Übersicht über die Zahlenmengen • 123mathe

In diesem Beitrag gebe ich einen Überblick über die Zahlenmengen. Zuerst die Geschichte der Zahlenmengen, danach definiere ich die Begriffe Zahlenmenge, natürliche Zahl, ganze Zahl, rationale Zahl, reelle Zahl. Zuletzt zeige ich Intervalle als Teilmengen der reellen Zahlen.

Geschichte der Zahlenmengen

In der Mathematik definiert man die Rechenoperationen mit Hilfe von Zahlen. Anfangs brauchten die Menschen Zahlen nur zum Abzählen. Deshalb bestand der zuerst bekannte Zahlenbereich aus positiven ganzen Zahlen, die als natürliche Zahlen bezeichnet werden. Doch beim Logarithmieren kommen wir mit diesen Zahlen nicht aus. In der Mengenlehre sind die Zahlen als Elemente von Zahlenmengen festgelegt, in den sogenannten Standardmengen.

Definition Zahlenmenge

Eine Zahlenmenge ist eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Zahlen.
Mengen werden mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet.

Beispiel für Zahlenmengen:

Schreibweise für Mengen

Definition Natürliche Zahl

Die Menge der natürlichen Zahlen IN enthält die Zahlen, die zum Abzählen benötigt werden einschließlich der Zahl Null. Obwohl wir beim Abzählen die 0 nicht brauchen, wird dadurch jedoch die Symbolik der Zahlengrundmengen vereinfacht. Aber auch die Schreibweise von Indizes an Koeffizienten beginnt meist mit 0.

Beispiel Zahlenmengen der natürlichen Zahlen:

Innerhalb der natürlichen Zahlen ist die Verknüpfung Addition abgeschlossen, das heißt, die Addition zweier natürlicher Zahlen führt wieder zu einer natürlichen Zahl.

Beispiel:

Die Subtraktion ist in IN nicht abgeschlossen, da nicht jede dieser Verknüpfungen wieder zu einem Element aus IN führt. Denn das Ergebnis kann ja negativ sein.

Beispiel:

Also muss die Zahlenmenge so erweitert werden, dass die Verknüpfung Subtraktion uneingeschränkt möglich ist.
Diese Zahlenmenge ist die Menge der ganzen Zahlen.

Definition Ganze Zahl

Die Menge der ganzen Zahlen enthält die Elemente der Menge der natürlichen Zahlen und alle negativen ganzen Zahlen.

In sind jetzt die Verknüpfungen Addition, Subtraktion und Multiplikation abgeschlossen. Bei der Division genügt diese Zahlenmenge jedoch nicht.

Beispiel:

Die Erweiterung der Menge der ganzen Zahlen um die Bruchzahlen führt zur Menge der rationalen Zahlen. In ihr ist die Division nahezu uneingeschränkt möglich ist. Die Division durch Null ist nicht erlaubt.

Definition Rationale Zahl

In der Mengenschreibweise sieht das so aus:

Nach DIN 5473 kennzeichnet man die Standardmengen mit einem Stern, wenn das Element 0 nicht enthalten sein soll, also

Für jede rationale Zahl gibt es unendlich viele Schreibweisen, so dass in der aufzählenden Form der Menge nur die Repräsentanten (nicht mehr kürzbare Brüche) aufgeführt werden.

Beispiel:

Da diesen Zahlen wie den rationalen Zahlen wirklich ein Punkt auf dem Zahlenstrahl zugeordnet ist, nennt man alle Zahlen, denen genau ein Punkt auf dem Zahlenstrahl zugeordnet ist, die Menge der reellen Zahlen.

Definition Reelle Zahl

Die Menge der reellen Zahlen ist die Menge aller Punkte des Zahlenstrahls.

Symbol:

Beispiel:

Bemerkung zur Zahlenmengen der reellen Zahlen

In der Menge der reellen Zahlen sind die Verknüpfungen Addition, Subtraktion Multiplikation, Potenzieren, uneingeschränkt und die Division ohne Divisor 0 möglich. Die Verknüpfungen Radizieren und Logarithmieren sind nicht uneingeschränkt möglich.