Übersicht über Terme und binomische Formeln
In diesem Beitrag erkläre ich kurz und knapp die wichtigen algebrarischen Begriffe Variable und Terme. Außerdem zeige ich, wie man Terme vereinfachen kann, was man beim Auflösen von Klammern beachten muss und wie man Summen multipliziert. Dafür gibt es mathematische Regeln: Kommutativ-, Assoziativ-, Distributivgesetz und die binomischen Formeln. In weiteren Beiträgen gibt es viele Aufgaben mit ausführlichen Lösungen.
Algebrarische Begriffe: Variable, Terme
Definition Variable:
In der Mathematik nennt man Buchstaben, die als Platzhalter für Zahlen benutzt werden, Variable.
Dabei kann man für diese Buchstaben je nach Situation verschiedene Zahlen einsetzen. Deshalb werden Variable auch Veränderliche genannt.
Definition Terme:
Ausdrücke, in denen Variable und/oder Zahlen mit Rechenzeichen verbunden werden, heißen Terme.
Der Wert eines Terms ergibt sich dann, wenn man für jede Variable eine Zahl einsetzt.
Beispiel für Terme:
Term: x+5
Variable: x
Wert des Terms bei z.B. x=2 : x+5=2+5=\underline{\underline{7}}
Term: x\cdot(x+y)
Variablen: x; y
Wert des Terms bei z.B. x=5 und y=1 : x\cdot(x+y)=5\cdot(5+1)=5\cdot6=\underline{\underline{30}}
Kommutativ-, Assoziativ-, Distributivgesetz
Kommutativgesetz
Der Addition a+b=b+a
Der Multiplikation a\cdot b=b\cdot a
Beispiel:
3+5=5+3=\underline{\underline{8}}
15\cdot 5 = 5\cdot 15=\underline{\underline{75}}
Assoziativgesetz:
Der Addition a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c
Der Multiplikation a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c=a\cdot b\cdot c
Beispiel:
1+(2+3)=(1+2)+3=1+2+3=\underline{\underline{6}}
3\cdot(2\cdot 4)=(3\cdot 2)\cdot 4=3\cdot 2\cdot 4=\underline{\underline{24}}
Distributivgesetz
a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c
Beispiel:
2\cdot(3+4)=2\cdot 3+2\cdot 4=6+8=\underline{\underline{14}}
(2+3)\cdot 4=2\cdot 4+3\cdot 4=8+12=\underline{\underline{20}}
Grundrechenarten in Termen
Summe von a und b a+b
Differenz von a und b a-b
Produkt 3\cdot x=x+x+x
Potenz x^3=x\cdot x\cdot x
Quotient (Bruch) \frac{a}{b}~~b\not=0
a : Zähler, b : Nenner
Kehrwert von a : \frac{1}{a}~~a\not=0
Zusammenfassung gleicher Variablen oder Zahlen
in Summen x+x+x+x=4\cdot x=\underline{\underline{4x}}
in Produkten x\cdot x\cdot x\cdot x=\underline{\underline{x^4}}
Beispiel:
2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^4=\underline{\underline{16}}
10\cdot 10\cdot 10\cdot=10^3=\underline{\underline{1000}}
x\cdot x\cdot x\cdot x^2=\underline{\underline{x^5}}
a\cdot a\cdot a\cdot b\cdot b=\underline{\underline{a^3\cdot b^2}}
Rechnen mit Summen und Differenzen
Gleichartige Summanden werden hierzu zusammengefasst.
Beachten Sie dabei die Rechenzeichen vor der Klammer!
Jedes Glied der Summe wird hierzu mit dem Faktor multipliziert.
Faktoren dürfen dabei vertauscht werden.
Auflösen von Klammern
Beispiel:
Vorzeichenregel bei Klammern
Auflösen von Klammern mit negativen Vorzeichen
Beispiel:
Termvereinfachung durch ausklammern
Man zerlegt hierzu alle Summanden in Faktoren.
Dann wird der größte gemeinsame Faktor ausgeklammert.
Beispiel:
Wird ein negativer Faktor ausgeklammert, so sind dabei die Vorzeichenregeln zu beachten.
Beispiele:
Ausklammern macht aus einer Summe ein Produkt, mit anderen Worten: dieser Vorgang wird faktorisieren.
Beispiele:
Summen multiplizieren
Summen ausmultiplizieren, anders ausgedrückt: jeden Summanden der einen Summe mit jedem Summanden der anderen Summe multiplizieren.
Beispiele:
Beispiel:
Binomische Formeln
Beispiele:
Die vier Grundrechenarten
Kopfrechenübungen der vier Grundrechenarten mit unterschiedlichen Schwierigkeitsgraden
Hier finden Sie Aufgaben Formeln umstellen
und hier eine Übersicht über alle Beiträge zu Mathematik Grundlagen, darin auch Links zu weiteren Aufgaben.
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