Achsenschnittpunkte, p-q-Formel und Linearfaktoren

Im letzten Beitrag haben wir gesehen, was eine quadratische Funktion und deren Formfaktor, Verschiebungen und Scheitelpunkt ist. Hier geht es nun um Achsenschnittpunkte, die p-q-Formel und Linearfaktoren.

Achsenschnittpunkte

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Bei der Betrachtung des Graphen in nebenstehender Abbildung fallen einige Punkte besonders auf.

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Schnittpunkt mit der y – Achse

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt Py.
Für jeden Punkt, der auf der y – Achse liegt, ist die x – Koordinate Null.

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In diesem Fall hätten wir die y-Koordinate auch direkt aus der Funktionsgleichung ablesen können. Das ist aber nicht immer möglich, wie folgendes Beispiel zeigt.

Beispiel:

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Schnittpunkt mit der x-Achse

Der Graph schneidet die x – Achse in den Punkten Px1 und Px2.
Für jeden Punkt, der auf der x – Achse liegt, ist die y – Koordinate Null.

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Trainingsaufgaben hierzu

Parabelanalysator  Interaktiv: Geben Sie die Koeffizienten ein und überprüfen Sie die Achsenschnittpunkte.


Bemerkungen zum Betrag

Jemand gewinnt 120 €, wir sagen auch er gewinnt einen Geldbetrag von 120 €.
Jemand bekommt einen Strafzettel über 120 €, wir sagen auch er hat einen Geldbetrag von 120 € zu zahlen.
In beiden Fällen handelt es sich um 120 €.
Finanztechnisch bedeutet der Gewinn ein Plus und die Strafe ein Minus.
Der Betrag einer Zahl ist jedoch mathematisch immer positiv.
Soll der Betrag einer Variablen bestimmt werden, so brauchen wir eine Rechenvorschrift.

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Beispiel:

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Zu weiteren Betrachtungen zeichnen wir den Graphen unserer Beispielfunktion.

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Es handelt sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel, deren Scheitel in den Punkt S ( 3 | – 4 ) verschoben wurde.
Der Schnittpunkt mit der y – Achse ist Py ( 0 | 5 )
Die Schnittpunkte mit der x – Achse sind Px1 ( 1 | 0 ) und Px2 ( 5 | 0 )
Die Schnittpunkte mit der x – Achse nennen wir Nullstellen der Funktion f(x), da dort gilt: f (1) = 0 und f (5) = 0.


Definitions- und Wertemenge

Oft will man den Verlauf eines Graphen nur in einem bestimmten Bereich betrachten.
Das führt zu den Begriffen Definitionsmenge und Wertemenge.

Unsere Beispielfunktion soll nur im Bereich der x – Werte von x = -1 bis x = +6 auf die dort auftretenden Funktionswerte untersucht werden.

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Die Angabe einer Wertemenge bezieht sich immer auf eine Definitionsmenge.
Zu weiteren Betrachtungen zeichnen wir den Graphen unserer Beispielfunktion.
Die nebenstehende Abbildung zeigt genau den Ausschnitt des Funktionsgraphen, der durch die Definitionsmenge vorgegeben wurde.

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Symmetriebetrachtungen

Die abgebildete Parabel ist symmetrisch zu der Achse, die parallel zur y – Achse durch den Scheitelpunkt verläuft.

Das gilt für alle Parabeln.
Die Gleichung der Symmetrieachse durch den Scheitel S( xs | ys ) lautet
x = xs hier x = 3.

Auch die Nullstellen sind symmetrisch zur Symmetrieachse. Das bedeutet, bei bekannten Nullstellen kann der x – Wert des Scheitels berechnet werden.

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Scheitelpunktberechnung über die Nullstellen

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Sind die Nullstellen einer quadratischen Funktion bekannt, so ist das arithmetische Mittel dieser die x -Koordinate des Scheitelpunktes.


Herleitung der p-q-Formel

Eine Möglichkeit der Nullstellenbestimmung einer Quadratischen Funktion geht über die Lösung einer quadratischen Gleichung mittels quadratischer Ergänzung. Man kann dafür auch eine Lösungsformel entwickeln.

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Die Nullstellen unserer Beispielfunktion sollen nun über die p-q-Formel berechnet werden.

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Diskriminante und Lösungsmenge

Quadratische Gleichungen sind nicht immer lösbar.

Beispiel:

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Hat die Diskriminante einen negativen Wert, so ist die quadratische Gleichung nicht lösbar, denn Wurzeln sind nur für positive Zahlen definiert.
Quadratische Gleichungen können auch nur eine Lösung besitzen.

Beispiel:

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Zusammenfassung

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Lösungsmenge und Funktionsgraph

Welche Bedeutung hat die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung auf den Verlauf des Funktionsgraphen einer quadratischen Funktion?
In den Beispielen hatten wir drei quadratische Gleichungen, mit jeweils zwei, keiner oder nur einer Lösung.
Wir zeichnen die dazugehörigen Funktionsgraphen.

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Zwei Nullstellen

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Eine Nullstelle

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Keine Nullstelle

Bei zwei Nullstellen schneidet der Funktionsgraph die x – Achse zweimal.
Bei einer Nullstelle berührt der Funktionsgraph die x – Achse mit dem Scheitel.
Liegt keine Nullstelle vor, so liegt der Scheitel einer nach oben geöffneten Parabel oberhalb der x – Achse, der Scheitel einer nach unten geöffneten Parabel unterhalb der x – Achse.

Nullstellenfinder  Interaktiv: Mit diesem JavaScript lassen sich Nullstellen von Polynomen bis 9. Grades bestimmen.
Der Funktionsgraph wird gezeichnet.

Parabelplotter  Inteaktiv: Überprüfen Sie obiges Ergebnis. Wählen Sie beim 3. Beispiel den Modus Überzeichnen.




Der Satz von Vieta

Satz:
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Beweis:

Der Beweis folgt durch direkte Rechnung:

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Dieser Satz ist ganz nützlich für die Ergebniskontrolle der Lösung einer quadratischen Gleichung.

Beispiel:

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Nullstellen und Linearfaktoren

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Eine quadratische Gleichung von der die Nullstellen bekannt sind, kann auch als Produkt von Linearfaktoren geschrieben werden.

Satz vom Nullprodukt:

Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist.

Für die quadratische Gleichung unserer Beispielfunktion bedeutet das:
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Nun können wir selber quadratische Funktionen mit vorgegebenen Nullstellen konstruieren:

Es soll eine quadratische Funktion mit den Nullstellen x1 = -2 und x2 = 3 entwickelt werden, die nach unten geöffnet ist und den Formfaktor ¾ besitzt.

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Parabelanalysator  Interaktiv: Geben Sie die Koeffizienten der Funktionsgleichung ein, danach analysiert das Javascript die Parabel und zeichnet sie.

Weitere Aufgaben befinden sich noch auf www.brinkmann-du.de, werden auch bald für mobile Endgräte optimert.

Im nächsten Beitrag geht es um Schnittpunkte von Parabel und Gerade.



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