Verknüpfung von Mengen

Verknüpfung von Mengen

Durch Verknüpfungen von Mengen lassen sich andere Mengen bilden, die zu ihren Ausgangsmengen in bestimmten Beziehungen stehen. Dies ist in der Mathematik von Bedeutung, um Schreibweisen zu vereinfachen und das Erkennen von Strukturen zu erleichtern. Die wichtigsten Verknüpfungen sind Schnittmenge, Vereinigungsmenge, Restmenge und Produktmenge.


Definition Schnittmenge

Die Schnittmenge ist diejenige Menge, deren Elemente sowohl in der einen als auch in der anderen Ausgangsmenge enthalten sind.

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Die Menge C ist die Schnittmenge von A und B oder kurz ausgedrückt, C ist gleich A geschnitten B.

Die Schnittmengenbildung ist nicht auf zwei Mengen beschränkt.

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Beispiel:

Gegeben sind die Mengen A und B

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Die Schnittmenge von A und B

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Beispiel:

Gegeben sind die Mengen A und B mit A = {a ; b ; c ; d ; e ; f ; g} und B = {e ; f ; g ; h ; i ; j}
Ermitteln Sie die Schnittmenge!

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Die Elemente e, f und g sind sowohl in der Menge A als auch in der Menge B enthalten.

Beispiel:

Die Schule bietet Kurse in Fotografie, Informatik und Digitaltechnik an, die die Schüler auf freiwilliger Basis besuchen können. Von der Klasse SF33S mit 20 Schülern wählen:

Neun Schüler den Fotokurs F     des_007

Zwölf Schüler den Informatikkurs I und     des_008

Elf Schüler den Digitalkurs D     des_009

Drei Schüler belegen F und I, sind also in beiden AG’s     des_010

Fünf Schüler belegen F und D     des_011

Sechs Schüler belegen I und D     des_012

Zwei Schüler belegen alle drei AG’s also F, I und D     des_013

Wie viele Schüler besuchen nur einen Kurs?

Rechnung:

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Über die gesamte Anzahl der Elemente in der Menge F, I und D lässt sich der verbleibende Rest in der Mengenschleife ermitteln. Damit belegen 10 Schüler nur einen Kurs.

Definition Teilmenge:

Eine Menge A ist Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist.

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Beispiel:

Die Klasse K besteht aus Jungen und Mädchen.
J ist die Menge der Jungen, M ist die Menge der Mädchen.
Deshalb  gilt:
Die Menge der Jungen ist eine Teilmenge der Klasse.
Die Menge der Mädchen ist eine Teilmenge der Klasse.

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Mit Hilfe der Schnittmenge kann man bestimmte Strukturen innerhalb der Mengenlehre erkennen.

Satz

Wenn B eine Teilmenge von A ist, so ist die Schnittmenge von A und B gleich der Menge B.

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Diese kann man leicht aus dem Mengendiagramme erkennen.

Satz

Die Schnittmenge disjunkter (elementfremder) Mengen ist leer.

Bildet man die Schnittmenge zweier elementfremder (disjunkter) Mengen, so findet sich kein Element, dass sowohl in der einen als auch in der anderen Menge enthalten ist. Diese Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge.

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Das Kurzzeichen für die leere Menge wird mit dem Symbol Ø gekennzeichnet.

Satz

Für die Schnittmengenbildung gilt das Kommutativgesetz. Das heißt, man kann die beiden Mengen vertauschen.

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Auch diese kann man leicht aus dem Mengendiagramme erkennen.




Definition Vereinigungsmenge

Die Vereinigungsmenge ist diejenige Menge, deren Elemente entweder in der einen Menge oder in der anderen Menge oder in beiden enthalten sind.

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Die Menge C ist die Menge A vereinigt mit der Menge B.

Es können auch mehrere Mengen miteinander vereinigt werden:
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Beispiel:

Vereinigungsmenge

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Beispiel:

Gegeben sind die Mengen A und B in beschreibender Form:

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Die Vereinigungsmenge soll ermittelt werden. Die Mengen A und B in aufzählender Form:

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Die Vereinigungsmenge in aufzählender und beschreibender Form:
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Beispiel:

Im vorangegangenem Beispiel zur Schnittmenge sind die Mengen F, I und D angegeben.     des_007

Es handelt sich dabei um Schüler, die die Kurse Fotografie (F), Informatik (I) und Digitaltechnik (D) belegen.     des_008

Welche Elemente enthält dann die Vereinigungsmenge dieser drei Mengen, und wie ist diese Menge entsprechend der Aufgabe zu beschreiben?     des_009

Rechnung:

Die Vereinigungsmenge enthält 20 Elemente (Schüler) und zwar sind es alle Schüler der Klasse SF23S, die Kurse wählen konnten.
F vereinigt I vereinigt D = {Schüler der Klasse SF23S}

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Satz

Ebenso wie die Schnittmengenbildung ist die Bildung der Vereinigungsmenge kommutativ.

des_019Der Nachweis erfolgt über die Mengendiagramme.

Satz

Ist A Teilmenge von B, so ist die Vereinigungsmenge von A und B gleich der Menge B.

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Der Beweis erfolgt wieder über die Mengenbilder.

Die leere Menge zeigt sich bezüglich der Vereinigungsmengenbildung als neutrales Element, d.h. die Vereinigung mit der leeren Menge führt zu keiner Veränderung gegenüber der Ausgangsmenge.

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Definition Restmenge

Die Restmenge A ohne B zweier Mengen A und B ist die Menge der Elemente, die in der Menge A, aber nicht in der Menge B enthalten sind.

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Die Restmenge C ist die Menge A ohne die Elemente der Menge B.
C= A\B Symbol für ohne: \

Satz

Die Restmengenbildung ist nicht kommutativ.

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Der direkte Beweis erfolgt über die Mengenbilder.

Beispiel:

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Die Produktmengenverknüpfung

Definition Paarmenge

Eine Paarmenge ist eine Menge, deren Elemente aus Wertepaaren bestehen, deren Ordnung festgelegt ist.

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Der Begriff Ordnung bedeutet, es ist festgelegt, welche Komponente des Wertepaares an erster Stelle geschrieben wird.

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Definition Produktmenge

Die Produktmenge der Mengen A und B ist die Menge aller möglichen geordneten Paare, mit der Ordnung steht an erster Stelle und steht an zweiter Stelle im Wertepaar.

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Die Produktmenge zweier Mengen ist nicht kommutativ, da die Ordnung in den Elementen der beiden Mengen verschieden ist.

Beispiel:

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Eine Übersicht über alle Mengenbegriffe und mathematischen Zeichen finden Sie hier

Hier finden Sie eine Übersicht über alle Beiträge und Aufgaben zum Thema Aussagen und Mengen, darin auch Links zu Aufgaben.

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