Einführung in Quadratische Gleichungen und p-q-Formel

Bis jetzt haben wir uns mit Gleichungen beschäftigt, bei denen die Variable x nur in der 1. Potenz steht, also lineare Gleichungen. In diesem Beitrag gebe ich eine Einführung in das Lösen quadratischer Gleichungen, also in denen x potenziert wird, siehe Potenzen, Wurzeln und ihre Rechengesetze. Dazu werde ich zuerst anhand eines anschaulichen Beispiels zeigen, wie man eine reinquadratische Gleichung durch Äquivalenzumformung löst. Dann werde ich kurz erklären, dass sich der Betrag einer reellen Zahl ergibt sich, wenn wir das Vorzeichen auf + umwandeln. Anschließend werde ich zwei Lösungsvarianten für reinquadratische Gleichungen und das Lösungsverfahren mit Hilfe der quadratischen Ergänzung vorstellen. Danach werde ich die allgemeine Form der quadratischen Gleichung erklären. Anhand einiger Beispiele werde ich dann die die p-q-Formel vorstellen. Schließlich werde ich zeigen, wie man die Lösungskontrolle mit dem Wurzelsatz von Vieta durchführt und wie man quadratische Gleichungen mittels Linearfaktoren konstruieren kann.

Rein quadratische Gleichung

f_0437

Erläuterungen zum Betrag

Jemand gewinnt 120 €, wir sagen auch er gewinnt einen Geldbetrag von 120 €.
Jemand bekommt einen Strafzettel über 120 €, wir sagen auch er hat einen Geldbetrag von 120 € zu zahlen.
Finanztechnisch bedeutet der Gewinn ein Plus und die Strafe ein Minus.

In beiden Fällen handelt es sich um 120 €.

Der Betrag einer reellen Zahl ergibt sich, wenn wir das Vorzeichen auf + umwandeln.

Beispiele zum Betrag:

f_0439

Nicht ganz so einfach ist es, wenn wir den Betrag einer Variablen x bestimmen wollen.
| x | = x gilt leider nicht für alle reellen Zahlen.

Beispiel zum Betrag mit Variablen:

f_0440

Der Betrag einer reellen Zahl ist immer positiv.
Der Betrag gibt die Größe einer Zahl an, ohne dabei auf das Vorzeichen zu achten.

Lösungsvariante I für rein quadratische Gleichungen

f_0441

Beispiel quadratische Gleichung durch Wurzelziehen:

f_0442

Beispiel:

f_0443

Lösungsvariante II für rein quadratische Gleichungen

f_0444

Satz vom Nullprodukt:

Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist.

Quadratische Gleichung durch Ausklammern lösen:

f_0445

Beispiel:

Allgemeine Form der quadratischen Gleichung

f_0448

Für praktische Berechnungen empfiehlt es sich, diese Darstellung zu vereinfachen.
Dazu dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch a und erhalten die Normalform.

f_0449

Lösungsverfahren mit Hilfe der quadratischen Ergänzung

Beispiel:

f_0450

Jede quadratische Gleichung lässt sich mit der Methode der quadratischen Ergänzung lösen.

Bemerkung zur Ergänzung der Quadrates:
Man halbiert, quadriert, addiert und subtrahiert wieder den Koeffizient von x.
Unter Verwendung der 1. oder 2. binomischen Formel bildet man dann das Quadrat.

Beispiele für die p-q-Formel

Wendet man auf die Normalform der quadratischen Gleichung das Verfahren der quadratischen Ergänzung an, so gelangt man zu der sogenannten p-q-Formel:

f_0451

f_0452

Man sollte dabei zuerst die Diskriminante bestimmen, um Auskunft über die Anzahl der Lösungen zu bekommen.
Manchmal erspart man sich dadurch Rechenarbeit.

Beispiel:

Nullstellen von quadratischen Funktionen

Um die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu bestimmen, ist stets eine quadratische Gleichung zu lösen.
Hat diese zwei Lösungselemente, so schneidet der Graph der quadratischen Funktion die x – Achse an zwei Stellen.
Hat sie nur eine Lösung, so berührt der Graph die x – Achse an einer Stelle (mit ihrem Scheitelpunkt).
Ist kein Lösungselement vorhanden, so verläuft der Graph oberhalb oder unterhalb der x – Achse, es gibt keinen Schnittpunkt.

Parabelplotter Nach Eingabe der Koeffizienten der Funktionsgleichung, kann die Parabel gezeichnet werden.

Lösungskontrolle mit dem Wurzelsatz von Vieta:

Wie bei jeder Gleichung kann die Lösung dadurch kontrolliert werden, dass man die Lösungselemente in die Ursprungsgleichung einsetzt, also die Probe macht.
Mit dem Wurzelsatz von Vieta geht es jedoch auch einfacher:

f_0455