Der Gauß-Algorithmus
In diesem Beitrag stelle ich die Regeln des Gauß-Algorithmus vor. Danach erkläre ich mit einfachen Worten ein paar Tipps für blutige Anfänger. Schließlich zeige ich dies anhand anschaulicher Beispiele. In einem weiteren Beitrag finden Sie Übungsaufgaben.
Der Algorithmus von Gauß ist das universelle Verfahren zur Lösung beliebiger linearer Gleichungssysteme.
Regeln des Gauß-Algorithmus
Dabei wird zeilenweise gearbeitet. Zeilen darf man:
– vertauschen
– mit einer Zahl multiplizieren
– durch eine Zahl dividieren
– addieren
– subtrahieren
Spalten dürfen ebenfalls vertauscht werden, wenn die Variable xi mitgenommen wird
Beispiel Gauß-Algorithmus:
Das Sternchen * bedeutet dabei irgendeine Zahl.
Tipps für blutige Anfänger des Gauß-Algorithmus:
Der Gauß-Algorithmus ist nicht einfach, deshalb gebe ich hier ein paar Hinweise. Die Vorgehensweise kann dabei in einzelne kleine Schritte zerlegt werden:
- Man kann Brüche vermeiden durch zeilenweise Multiplikation mit dem Hauptnenner.
- Die erste Zahl in der ersten Zeile soll positiv sein (ev. mit -1 multiplizieren).
- Sorgen Sie durch Multiplikation oder Division dafür, dass in der ersten Spalte alle Zahlen den gleichen Betrag haben. In Zeile 2 und 3 sollte die erste Zahl jedoch negativ sein.
- Addieren Sie zur 2. und zur 3. Zeile jeweils die erste. Dadurch entstehen in der ersten Spalte 2 Nullen.
- Die zweite Zahl in der 2. Zeile soll positiv sein, dies können Sie eventuell erreichen, indem Sie mit -1 multiplizieren.
- Sorgen Sie durch Multiplikation oder Division dafür, dass ab der 2. Zeile in der zweiten Spalte alle Zahlen den gleichen Betrag haben. In Zeile 3 sollte die zweite Zahl jedoch negativ sein.
- Addieren Sie zur 3. Zeile die 2. Zeile. Dadurch entsteht in der 3. Zeile die 2. Null.
- Ermittlung der Lösung durch Rückwärts einsetzen.
Die gleiche Vorgehensweise kann man ebenfalls auf Systeme mit mehr als drei Gleichungen übertragen.
Die Umformungen kann man auch anders durchführen. Das „wie“ ist hierbei ganz dem Geschick des Mathematikers überlassen. Durch intensive Übung gelangt man schließlich zu einem optimalen Weg. Brüche sollte man dabei möglichst vermeiden, um keine unnötigen Fehler zu riskieren. Wer fit ist, kann auch mehrere Umformungen gleichzeitig machen, dadurch ist weniger zu schreiben, die Fehlerquote steigt aber.
Beispiel 1: (leicht)
(mittelschwer) Beispiel 2:
Beispiel 3: (schwer)
Anwendungsbeispiele
Schließlich zeige ich hie die Anwendung des Gauß-Algorithmus zur Berechnung der Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion, von der 4 Punkte bekannt sind.
Anwendungsbeispiel 1:
Beispiel 2:
Beispiel 3:
Anwendungsbeispiel 4:
Beispiel 5:
Anwendungsbeispiel 6:
Beispiel 7:
Anwendungsbeispiel 8:
Beispiel 9:
Anwendungsbeispiel 10:
Aufgaben:
Führen Sie zur Ergebniskontrolle die Probe durch!
Weitere Aufgaben auch hier: Aufgaben Differential- und Integralrechnung I.
