basis beibehält.

f_0325

Damit lassen sich nun alle Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten darstellen. Das vereinfacht Berechnungen mit Wurzeln, da man sich auf die bekannten Potenzgesetze stützen kann.

Beispiele:
a) f_0326
b) f_0327




Zusammenfassung der Potenzgesetze:

Potenzen mit:

gleichen Basen werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert.

pg_001: Potenzgesetz für die Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen

gleichen Basen werden dividiert, indem man ihre Exponenten subtrahiert.

pg_002: Potenzgesetz für die Division von Potenzen mit gleichen Basen

ungleichen Basen aber gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und das Produkt mit dem Exponenten versieht.

pg_003: Potenzgesetz für die Multiplikation von Potenzen mit ungleichen Basen aber gleichen Exponenten

ungleichen Basen aber gleichen Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Quotineten mit dem Exponenten versieht.

pg_004: Potenzgesetz für die Division von Potenzen mit ungleichen Basen aber gleichen Exponenten

Potenzen werden potenziert, indem man ihre Exponenten multipliziert.

pg_005: Potenzgesertz für das Potenzieren von Potenzen

Jede Wurzel kann als Potenz mit gebrochenem Exponenten geschrieben werden.

pg_006: Wurzel als Potenz geschrieben

Der Potenzwert einer Potenz mit dem Exponenten 0 ist stets 1.

pg_007: Potenz mit dem Exponenten Null

Bildet man den Kehrwert einer Potenz, so ändert sich das Vorzeichen des Exponenten.

pg_008: Kehrwert einer Potenz


Tips und Tricks bei Berechnungen mit Wurzeln

Faktor aus der Wurzel ziehen

Beispiele:
a)
f_0329
b)
f_0330

Den Nenner wurzelfrei machen

Beispiele:
a)
f_0331
b)
f_0332



Aufgaben hierzu: Potenzen I Potenzen vereinfachen

Hier finden Sie weitere Aufgaben und eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Potenzen und zu anderen mathematischen Grundlagen.

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