Übersicht über Terme und binomische Formeln

In diesem Beitrag erkläre ich kurz und knapp die wichtigen algebrarischen Begriffe Variable und Terme. Außerdem zeige ich, wie man Terme vereinfachen kann, was man beim Auflösen von Klammern beachten muss und wie man Summen multipliziert. Dafür gibt es mathematische Regeln: Kommutativ-, Assoziativ-, Distributivgesetz und die binomischen Formeln. In weiteren Beiträgen gibt es viele Aufgaben mit ausführlichen Lösungen.

Algebrarische Begriffe: Variable, Terme

Definition Variable:

In der Mathematik nennt man Buchstaben, die als Platzhalter für Zahlen benutzt werden, Variable.
Dabei kann man für diese Buchstaben je nach Situation verschiedene Zahlen einsetzen. Deshalb werden Variable auch Veränderliche genannt.

Definition Terme:

Ausdrücke, in denen Variable und/oder Zahlen mit Rechenzeichen verbunden werden, heißen Terme.
Der Wert eines Terms ergibt sich dann, wenn man für jede Variable eine Zahl einsetzt.

Beispiel für Terme:

Term: $x+5$
Variable: $x$
Wert des Terms bei z.B. $x=2$ : $x+5=2+5=\underline{\underline{7}}$

Term: $x\cdot(x+y)$
Variablen: $x; y$
Wert des Terms bei z.B. $x=5$ und $y=1$ : $x\cdot(x+y)=5\cdot(5+1)=5\cdot6=\underline{\underline{30}}$

Kommutativ-, Assoziativ-, Distributivgesetz

Kommutativgesetz

Der Addition $a+b=b+a$

Der Multiplikation $a\cdot b=b\cdot a$

Beispiel:

$3+5=5+3=\underline{\underline{8}}$
$15\cdot 5 = 5\cdot 15=\underline{\underline{75}}$

Assoziativgesetz:

Der Addition $a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c$

Der Multiplikation $a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c=a\cdot b\cdot c$

Beispiel:

$1+(2+3)=(1+2)+3=1+2+3=\underline{\underline{6}}$
$3\cdot(2\cdot 4)=(3\cdot 2)\cdot 4=3\cdot 2\cdot 4=\underline{\underline{24}}$

Distributivgesetz

 $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ 

 $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

Beispiel:

$2\cdot(3+4)=2\cdot 3+2\cdot 4=6+8=\underline{\underline{14}}$
$(2+3)\cdot 4=2\cdot 4+3\cdot 4=8+12=\underline{\underline{20}}$

Grundrechenarten in Termen

Summe von a und b $a+b$

Differenz von a und b $a-b$

Produkt $3\cdot x=x+x+x$

Potenz $x^3=x\cdot x\cdot x$

Quotient (Bruch) $\frac{a}{b}~~b\not=0$
$a$ : Zähler, $b$ : Nenner

Kehrwert von $a$ : $\frac{1}{a}~~a\not=0$

Zusammenfassung gleicher Variablen oder Zahlen

in Summen $x+x+x+x=4\cdot x=\underline{\underline{4x}}$
in Produkten $x\cdot x\cdot x\cdot x=\underline{\underline{x^4}}$

Beispiel:

$2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^4=\underline{\underline{16}}$
$10\cdot 10\cdot 10\cdot=10^3=\underline{\underline{1000}}$
$x\cdot x\cdot x\cdot x^2=\underline{\underline{x^5}}$
$a\cdot a\cdot a\cdot b\cdot b=\underline{\underline{a^3\cdot b^2}}$