Einführung in lineare Gleichungen

Einführung in lineare Gleichungen

In diesem Beitrag werde ich zuerst einige Beispiele linearer Gleichungen mit der Lösungsvariablen x vorstellen und alle Möglichkeiten für lineare Gleichungen aufzählen. Danach werde ich Beispiele für lineare Gleichung, bei der die Variable x auf beiden Seiten vorkommt und viele andere Varianten vorstellen.

In dem Beitrag Terme und binomische Formeln haben wir gesehen, was Terme sind: Ausdrücke, in denen Variable und/oder Zahlen mit Rechenzeichen verbunden werden. Wenn wir nun zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbinden, so entsteht eine Gleichung. Enthält die Gleichung die Variable x nur in der 1. Potenz, so spricht man von einer linearen Gleichung.

Beispiele linearer Gleichungen mit der Lösungsvariablen x

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Die dargestellten Gleichungstypen sind die, die auf Aufgabenseiten häufig vorkommen. Dazu eine kurze Beschreibung:
1. Einfache lineare Gleichung mit der Variablen x auf der linken Seite.
2. Einfache lineare Gleichung, bei der die Variable x auf beiden Seiten vorkommt.
3. Lineare Gleichung mit der Lösungsvariablen x und den Formvariablen m, n und a.
4. Einfache lineare Gleichung mit Brüchen und der Variablen auf der linken Seite.
5. Lineare Gleichung, mit Brüchen, bei der die Variable x auf beiden Seiten vorkommt.
6. Lineare Gleichung mit Klammerausdrücken.
7. Lineare Gleichung mit eckiger und runder Klammer (Zweifachklammerung).
8. Lineare Gleichung mit geschweifter, eckiger und runder Klammer (Dreifachklammerung).

Bevor lineare Gleichungen gelöst werden, ein paar wichtige Begriffe, die im Zusammenhang von linearen Gleichungen oft auftauchen.

Definition Lösungsmenge:

Die Lösungsmenge ( L ) enthält alle Werte, die für die Variable x eingesetzt werden dürfen. Normalerweise ist das bei linearen Gleichungen genau ein Wert. Dieser Wert wird der Grundmenge ( G ) entnommen.

Gleichungen lösen bedeutet somit „Bestimmen der Lösungsmengen“.

Definition Definitionsmenge:

Die Definitionsmenge ( D ) ist die Menge, für die die mathematischen Terme, die in der Gleichung vorkommen, definiert sind.

Definition Äquivalenzumformung:

Die Lösungsmenge einer linearen Gleichung findet man durch Äquivalenzumformung, das ist eine Umformung, die die Lösungsmenge einer Gleichung nicht verändert.

Erlaubt sind:

  • Auf beiden Seiten einer Gleichung die gleiche Zahl oder den gleichen Termzu addieren oder zu subtrahieren.
  • Beide Seiten einer Gleichung mit der gleichen Zahl, mit demselben Term zu multiplizieren oder durch die gleiche Zahl zu dividieren.

Nicht erlaubt ist:

  • Multiplikation mit Null, Division durch Null, sowie quadrieren beider Seiten.



1. Beispiel: Lineare Gleichung, bei der die Variable x auf beiden Seiten vorkommt:

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2. Beispiel: Lineare Gleichung mit Formvariablen:

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Die Variable u heißt Parameter oder Formvariable. Die Variable x ist die Lösungsvariable. Bestimmen Sie die Lösungsmenge in Abhängigkeit von u.

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Parameter oder auch Formvariable ist lediglich ein Platzhalter für jeweils ein beliebiges Element aus der Definitionsmenge.

3. Beispiel: Gleichung, mit Brüchen, bei der die Variable x auf beiden Seiten vorkommt.

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4. Beispiel: Lineare Gleichung mit Klammerausdrücken.

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5. Beispiel: Lineare Gleichung mit eckiger und runder Klammer (Zweifachklammerung):

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6. Beispiel: Lineare Gleichung mit geschweifter, eckiger und runder Klammer (Dreifachklammerung):

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Gleichungen können die Lösungsvariable auch im Nenner enthalten. Solche Gleichungen nennt man Bruchgleichungen. Sie lassen sich aber häufig durch Äquivalenzumformungen in linearen Gleichungen umformen.

7. Beispiel: Eine Bruchgleichung wird zur linearen Gleichung:

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Bei Bruchgleichungen ist die Definitionsmenge stets anzugeben.



Sonderfälle bei linearen Gleichungen:

In den meisten Fällen hat eine lineare Gleichung genau eine Lösung, wie in obigen Beispielen gezeigt. Es kann aber auch vorkommen, dass eine lineare Gleichung keine Lösung oder unendlich viele Lösungen hat.

8. Beispiel: Die lineare Gleichung hat keine Lösung:

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9. Beispiel: Die lineare Gleichung hat unendlich viele Lösungen:

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Schlussbemerkung:

Für Anfänger empfiehlt es sich bei der Lösung linearer Gleichungen in kleinen Schritten vorzugehen. Wer hingegen schon mehr Routine hat, kann auch mehrere Schritte zugleich vornehmen. An einem etwas aufwendigem Beispiel soll das gezeigt werden.

10. Aufwendiges Beispiel etwas kürzer:

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Hier finden Sie Aufgaben zu Linearen Gleichungen

und Aufgaben zu Lineare Gleichungen, Brüchen und Klammern.



Hier finden Sie eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Gleichungen, dort auch Links zu weiteren Aufgaben.

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