Polynomgleichungen einfach erklärt

Polynomgleichungen einfach erklärt

In diesem Beitrag werde ich zuerst einfach erklären, was eine Polynomgleichung ist. Um sie zu lösen, bringt man sie zuerst in die Nullform, auch Normalform genannt. Danach stelle ich anhand anschaulicher Beispiele die 5 Varianten vor: Polynomgleichung mit nur einer einzige Potenz der Variablen x, Polynomgleichung stellt eine quadratische Gleichung, biquadratische Gleichung, in der Polynomgleichung kommt kein absolutes Glied vor und eine andere Variante.

Definition und Beispiel Polynomgleichung

Verschiedene Potenzen von x auf der linken und rechten Seite einer Gleichung ergeben eine Polynomgleichung.

f_1927 Polynomgleichung

Lösungsverfahren für Polynomgleichung: in die Nullform, Normalform bringen

Um eine solche Gleichung zu lösen, bringt man sie zunächst auf die sogenannte Nullform. Das heißt, die Gleichung wird solange mittels Äquivalenzumformung bearbeitet, bis auf der rechten Seite nur noch die Null steht.

f_1928

Statt Nullform sagt man zu dieser Form der Polynomgleichung auch Normalform.

Man unterscheidet mehrere Varianten von Polynomgleichungen, für die es unterschiedliche Lösungsverfahren gibt. Um die jeweilige Variante zu erkennen, ist es erforderlich, die Polynomgleichung wie oben beschrieben, auf die Nullform zu bringen.

1. Beispiel: Polynomgleichung mit nur einer einzige Potenz der Variablen x:

f_1929
Falls n ungerade ist, darf der Radikand auch negativ sein.
Es gibt genau eine Lösung der Wurzel.
Falls n gerade ist, darf der Radikand nur positiv sein.
Es gibt zwei Lösungen.

Beispiele:

f_1930

Im ersten Fall ist n ungerade und der Radikand negativ.
Im zweiten Fall ist n gerade und der Radikand positiv.
Wäre er negativ, dann würde sich die Wurzel und damit die Gleichung nicht lösen lassen.



2. Beispiel: Polynomgleichung stellt eine quadratische Gleichung dar:

f_1931 p-q-Formel
Deshalb lässt sie sich mithilfe der p-q-Formel berechnen.

Beispiel:

f_1932
D steht dabei für Diskriminante, anhand der man die Anzahl der Lösungen schon vor der entgültigen Berechnung bestimmen kann.
Wenn D > Null: Die quadratische Gleichung hat 2 Lösungen.
Falls D = Null: Die quadratische Gleichung hat nur eine Lösung ( -p/2 ).
Wenn D < Null: Die quadratische Gleichung hat keine Lösung.
In diesem Fall braucht man an dieser Stelle nicht weiterrechnen.

3. Die Polynomgleichung stellt eine biquadratische Gleichung dar:

f_1933
Die Substitutionsvariable z lässt sich mithilfe der p-q-Formel berechnen.
Anschließend muss zurücksubstituiert und die Wurzel gezogen werden.
Die Wurzel lässt sich nur für positive z-Werte lösen.

Beispiel:

f_1934

In diesem Fall ist die Diskriminante Null, so dass es für die Substitutionsvariable nur einen Wert gibt (z = 9).
Das bedeutet, die Polynomgleichung 4. Grades hat nur zwei Lösungen.



4. Beispiel: In der Polynomgleichung kommt kein absolutes Glied vor
f_1935

Die Variable x lässt sich ausklammern.
Lösungen werden nach dem Satz vom Nullprodukt *) berechnet (Faktorisierungsverfahren).

Beispiel:

f_1936

Der zweite Faktor vom Nullprodukt ist eine quadratische Gleichung, die sich leicht mit der p-q-Formel lösen lässt.
*) Satz vom Nullprodukt:
Ein Produkt ist genau dan Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist.

5. Beispiel: Die Polynomgleichung entspricht nicht einer der Varianten 1 bis 4

f_1937

In vielen Fällen lässt sich die Lösung durch die Polynomdivision finden.
Dazu muss aber eine Lösung bekannt sein.Ist eine Lösung des Polynoms bekannt, dann kann der Grad des Polynoms durch Polynomdivision um eins verringert werden. Wenn das auf eine quadratische Gleichung führt, ist es ein leichtes, die weiteren Lösungen zu finden.
Folgendes Beispiel, bei dem die Lösung x = 2 bekannt ist soll das Verfahren der Polynomdivision verdeutlichen.
Die Division erfolgt nach den bekannten Regeln der schriftlichen Division.

f_1938

Falls sich keine Lösung, z,B. durch raten oder probieren finden lässt, müssen numerische Verfahren herangezogen werden.


Hier finden Sie Aufgaben Polynomgleichungen I

und Aufgaben Polynomgleichungen II.



Hier eine Übersicht über weitere Beiträge zu Mathematischen Grundlagen, darin auch Links zu weiteren Aufgaben.

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