Symmetrie und Verlauf ganzrationaler Funktionen

Symmetrie und Verlauf ganzrationaler Funktionen

In diesem Beitrag zeige ich anhand anschaulicher Beispiele, dass ganzrationale Funktionen n-ten Grades durch Zusammensetzen von Potenzfunktionen entstehen. Anschließend werde ich zeigen, dass der Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion durch den Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt wird. Schließlich zeige ich die Symmetrie zu einem beliebigen Punkt.

Ganzrationale Funktionen n-ten Grades

f_0138

Ganzrationale Funktionen entstehen durch Zusammensetzen von Potenzfunktionen.


Beispiele für Ganzrationale Funktionen n-ten Grades:

f_0383mc_057

 

f_0384mc_058

 

f_0385mc_059

 

f_0386mc_060

Rechner für ganzrationale Funktionen 4. Grades
Zeichnen Sie mit dem Script selber Graphen ganzrationaler Funktionen.




Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktionen n-ten Grades

Satz:

Der Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion wird durch den Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt.

n gerade n ungerade
an>0 Verlauf von II nach I Verlauf von III nach I
an<0 Verlauf von III nach IV Verlauf von II nach IV

Beispiele:

f_0352




Symmetrie des Graphen einer ganzrationalen Funktionen n-ten Grades

Die Vermutung liegt nahe, dass Funktionen, die nur aus Potenzfunktionen mit geraden Exponenten zusammengesetzt sind, achsensymmetrisch sind und Funktionen, die nur aus Potenzen mit ungeraden Exponenten zusammengesetzt sind, punktsymmetrisch sind.

Satz:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn deren Funktionsgleichung nur gerade Exponenten enthält.
Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn deren Funktionsgleichung nur ungerade Exponenten enthält.

Beispiel:

f_0351

mc_069f_0387

 

mc_070f_0388

 


Symmetrie zu einem beliebigen Punkt

Wird der Graph einer punktsymmetrischen Funktion beliebig verschoben, so geht die Symmetrie zum Ursprung, wir nannten sie Punktsymmetrie verloren. In Bezug auf den Zielpunkt der Verschiebung bleibt sie jedoch erhalten.

Beispiel:

f_0380

f_0389mc_067

 

f_0390mc_068

Das Ergebnis leuchtet sofort ein, denn eine Verschiebung des Graphen oder die Verschiebung des Koordinatensystems hat auf die Form des Graphen keinen Einfluss. Lediglich die Funktionsgleichung hat sich geändert.

Fallbeispiel:

Es soll überprüft werden, ob der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades zu einem bestimmten Punkt punktsymmetrisch ist.

Vorbetrachtung:

des_038

f_0381

Mit dieser Vorschrift lässt sich stets der bei einer Spiegelung an P0 zu P1 gehörige Spiegelpunkt P1‚ bestimmen.

Beispiel:

f_0382

Falls der Spiegelpunkt nicht auf dem Graphen liegt, ist der Graph nicht punktsymmetrisch zu P0.


Rechner für ganzrationale Funktionen bis 9. Grades
Geben Sie die Koeffizienten der Funktionsgleichung ein, danach zeichnet das Javascript den Graph der Funktion.

Trainingsaufgaben hierzu



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