Lineare Gleichungen zu Sachaufgaben

Was sind Sachaufgaben?

Viele Problemstellungen aus dem täglichen Leben sowie aus der Wissenschaft bekommen wir nicht in Form von mathematischen Gleichungen, sondern als Text. Das Problem dabei ist zu mathematisieren. Dazu gibt es keine feste Regeln. Die Lösung solcher Aufgaben erfordert viel Übung und etwas Geschick. Hier ist logisches Denken die Voraussetzung dafür, den richtigen Ansatz zu finden.
Viele Problemstellungen im mathematischen Ansatz ähneln sich jedoch. Damit erleichtern sie das Aufstellen der entsprechenden Gleichungen.

Tipps zum Vorgehen in 6 Schritten:

1. Zuerst den Text gründlich lesen, falls möglich eine Skizze anfertigen.
2. Anschließend für die gesuchte Größe eine Variable anlegen.
3. Dazu ein Gleichung aufstellen, die den Sachverhalt beschreibt.
4. Danach die Gleichung mit entsprechenden Verfahren lösen.
5. Die Lösung durch Einsetzen in die Gleichung überprüfen.
6. Schließlich einen aussagekräftigen Antwortsatz schreiben.

1. Beispiel: Eine Zahl wird gesucht

Das Zehnfache einer Zahl vermindert um 10 ist gleich dem sechsfachen der Zahl vermehrt um 2.
Wie heißt die Zahl?

Ansatz:
Die gesuchte Zahl sei x, das Zehnfache davon ist 10x.
Vermindert um 10, mit anderen Worten 10 abziehen.
Vermehrt um zwei bedeutet zwei dazuzählen.
Mit diesem Ansatz lässt sich die Gleichung aufstellen.

10x - 10 = 6x + 2  | -6x \Leftrightarrow
\Leftrightarrow 4x - 10 = 2 |+10 \\ \Leftrightarrow 4 x = 12 | :4 \\ \Leftrightarrow x = 3 \Rightarrow L = {3}

Probe:
10 \cdot 3 - 10 = 6 \cdot 3 + 2
\Leftrightarrow 30 - 10 = 18 +2 \\ \Leftrightarrow 20 = 20 \quad (w)

Antwort:
Die gesuchte Zahl lautet also 3.

2. Beispiel: Altersbestimmung von Vater und Sohn

Ein Vater ist 38 Jahre alt, sein Sohn 11 Jahre.
Nach wie viel Jahren ist der Vater doppelt so alt wie der Sohn?
Ansatz:
Die Variable x ist die Anzahl der Jahre, bis der Vater doppelt so alt ist wie sein Sohn.
Dabei muss man berücksichtigen, dass der Sohn dann auch x Jahre älter geworden ist.
Das führt zu folgender Gleichung:

38 + x = 2 (11 + x)
\Leftrightarrow 38 + x = 22 + 2x | beide Seiten vertauschen
\Leftrightarrow 22 + 2x  = 38 + x | - x \\ \Leftrightarrow 22 + x  = 38 | -22 \\  \Leftrightarrow x = 16 \Rightarrow L = {16}

Probe:
38 + 16 = 2(11 + 16)
\Leftrightarrow 54 = 2 \cdot 27 \\ \Leftrightarrow 54 = 54 \quad (w)

Antwort:

Nach 16 Jahren ist der Vater also doppelt so alt wie der Sohn. (Vater 54 Jahre, Sohn 27 Jahre)

3. Beispiel: Streckenlänge einer Radtour

Ein Radfahrer fährt auf einer zweitägigen Radtour
am 1. Tag 1/5 der Strecke zuzüglich 60 km
am 2. Tag 1/4 der Strecke zuzüglich 50 km
aber an beiden Tagen gleich viel km.
Wie viel km muss der Radfahrer insgesamt zurücklegen?
Ansatz:
Die Variable x steht für die gesamte Strecke, die der Radfahrer in zwei Tagen zurücklegt.
Daraus folgt die Gleichung:

\frac {1}{5}x + 60 = \frac {1}{4}x + 50 | beide Seiten vertauschen
\Leftrightarrow \frac {1}{4}x + 50 = \frac {1}{5}x + 60 |- \frac {1}{5}x -50 \\ \Leftrightarrow \frac {1}{4}x - \frac {1}{5}x = 60 - 50 |
Brüche gleichnamig machen
\Leftrightarrow \frac {5}{20}x - \frac {4}{20}x = 10 \\ \Leftrightarrow \frac {1}{20}x = 10 | \cdot 20 \\  \Leftrightarrow x = 200 \Rightarrow L = {200}

Probe:
\frac {1}{5} \cdot 200 + 60 = \frac {1}{4} \cdot 200 + 50
\Leftrightarrow40 + 60 = 50 + 50 \\ \Leftrightarrow 100 = 100 \quad (w)

Antwort:
Insgesamt muss der Radfahrer folglich 200 km zurücklegen.

4. Beispiel: Leistung von Streufahrzeugen

Drei Streufahrzeuge A, B und C haben in einer Nacht 360 km Autobahn gestreut, A doppelt soviel wie B und C 40 km weniger als A.
Wie viel km Autobahn hat jedes Streufahrzeug abgestreut?

Ansatz:
Drei Streufahrzeuge A, B und C haben in einer Nacht 360 km Autobahn gestreut:
A + B + C = 360
B hat halb soviel gestreut wie A:
A = 2B
C hat 40 km weniger gestreut als A
C = A – 40 oder C = 2B – 40
Damit wird B als Variable gewählt und folgende Gleichung aufgestellt:

2B + B + 2B - 40 = 360
\Leftrightarrow 5B - 40 = 360 | + 40 \\  \Leftrightarrow 5B = 400 | : 5 \\  \Leftrightarrow B = 80 A = 2B \\  \Leftrightarrow A = 2 \cdot 80 = 160
C = A - 40  \Leftrightarrow C = 160 - 40 = 120

Probe:
2 \cdot 80 + 80 + 2 \cdot 80 - 40 = 360
\Leftrightarrow 160 + 80 + 160 - 40 = 360 \\ \Leftrightarrow 360 = 360 \quad (w)

Antwort:
Gestreut haben also: B = 80 km, A = 160 km, C = 120 km.
Bemerkung zur Wahl der Bezeichnung der Variablen.
In den meisten Fällen ist x die Unbekannte. Man darf aber auch andere Bezeichnungen, wie z. B. den Buchstaben B für die Variable wählen.

5. Beispiel: Länge einer Teilstrecke

Ein Radweg ist 4000 m lang. Er führt durch eine Kurve, auf einen Hügel und über eine Brücke. Der Hügel ist 28 mal so lang und die Kurve ist 11 mal so lang wie die Brücke.
Wie lang ist die Brücke?

Ansatz:
Die Variable x beschreibt die Länge der Brücke. Da sich alle Weglängen auf die Brücke beziehen, setzten sich die 4000 m aus 28 mal Brücke plus 11 mal Brücke plus 1 mal Brücke zusammen. Daraus ergibt sich die Gleichung:

11x +28x + x = 4000
\Leftrightarrow40x = 4000 | : 40
\Leftrightarrow x = 100

Probe:
10 \cdot 100 + 28 \cdot 100 + 100 = 4000
\Leftrightarrow 1100 + 2800 + 100 = 4000
\Leftrightarrow 4000 = 4000 \quad (w)

Antwort:
Die Brücke ist folglich 100 m lang.

6. Beispiel: Zwei Autos treffen sich

Zwei Oberstufenschüler fahren täglich mit ihren Autos vom gleichen Ort aus zum Berufskolleg.
A legt pro Stunde durchschnittlich 60 km zurück, B 45 km.
Wie viel Minuten nach Aufbruch von Schüler B werden sie sich treffen, wenn B fünf Minuten früher losfährt als A?

Ansatz:

Wenn beide Schüler am Treffpunkt ankommen, haben sie die gleiche Strecke s zurückgelegt. Die Strecke errechnet sich aus der Geschwindigkeit v multipliziert mit der Zeit t siehe hier. Die Zeit, die A unterwegs ist, benennen wir dann mit t, seine Geschwindigkeit mit v_A,die Geschwindigkeit von B v_B. Die 5 Minuten ( \frac{1 } {12} h) , die B länger unterwegs ist, benennen wir t₁. Daraus ergeben sich folgende Gleichungen:

Für Schüler A:   s = v_A \cdot t
Für Schüler B:   s = v_B \cdot t_1 + v_B \cdot t
\quad  \quad \quad  \quad t_B = t + t_1

Da beide die gleiche Strecke zurücklegen, können wir die Gleichungen zusammenstellen:

  v_A \cdot t = v_B \cdot t_1 + v_B \cdot t | - v_B \cdot t
\Leftrightarrow   v_A \cdot t - v_B \cdot t = v_B \cdot t_1 \\ \Leftrightarrow t(v_A - v_B) = v_B \cdot t_1 | : (v_A - v_B) \\ \Leftrightarrow t = \frac{ v_B \cdot t_1} {(v_A - v_B)}

\Leftrightarrow t =  \frac {45 \frac{km} {h} \cdot \frac {1}{12} h} { 60 \frac{km} {h} - 45 \frac{km} {h}} = \frac {\frac {45}{12} km} {15 \frac{km} {h}}  
= \frac {15}{4} km \cdot 15 \frac{h} {km} = \frac {1}{4} h = 15 \quad min
\Rightarrow L = \underline{\underline{15 \quad min}}

Für Schüler B: t_B = t + t_1  = 5 min + 15 min = 20 min.

Antwort:
Die Fahrzeit von Schüler A beträgt also 15 Minuten, die von Schüler B 20 Minuten, da er 5 Minuten früher losgefahren ist.

Man könnte auch \frac{km } {h} in \frac{km } {min} umrechnen, aber dadurch wird die Rechnung komplizierter.

7. Beispiel: Ein Wasserbehälter hat Zu- und Abfluss

Ein Wasserbehälter hat zwei Zuflussröhren A und B und eine Abflussröhre C.
A allein füllt den Behälter in 90 min, B allein in 60 min, und durch C allein kann der Behälter in 45 min entleert werden.
In welcher Zeit (Stunden) ist der Behälter gefüllt, wenn alle Rohre zur gleichen Zeit in Tätigkeit sind?

Ansatz:
A allein füllt den Behälter in \frac {1}{90} Minute.
B allein füllt den Behälter in \frac {1}{60} Minute.
C allein leert den Behälter in \frac {1}{45} Minute.
A + B – C füllen den Behälter in \frac {1}{90} + \frac {1}{60}  - \frac {1}{45} Minute.
A + B – C füllen in x Minuten den ganzen Behälter.
Mit der Variablen x wird die Gleichung aufgestellt:

(\frac {1}{90} + \frac {1}{60}  - \frac {1}{45})  x = 1
Zuerst müssen wir die drei Brüche auf den gleichen Nennen bringen:
\Leftrightarrow (\frac {2}{180} + \frac {3}{180}  - \frac {4}{180})  x = 1
\Leftrightarrow \frac {1}{180}x = 1 | \cdot 180 \\ \Leftrightarrow x = 180 \Rightarrow {180} L = {180}

Antwort:
Der Behälter wird folglich in 3 Stunden gefüllt.

8. Beispiel: Zwei Autos fahren sich entgegen

Zwei Wagen (Ferrari und BMW) starten gleichzeitig in Duisburg und Berlin und fahren einander entgegen. Der Ferrari fährt im Schnitt 160 km/h, der BMW 140 km/h. Die Entfernung Duisburg – Berlin beträgt 600 km.
Nach welcher Zeit begegnen sie sich?
Wie weit ist der Treffpunkt von Duisburg entfernt?
Ansatz:
Bei gleichzeitigem Start beider Wagen sind sie am Treffpunkt gleichlang unterwegs. Die Strecke errechnet sich aus der Geschwindigkeit v multipliziert mit der Zeit t siehe hier.
Der Ferrari hat die Strecke s_F = v_F mal t zurückgelegt.
Der BMW hat die Strecke s_B = v_B mal t zurückgelegt.
Die Addition beider Strecken ist die Entfernung Duisburg Berlin.

v_F \cdot t + v_B \cdot t = 600
\Leftrightarrow (v_F + v_B)  \cdot t = 600 | : (v_F + v_B) 
\Leftrightarrow t = \frac{600}{  (v_F + v_B)}  \\  \Leftrightarrow t = \frac {600}{(160 + 140)} = \frac {600}{300} = 2 \Rightarrow  L = {2}

s_F = v_F \cdot t = 160 \cdot 2 = 320
s_B = v_B \cdot t = 140 \cdot 2 = 280

Probe:
160 \cdot 2 + 140 \cdot 2 \Leftrightarrow  320 + 280 = 600

Antwort:
Nach 2 Stunden begegnen sich also die Fahrer. Der Ferrari ist dann 320 km von Duisburg und 280 km von Berlin entfernt.

9. Beispiel: Drei Kinder verputzen einen Schokoladenpudding

Beim Kindergeburtstag machen sich der 4 jährige Darius, die 10 jährige Luise und der 14 jährige Till gemeinsam über eine Schüssel Schokoladenpudding her.
Darius würde allein in 36 Minuten die Schüssel leeren können.
Luise würde allein in 18 Minuten die Schüssel leeren können.
Till würde allein in 6 Minuten die Schüssel leeren können.
Wie lange dauert es, bis die drei die Schüssel gemeinsam geleert haben?

Ansatz:
Alle drei zusammen brauchen x Minuten.
Dabei werden die Anteile wie folgt verteilt:

Darius braucht dabei   \frac {1}{36} x, Luise   \frac {1}{18} x und Till   \frac {1}{6} x . Damit können wir nun die Gleichung aufstellen:
\frac {1}{36} x + \frac {1}{18} x + \frac {1}{6} x = 1
Die bringen wir jetzt auf einen gemeinsamen Nennet:
\Leftrightarrow \frac {1}{36} x + \frac {2}{36} x + \frac {6}{36} x = 1[
\Leftrightarrow \frac {9}{36} = x | \cdot \frac {36}{9} \\  \Leftrightarrow x = 4 \Rightarrow L = {4} L = {4}

Antwort:
Folglich haben die drei Leckermäuler den Schokoladenpudding in 4 Minuten verputzt.

Hier findest du Aufgaben zu Linearen Gleichungen.

und hier Aufgaben zu Lineare Gleichungen, Brüchen und Klammern.

Hier Aufgaben Lineare Gleichungen mit Sach- und Textaufgaben.

Hier findest du eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Gleichungen, darin auch Links zu weiteren Aufgaben.