Der Gauß-Algorithmus

In diesem Beitrag stelle ich die Regeln des Gauß-Algorithmus vor. Danach erkläre ich mit einfachen Worten ein paar Tipps für blutige Anfänger. Schließlich zeige ich dies anhand anschaulicher Beispiele. In einem weiteren Beitrag finden Sie Übungsaufgaben.

Der Algorithmus von Gauß ist das universelle Verfahren zur Lösung beliebiger linearer Gleichungssysteme.

Regeln des Gauß-Algorithmus

Dabei wird zeilenweise gearbeitet. Zeilen darf man:
– vertauschen
– mit einer Zahl multiplizieren
– durch eine Zahl dividieren
– addieren
– subtrahieren

Spalten dürfen ebenfalls vertauscht werden, wenn die Variable x_i mitgenommen wird

Beispiel Gauß-Algorithmus:

7x_1 + 3x_2 - 5x_3 = -12
-x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 5
-4x_1 + x_2 -3x_3 = 1

Drei Gleichungen mit drei Variablen

Rechenschema:

 \begin{array}{ccc |c}x_1 & x_2 & x_3 & \\ \hline \\ 7 & 3 & -5 & -12 \\ -1 & -2 & 4 & 5 \\ -4 & 1 & -3 & 1 \end{array}

Die Umformung soll ergeben:

 \begin{array}{ccc|c}x_1 & x_2 & x_3 & \\ \hline \\ * & * & * & * \\ 0 & * & * & * \\ 0 & 0 & * & * \end{array} 

Das Sternchen * bedeutet dabei irgendeine Zahl.

 \begin{array}{ccc|cc}x_1 & x_2 & x_3 &   &   \\ \hline \\ 7 & 3 & -5 & -12 & | \cdot 4 \\ -1 & -2 & 4 & 5 & | \cdot 28 \\ -4 & 1 & -3 & 1 & | \cdot 7 \\ \hline \\ 28 & 12 & -20 & -48 & \\ -28 & -56 & 112 & 140 & II + I \\ -28 & 7 & -21 & 7 & III + 1 \\ \hline \\ 28 & 12 & -20 & -48 & | : 4 \\ 0 & -44 & 92 & 92 & | :4 \\ 0 & 19 & -41 & -41 & \\ \hline \\ 7 & 3 & -5 & -12 & \\ 0 & -11 & 23 & 23 & | \cdot 19 \\ 0 & 19 & -41 & -41 & | \cdot 11 \\ \hline \\ 7 & 3 & -5 & -12 & \\ 0 & -209 & 437 & 437 & | :19 \\ 0 & 209 & -451 & -451 & III + II \\ \hline \\ 7 & 3 & -5 & -12 & \\ 0 & -11 & 23 & 23 & \\ 0 & 0 & -14 & -14 & \\ \hline \end{array} 

 

Ermittlung der Lösung durch Rückwärtseinsetzen:

-14x_3 = -14
\Leftrightarrow \underline{\underline{ x_3 = 1 }}

-11x_2 + 23 \cdot 1 = 23
\Leftrightarrow -11x_2 = 0
\Leftrightarrow \underline{\underline{x_2 = 0 }}

7x_1 + 3 \cdot 0 - 5 \cdot 1 = -12
\Leftrightarrow 7x_1 = -7
\Leftrightarrow \underline{\underline{x_1 = -1 }}

 L = \{ -1; 0; 1 \} 

Probe:
7 \cdot (-1) + 3 \cdot 0 -5 \cdot 1 = -12 \, (w)
-1 \cdot (-1) - 2 \cdot 0 + 4 \cdot 1 = 5 \, (w)
-4 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 - 3 \cdot 1 = 1 \, (w)

 

Tipps für blutige Anfänger des Gauß-Algorithmus:

Der Gauß-Algorithmus ist nicht einfach, deshalb gebe ich hier ein paar Hinweise. Die Vorgehensweise kann dabei in einzelne kleine Schritte zerlegt werden:

1. Man kann Brüche vermeiden durch zeilenweise Multiplikation mit dem Hauptnenner.
2. Die erste Zahl in der ersten Zeile soll positiv sein (ev. mit -1 multiplizieren).
3. Sorgen Sie durch Multiplikation oder Division dafür, dass in der ersten Spalte alle Zahlen den gleichen Betrag haben. In Zeile 2 und 3 sollte die erste Zahl jedoch negativ sein.
4. Addieren Sie zur 2. und zur 3. Zeile jeweils die erste. Dadurch entstehen in der ersten Spalte 2 Nullen.
5. Die zweite Zahl in der 2. Zeile soll positiv sein, dies können Sie eventuell erreichen, indem Sie mit -1 multiplizieren.
6. Sorgen Sie durch Multiplikation oder Division dafür, dass ab der 2. Zeile in der zweiten Spalte alle Zahlen den gleichen Betrag haben. In Zeile 3 sollte die zweite Zahl jedoch negativ sein.
7. Addieren Sie zur 3. Zeile die 2. Zeile. Dadurch entsteht in der 3. Zeile die 2. Null.
8. Ermittlung der Lösung durch Rückwärts einsetzen.

Die gleiche Vorgehensweise kann man ebenfalls auf Systeme mit mehr als drei Gleichungen übertragen.

Die Umformungen kann man auch anders durchführen. Das „wie“ ist hierbei ganz dem Geschick des Mathematikers überlassen. Durch intensive Übung gelangt man schließlich zu einem optimalen Weg. Brüche sollte man dabei möglichst vermeiden, um keine unnötigen Fehler zu riskieren. Wer fit ist, kann auch mehrere Umformungen gleichzeitig machen, dadurch ist weniger zu schreiben, die Fehlerquote steigt aber.

tausche: \rightleftarrows

 \begin{array}{ccc|ccc}x_1 & x_2 & x_3 & & & \\ \hline \\ 7 & 3 & -5 & -12 & & \\ -1 & -2 & 4 & 5 & | \cdot (-1) & I \rightleftarrows II \\ -4 & 1 & -3 & 1 & & \\ \hline \\ 1 & 2 & -4 & -5 & & \\ 7 & 3 & -5 & -12 & & II -7 \cdot I \\ -4 & 1 & -3 & 1 & & III + 4 \cdot I \\ \hline \\ 1 & 2 & -4 & 5 & & \\ 0 & -11 & 23 & 23 & & | \cdot 9 \\ 0 & 9 & -19 & -19 & & | \cdot 11 \\ \hline \\ 1 & 2 & -4 & -5 & &  \\ 0 & -99 & 207 & 207 & & | :9 \\ 0 & 99 & -209 & -209 & & III + II \\ \hline \\ 1 & 2 & -4 & 5 & & \\ 0 & -11 & 23 & 23 & & \\ 0 & 0 & -2 & -2 & & \\ \hline \end{array} 

Ermittlung der Lösung durch Rückwärtseinsetzen:

-2x_3 = -2
\Leftrightarrow \underline{\underline{x_3 = 1}}

-11x_2 + 23 \cdot 1 = 23
\Leftrightarrow -11y = 0
\Leftrightarrow \underline{\underline{x_2 = 0}}

x_1 + 2 \cdot 0 - 4 \cdot 1 = -5
\Leftrightarrow x_1 = -7
\Leftrightarrow \underline{\underline{x_1 = -1}}

 L = \{-1; 0; 1\} 

Probe:
7 \cdot (-1) + 3 \cdot 0 - 5 \cdot 1 = -12
-1 \cdot (-1) - 2 \cdot 0 + 4 \cdot 1 = 5
-4 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 - 3 \cdot 1 = 1

 

Beispiel 1:
(leicht)

2x_1 - 3x_2 +4x_3 = 8
3x_1 +4x_2 - 5x_3 = -4
4x_1 -6x_2 + 3x_3 = 1

 \begin{array}{ccc|ccc} x_1 & x_2 & x_3 & & & \\ \hline \\ 2 & -3 & 4 & 8 & & | \cdot 6 \\ 3 & 4 & -5 & -4 & & | \cdot 4 \\ 4 & -6 & 3 & 1 & & | \cdot 3 \\ \hline \\ 12 & -18 & 24 & 48 & & | :6 \\ 12 & 16 & -20 & -16 & & II - I \\ 12 & -18 & 9 & 3 & & III - I \\ \hline \\ 2 & -3 & 4 & 8 & & \\ 0 & 34 & -44 & -64 & & \\ 0 & 0 & -15 & -45 & & \\ \hline \end{array} 

 

Ermittlung der Lösung durch Rückwärtseinsetzen:

-15x_3 = -45
\Leftrightarrow \underline{\underline{x_3 = 3}}

34x_2 - 44 \cdot 3 = -64
\Leftrightarrow 34x_2 = 68
\Leftrightarrow \underline{\underline{x_2 = 2}}

2x_1 - 3 \cdot 2 + 4\cdot 3 = 8
\Leftrightarrow 2x_1 = 2
\Leftrightarrow \underline{\underline{x_1 = 1}}

Probe:
2 \cdot 1 - 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 = 8 (w)
3 \cdot 1 - 4 \cdot 2 - 5 \cdot 3 = -4 (w)
4 \cdot 1 - 6 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 1 (w)

 

Beispiel 2:
(mittelschwer)

3x_1 + 2x_2 - 4x_3 = -2
4x_1 - 5x_2 + 3x_3 = 9
8x_1 + 7x_2 - 9x_3 = 13

 \begin{array}{ccc|ccc} x_1 & x_2 & x_3 & & & \\ \hline \\ 3 & 2 & -4 & -2 & & | \cdot 8 \\ 4 & -5 & 3 & 9 & & | \cdot 6 \\ 8 & 7 & -9 & 13 & & | \cdot 3 \\ \hline \\ 24 & 16 & -32 & -16 & & | :8 \\ 24 & -30 & 13 & 54 & & II - I \\ 24 & 21 & -27 & 39 & & III - I \\ \hline \\ 3 & 2 & -4 & -2 & & \\ 0 & -46 & 50 & 70 & | :2 & II \rightleftarrows III \\ 0 & 5 & 5 & 55 & & | :5 \\ \hline \\ 3 & 2 & -4 & -2 & & \\ 0 & 1 & 1 & 11 & & | \cdot 23 \\ 0 & -23 & 25 & 35 & & \\ \hline \\ 3 & 2 & -4 & -2 & & \\ 0 & 23 & 23 & 253 & & | :23 \\ 0 & -23 & 25 & 35 & & III + II \\ \hline \\ 3 & 2 & -4 & -2 & & \\ 0 & 1 & 1 & 11 & & \\ 0 & 0 & 48 & 288 & & \\ \hline \end{array} 

Ermittlung der Lösung durch Rückwärtseinsetzen:

48x_3 = 288
\Leftrightarrow \underline{\underline{x_3 = 6}}

x_2 + 1 \cdot 6 = 11
\Leftrightarrow \underline{\underline{x_2 = 5}}

3x_1 + 2 \cdot 5 - 4 \cdot 6 = -2
\Leftrightarrow 3x_1 = 12
\Leftrightarrow \underline{\underline{x_1 = 4}}

 L = \{4; 5; 6\} 

Probe:
3 \cdot 4 + 2 \cdot 5 - 4 \cdot 6 = -2 (w)
4 \cdot 4 - 5 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 9 (w)
8 \cdot 4 + 7 \cdot 5 - 9 \cdot 6 = 13 (w)

 

Beispiel 3:
(schwer)

\frac{1}{2}x_1  - \frac{4}{5}x_2 + \frac{3}{8}x_3 = 4
\frac{3}{4}x_1 + \frac{3}{8}x_2 + \frac{1}{5}x_3 = 23
\frac{4}{5}x_1 - \frac{1}{2}x_2 + \frac{1}{4}x_3 = 8

 \begin{array}{ccc|ccc} x_1 & x_2 & x_3 & & \\ \hline \\ \frac{1}{2} & - \frac{4}{5} & \frac{3}{8} & 4 & & | \cdot 40 \\ \frac{3}{4} & \frac{3}{8} & \frac{1}{5} & 23 & & | \cdot 40 \\ \frac{4}{5} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 8 & & | \cdot 20 \\ \hline \\ 20 & -32 & 15 & 160 & & | \cdot 12 \\ 30 & 15 & 8 & 920 & & \cdot 8 \\ 16 & -10 & 5 & 160 & & | \cdot 15 \\ \hline \\ 240 & -384 & 180 & 1920 & & | : 12 \\ 240 & 120 & 64 & 7360 & & II - I \\ 240 & -150 & 75 & 2400 & & III - I \\ \hline \\ 20 & -32 & 15 & 160 & & \\ 0 & 504 & -116 & 5440 & & | :4 \\ 0 & 234 & -105 & 480 & & | :3 \\ \hline \\ 20 & -32 & 15 & 160 & & \\ 0 & 126 & -29 & 1360 & & | \cdot 13 \\ 0 & 78 & -35 & 160 & & | \cdot 21 \\ \hline \\ 20 & -32 & 15 & 160 & & \\ 0 & 1638 & -377 & 17680 & & | :13 \\ 0 & 1630 & -735 & 3360 & & III - II \\ \hline \\ 20 & -32 & 15 & 160 & & \\ 0 & 126 & -29 & 1360 & & \\ 0 & 0 & -358 & -14320 & & \\ \hline \end{array} 

Ermittlung der Lösung durch Rückwärtseinsetzen:

-358x_3 = 14320
\Leftrightarrow \underline{\underline{x_3 = 40}}

126x_2 - 29 \cdot 40 = 1360
\Leftrightarrow 126x_2 = 2520
\Leftrightarrow \underline{\underline{x_2 = 20}}

20x_1 - 32 \cdot 20 + 15 \cdot 40 = 160
\Leftrightarrow 20x_1 = 200
\Leftrightarrow \underline{\underline{x_1 = 10}}

 L = \{10; 20; 40\} 

Probe:
\frac{1}{2} \cdot 10 - \frac{4}{5} \cdot 20 + \frac{3}{8} \cdot 40 = 40
\Leftrightarrow 5 - 16 + 15 = 4 (w)
\frac{3}{4} \cdot 10 + \frac{3}{8} \cdot 20 + \frac{1}{5} \cdot 40 = 23
\Leftrightarrow \frac{15}{2} + \frac{15}{2} + 8 = 23 (w)
\frac{4}{5} \cdot 10 - \frac{1}{2} \cdot 20 \frac{1}{4} \cdot 40 = 8
\Leftrightarrow 8 - 10 + 10 = 8 (w)

 

---

Anwendungsbeispiele

Schließlich zeige ich hie die Anwendung des Gauß-Algorithmus zur Berechnung der Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion, von der 4 Punkte bekannt sind.

Anwendungsbeispiel 1:

 f(x) = a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 

P_1(1|4) \Rightarrow f(1) = 1a_3 + 1a_2 + 1a_1 + 1a_0 = 4
P_2(2|2) \Rightarrow f(2) = 8a_3 + 4a_2 + 2a_1 +1a_0 = 2
P_3(4|4) \Rightarrow f(4) = 64a_3 +16a_2 + 4a_1 + 1a_0 = 4
P_4(5|20) \Rightarrow f(5) = 125a_3 +25a_2 +5a_1 + 1a_0 = 20

 \begin{array}{cccc|ccc} a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & & & \\ \hline \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 4 & & \\ 1 & 2 & 4 & 8 & 2 & & II -I \\ 1 & 4 & 16 & 64 & 4 & & III - I \\ 1 & 5 & 25 & 125 & 20 & & IV - I \\ \hline \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 4 & & \\ 0 & 1 & 3 & 7 & -2 & & \\ 0 & 3 & 15 & 63 & 0 & & III - 3 \cdot II \\ 0 & 4 & 24 & 124 & 16 & & IV - 4 \cdot II \\ \hline \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 4 & & \\ 0 & 1 & 3 & 7 & -2 & & \\ 0 & 0 & 6 & 42 & 6 & & \\ 0 & 0 & 12 & 96 & 24 & & IV - 2 \cdot III \\ \hline \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 4 & & \\ 0 & 1 & 3 & 7 & -2 & & \\ 0 & 0 & 6 & 42 & 6 & & \\ 0 & 0 & 0 & 12 & 12 & & \\ \hline \end{array} 

 

 12a_3 = 12 \Leftrightarrow \underline{\underline{a_3 = 1}} 

6a_2 + 42a_3 = 6
\Leftrightarrow 6a_2 + 42 = 6 \, \, | -42
\Leftrightarrow 6a_2 = -36 \, \, | :6
\Leftrightarrow \underline{\underline{a_2 = -6}}

1_1 + 3a_2 + 7a_3 = -2
\Leftrightarrow a_1 - 18 + 7 = -2
\Leftrightarrow a_1 - 11 = -2 \, \, | +11
\Leftrightarrow \underline{\underline{a_1 = 9}}

a_0 + a_1 + a_2 + a_3 = 4
\Leftrightarrow a_0 + 9 - 6 + 1 = 4
\Leftrightarrow a_0 + 4 = 4 \, \, | -4
\Leftrightarrow \underline{\underline{a_0 = 0}}

 \underline{\underline{f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x}} 

 

Beispiel 2:

 f(x) = a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 

P_1(1 | \frac{11}{2}) \Rightarrow f(1) = 1a_3 +1a_2 + 1a_1 + 1a_0 = -\frac{11}{2}
P_2(-1 | \frac{9}{2}) \Rightarrow f(-1) = -1a_3 + 1a_2 - 1a_1 + 1a_0 = \frac{9}{2}
P_3(-2 | 8) \Rightarrow f(-2) = -8a_3 + 4a_2 - 2a_1 + 1a_0 = 8
P_4(-3| \frac{5}{2}) \Rightarrow f(-3) = -27a_3 + 9a_2 -3a_1 + 1a_0 = \frac{5}{2}

 \begin{array}{cccc|ccc} a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & & & \\ \hline \\ 1 & 1 & 1 & 1 & - \frac{11}{2} & & | \cdot 2 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & \frac{9}{2} & & | \cdot 2 \\ 1 & -2 & 4 & -8 & 8 & & | \cdot 2 \\ 1 & -3 & 9 & -27 & \frac{5}{2} & & | \cdot 2 \\ \hline \\ 2 & 2 & 2 & 2 & -11 & & \\ 2 & -2 & 2 & -2 & 9 & & II - I \\ 2 & -4 & 8 & -16 & 16 & & III - I \\  2 & -6 & 18 & -54 & 5 & & IV - I \\ \hline \\ 2 & 2 & 2 & 2 & -11 & & \\ 0 & -4 & 0 & -4 & 20 & & | :(-2) \\ 0 & -6 & 6 & -18 & 27 & & | :3 \\ 0 & -8 & 16 & -56 & 16 & & | :4 \\ \hline \\2 & 2 & 2 & 2 & -11 & & \\ 0 & 2 & 0 & 2 & -10 & & \\ 0 & -2 & 2 & -6 & 9 & & III + II \\ 0 & -2 & 4 & -14 & 4 & & IV + II \\ \hline \\ 2 & 2 & 2 & 2 & -11 & & \\ 0 & 2 & 0 & 2 & -10 & & \\ 0 & 0 & 2 & -4 & -1 & & \\ 0 & 0 & 4 & -12 & -6 & & IV - 2 \cdot III \\ \hline \\ 2 & 2 & 2 & 2 & -11 & & \\ 0 & 2 & 0 & 2 &  -10 & & \\ 0 & 0 & 2 & -4 & -1 & & \\ 0 & 0 & 0 & -4 & -4 & & \\ \hline \end{array} 

 -4a_3 = - 4 \Leftrightarrow \underline{\underline{a_3 = 1}} 

2a_2 - 4a_3 = -1
\Leftrightarrow 2a_2 - 4 = -1 \, \, | +4
\Leftrightarrow 2a_2 = 3 \, \, | :2
\Leftrightarrow \underline{\underline{a_2 = \frac{3}{2}}}

2a_1 + 2a_3 = -10
  \Leftrightarrow 2a_1 + 2 = -10 \, \, | -2
\Leftrightarrow 2a_1 = -12 \, \, | :2
\Leftrightarrow \underline{\underline{a_1 = -6}}

2a_0 + 2a_1 + 2a_2 + 2a_3 = -11
\Leftrightarrow 2a_0 - 12 + 3 + 2 = -11
\Leftrightarrow 2a_0 - 7 = - 11 \, \, | +7
\Leftrightarrow 2a_0 = -4 \, \, | :2
\Leftrightarrow \underline{\underline{a_0 = -2}}

 \underline{\underline{f(x) = x^3 + \frac{3}{2}x^2 -6x - 2}} 

Beispiel 3:

 f(x) = a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 

P_1(-1 | -16) \Rightarrow f(-1) = -1a_3 + 1a_2 - 1a_1 + 1a_0 = -16
P_2(2 | 11) \Rightarrow f(2) = 8a_3 + 4a_2 + 2a_1 + 1a_0 = 11
P_3(4 | -11) \Rightarrow f(4) = 64a_3 + 16a_2 + 2a_1 + 1a_0 = -11
P_4(6 | -9) \Rightarrow f(6) = 216a_3 + 36a_2 + 5a_1 + 1a_0 = -9

 \begin{array}{cccc|ccc} a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & & & \\ \hline \\ 1 & -1 & 1 & -1 & -16 && \\ 1 & 2 & 4 & 8 & 1 & & II - I \\ 1 & 4 & 16 & 64 & -11 & & III - I \\ 1 & 6 & 36 & 216 & -9 & & IV - I \\ \hline \\ 1 & -1 & 1 & -1 & -16 & & \\ 0 & 3 & 3 & 9 & 27 & & | :3 \\ 0 & 5 & 15 & 65 & 5 & & | :5 \\ 0 & 7 & 35 & 217 & 7 & & | :7 \\ \hline \\ 1 & -1 & 1 & -1 & -16 & & \\ 0 & 1 & 1 & 3 & 9 & & \\ 0 & 1 & 3 & 13 & 1 & & III - II \\ 0 & 1 & 5 & 31 & 1 & & IV - II \\ \hline \\ 1 & -1 & 1 & -1 & -16 & & \\ 0 & 1 & 1 & 3 & 9 & & \\ 0 & 0 & 2 & 10 & -8 & & \\ 0 & 0 & 4 & 28 & -8 & & IV - 2 \cdot III \\ \hline \\ 1 & -1 & 1 & -1 & -16 & & \\ 0 & 1 & 1 & 3 & 9 & & \\ 0 & 0 & 2 & 10 & -8 & & \\ 0 & 0 & 0 & 8 & 8 & & \\ \hline \end{array} 

 

 8a_3 = 8 \Leftrightarrow \underline{\underline{a_3 = 1}} 

2a_2 + 10a_3 = -8
\Leftrightarrow 2a_2 + 10 = -8 \, \, | -10
2a_2 = -18 \, \, : 2
\Leftrightarrow \underline{\underline{a_2 = -9}}

a_1 + a_2 + 3a_3 = 9
\Leftrightarrow a_1 - 9 + 3 = 9
\Leftrightarrow a_1 - 6 = 9 \, \, | +6
\Leftrightarrow \underline{\underline{a_1 = 15}}

a_0 - a_1 + a_2 - a_3 = -16
\Leftrightarrow a_0 - 15 - 9 - 1 = -16
\Leftrightarrow a_0 - 25 = -16 \, \, | +25
\Leftrightarrow \underline{\underline{a_0 = 9}}

 \underline{\underline{f(x) = x^3 - 9x^2 +15x +9}} 

Anwendungsbeispiel 4:

f(x) = a_3x^3 + a_2x^2 +a_1x + a_0
P_1(-1 | 7) \Rightarrow f(-1) = -1a_3 + 1a_2 -1a_1 + 1a_0 = 7
P_2(-2 | 6) \Rightarrow f(-2) = -8a_3 + 4a_2 - 2a_1 + 1a_0 = 6
P_3(3 | 1) \Rightarrow f(3) = 27a_3 + 9a_2 + 3a_1 + 1a_0 = 1
P_4(-3 | -2) \Rightarrow f(-3) = -27a_3 + 9a_2 - 3a_1 + 1a_0 = -2

 \begin{array}{cccc|ccc} a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & & & \\ \hline \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 7 & & \\ 1 & -2 & 4 & -8 & 6 & & II - I \\ 1 & 3 & 9 & 27 & 1 & & III - I \\ 1 & -3 & 9 & -27 & -2 & & IV - I \\ \hline \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 7 & & \\ 0 & -1 & 3 & -7 & -1 & & \\ 0 & 4 & 8 & 28 & -6 & & III + 4 \cdot II \\ 0 & -2 & 8 & -26 & -9 & & IV - 2 \cdot II \\ \hline \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 7 & & \\ 0 & -1 & 3 & -7 & -1 & & \\ 0 & -1 & 3 & -7 & -1 & & \\ 0 & 0 & 20 & 0 & -10 & & \\ 0 & 0 & 2 & -12 & -7 & & \\ \hline \end{array} 

 

 20a_2 = -10 \Leftrightarrow \underline{\underline{a_2 = - \frac{1}{2}}} 

2a_2 - 12a_3 = -7
\Leftrightarrow -1 -12a_3 = -7 \, \, +1
\Leftrightarrow 12a_3 = -6 \, \, | :(-12)
\Leftrightarrow \underline{\underline{a_3 = \frac{1}{2}}}

-a_1 + 3a_2 -7a_3 = -1
\Leftrightarrow -a_1 - \frac{3}{2} - \frac{7}{2} = -1
\Leftrightarrow -a_1 -5 = -1 \, \, | +5
\Leftrightarrow -a_1 = 4 \, \, | :(-1)
\Leftrightarrow \underline{\underline{a_1 = -4}}

a_0 - a_1 +a_2 - a_3 = 7
\Leftrightarrow a_0 + 4 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 7
\Leftrightarrow a_0 + 3 = 7\, \, | -3
\Leftrightarrow \underline{\underline{a_0 = 4}}

 \underline{\underline{f(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{2}x^2 -4x + 4}} 

Beispiel 5:

f(x) = a_3x^3 + a_2x^2 +a_1x + a_0
P_1(2 | 22) \Rightarrow f(2) = 8a_3 + 4a_2 + 2a_1 + 1a_0 = 22
P_2(4 | 44) \Rightarrow f(4) = 64a_3 + 16a_2 + 4a_1 + 1a_0 = 44
P_(-4 | 4) \Rightarrow f(-4) = -64a_3 + 16a_2 - 4a_1 + 1a_0 = 4
P_4(8 | 40) \Rightarrow f(8) = 512a_3 + 64a_2 +8a_1 + 1a_0 = 40

 

 \begin{array}{cccc|ccc} a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & & & \\ \hline \\ 1 & 2 & 4 & 8 & 22 & & \\ 1 & 4 & 16 & 64 & 44 & & II - I \\ 1 & -4 & 16 & -64 & 4 & & III - I \\ 1 & 8 & 64 & 512 & 40 && IV - I \\ \hline \\ 1 & 2 & 4 & 8 & 22 & & \\ 0 & 2 & 12 & 56 & 22 & & \\ 0 & -6 & 12 & -72 & -18 & & III + 3 \cdot II \\ 0 & 6 & 60 & 504 & 18 & & IV - 3 \cdot II \\ \hline \\ 1 & 2 & 4 & 8 & 22 & & \\ 0 & 2 & 12 & 56 & 22 & & \\ 0 & 0 & 48 & 96 & 48 & & \\ 0 & 0 & 24 & 336 & -48 & & IV - \dfrac{1}{2} \cdot III \\ \hline \\ 1 & 2 & 4 & 8 & 22 & & \\ 0 & 2 & 12 & 56 & 22 & & \\ 0 & 0 & 48 & 96 & 48 & & \\ 0 & 0 & 0 & 288 & -72 & & \\ \hline \end{array} 

Die Funktionsgleichung:

 288a_3 = -72 \Leftrightarrow \underline{\underline{a_3 = -\frac{1}{4}}} 

48a_2 + 96a_3 = 48
\Leftrightarrow 48a_2 - 24 = 48 \, \, +24
\Leftrightarrow 48a_2 = 72 \, \, | :48
\Leftrightarrow \underline{\underline{a_2 = \frac{3}{2}}}

2a_1 + 12a_2 +56a_3 = 22
\Leftrightarrow 2a_1 + 18 - 14 = 22
\Leftrightarrow 2a_1 + 4 = 22 \, \, | -4
\Leftrightarrow 2a_1 = 18 \, \, | :2
\Leftrightarrow \underline{\underline{a_1 = 9}}

a_0 + 2a_1 + 4a_2 + 8a_3 = 22
\Leftrightarrow a_0 + 18 + 6 - 2 = 22
\Leftrightarrow a_0 + 22 = 22 \,\, | -22
\Leftrightarrow \underline{\underline{a_0 = 0}}

 f(x) = - \frac{1}{4}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 9x 

Anwendungsbeispiel 6:

f(x) = a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0
P_1(1 | 0) \Rightarrow f(1) = 1a_3 + 1a_2 +1a_1 + 1a_0 = 0
P_2(-1 | -2) \Rightarrow f(-1) = -1a_3 + 1a_2 - 1a_1 +1a_0 = -2
P_3(2 | 16) \Rightarrow f(2) = 8a_3 + 4a_2 +2a_1 +1a_0 = 16
P_4(-3 | -4) \Rightarrow f(-3) = -27a_3 + 9a_2 -3a_1 + 1a_0 = -4

 \begin{array}{cccc|ccc} a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & & & \\ \hline \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & & \\ 1 & -1 & 1 & -1 & -2 & & II - I \\ 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & & III - I \\ 1 & -3 & -9 & -27 & -4 & & IV - I \\ \hline \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & & \\ 0 & -2 & 0 & -2 & -2 & & \\ 0 & 1 & 3 & 7 & 16 & & III + \dfrac{1}{2} \cdot II \\ 0 & -4 & 8 & -28 & -4 & & \\ \hline \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & & \\ 0 & -2 & 0 & -2 & -2 & & \\ 0 & 0 & 3 & 6 & 15 & & & | :3 \\ 0 & 0 & 8 & -24 & 1 & & | :8 \\ \hline \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & & \\ 0 & -2 & 0 & -2 & -2 & & \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 5 & & \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 0 & & IV - III \\ \hline \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & & \\ 0 & -2 & 0 & -2 & -2 & & \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 5 & & \\ 0 & 0 & 0 & -5 & -5 & & \\ \hline \end{array} 

 -5a_3 = -5 \Leftrightarrow \underline{\underline{a_3 = 1}} 

a_2 = 2a_3 = 5
\Leftrightarrow a_2 + 2 = 5 \, \, |-2
\Leftrightarrow \underline{\underline{a_2 = 3}}

-2a_1 -2a_3 = -2
\Leftrightarrow -2a_1 -2 = -2 \, \, +2
\Leftrightarrow -2a_1 = 0
\Leftrightarrow \underline{\underline{a_1 = 0}}

a_0 + a_1 + a_2 + a_3 = 0
\Leftrightarrow a_0 + 3 + 1 = 0
\Leftrightarrow a_0 + 4 = 0 \, \, | -4
\Leftrightarrow \underline{\underline{a_0 = -4}}

 f(x) = x^3 + 3x^2 - 4 

Beispiel 7:

f(x) = a_3x^3 + a_2x^2 +a_1x + a_0
P_1(1 | 1) \Rightarrow f(1) = 1a_3 + 1a_2 + 1a_1 + 1a_0 = 1
P_2(2 | 0) \Rightarrow f(2) = 8a_3 + 4a_2 + 2a_1 + 1a_0 = 0
P_3(-2 | 4) \Rightarrow f(-2) = -8a_3 + 4a_2 - 2a_1 + 1a_0 = 4
P_4(3 | 9) \Rightarrow f(3) = 27a_3 + 9a_2 + 3a_1 + 1a_0 = 9

 

 \begin{array}{cccc|ccc}a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & & & \\ \hline \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & & \\ 1 & 2 & 4 & 8 & 0 & & II -I \\ 1 & -2 & 4 & -8 & 4 & & III - I \\ 1 & 3 & 9 & 27 & 9 & & IV - I \\ \hline \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & & \\ 0 & 1 & 3 & 7 & -1 & & \\ 0 & -3 & 3 & -9 & 3 & & III + 3 \cdot II \\ 0 & 2 & 8 & 26 & 8 & & IV - 2 \cdot II \\ \hline \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & & \\ 0 & 1 & 3 & 7 & -1 & & \\ 0 & 0 & 12 & 12 & 0 & & \\ 0 & 0 & 2 & 12 & 10 & & IV - \dfrac{1}{6} \cdot III \\ \hline \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & & \\ 0 & 1 & 3 & 7 & -1 & & \\ 0 & 0 & 12 & 12 & 0 & & \\ 0 & 0 & 0 & 10 & 10 && \\ \hline \end{array} 

 10a_3 = 10 \Leftrightarrow \underline{\underline{a_3 = 1}} 

12a_2 + 12a_3 0 0
\Leftrightarrow 12a_2 + 12 = 0 \, \, | -12
\Leftrightarrow 12a_2 = -12 \, \, | :12
\Leftrightarrow \underline{\underline{a_2 = -1}}

a_1 + 3a_2 +7a_3 = -1
\Leftrightarrow a_1 - 3 + 7 = -1
\Leftrightarrow a_1 + 4 = -1 \, \, | -4
\Leftrightarrow \underline{\underline{a_1 = -5}}

a_0 + a_1 + a_2 + a_3 = 1
\Leftrightarrow a_0 -5 -1 + 1 = 1
\Leftrightarrow a_0 - 5 = 1 \, \, | +5
\Leftrightarrow \underline{\underline{a_0 = 6 }}

 \underline{\underline{f(x) = x^3 - x^2 - 5x + 6}} 

Anwendungsbeispiel 8:

f(x) = a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0
P_1(1 | 6) \Rightarrow f(1) = 1a_3 + 1a_2 + 1a_1 + 1a_0 = 6
P_2(3 | -4) \Rightarrow f(3) = 27a_3 + 9a_2 + 3a_1 + 1a_0 = -4
P_3(- \frac{1}{2} | \frac{45}{8}) \Rightarrow f(-\frac{1}{2} = - \frac{1}{8}a_3 + \frac{1}{4}a_2 - \frac{1}{2} + 1a_0 = \frac{45}{8}
P_4(- \frac{3}{2} | -\frac{77}{8}) \Rightarrow f(- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8}a_3 + \frac{9}{4}a_2 - \frac{3}{2}a_1 + 1a_0 = - \frac{77}{8}

 

 \begin{array}{cccc|ccc}a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & & & \\ \hline \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 6 & & \\ 1 & 3 & 9 & 27 & -27 & & \\ 1 & - \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{4} & - \dfrac{1}{8} & \dfrac{45}{8} & & | \cdot 8 \\ 1 & - \dfrac{3}{2} & \dfrac{9}{4} & - \dfrac{27}{8} & - \dfrac{77}{8} & & | \cdot 8 \\ \hline \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 6 & & \\ 2 & 3 & 9 & 27 & -4 & & II - I \\ 8 & -4 & 2 & -1 & 45 & & III - 8 \cdot I \\ 8 & -12 & 18 & -27 & -77 & & IV - 8 \cdot I \\ \hline \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 6 & & \\ 0 & 2 & 8 & 26 & -10 & & \\ 0 & -12 & -6 & -9 & -3  & & III + 6 \cdot II \\ 0 & -20 & 10 & -35 & -125 & & IV + 10 \cdot II \\ \hline \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 6 & & \\ 0 & 2 & 8 & 26 & -10 & & \\ 0 & 0 & 42 & 147 & -63 & & | :21 \\ 0 & 0 & 90 & 225 & -225 & & | :45 \\ \hline \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 6 & & \\ 0 & 2 & 8 & 26 & -10 & & \\ 0 & 0 & 2 & 7 & -3 & & \\ 0 & 0 & 2 & 5 & -5 & & IV - III \\ \hline \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 6 & & \\ 0 & 2 & 8 & 26 & -10 & & \\ 0 & 0 & 2 & 7 & -3 & & \\ 0 & 0 & 0 & -2 & -2 & & \\ \hline \end{array} 

 -2a_3 = -2 \Leftrightarrow \underline{\underline{a_3 =1}} 

2a_2 - 7a_3 = -3
\Leftrightarrow 2a_2 + 7 = -3 \, \, | -7
\Leftrightarrow 2a_2 = -10 \, \, | :2
\Leftrightarrow \underline{\underline{a_2 = -5}}

2a_1 + 8a_2 +26a_3 = -10
\Leftrightarrow 2a_1 - 40 + 26 = -10
\Leftrightarrow 2a_1 - 14 = -10 \, \, | +14
\Leftrightarrow 2a_1 = 4 \, \, | :2
\Leftrightarrow \underline{\underline{a_1 = 2}}

a_0 + a_1 + a_2 + a_3 = 6
\Leftrightarrow a_0 + 2 - 5 + 1 = 6
\Leftrightarrow a_0 - 2 = 6 \, \, | +2
\Leftrightarrow \underline{\underline{a_0 = 8}}

 \underline{\underline{f(x) = x^3 - 5x^2 + 2x + 8}} 

Beispiel 9:

Anwendungsbeispiel 10:

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Aufgaben:

 

 

 

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Weitere Aufgaben auch hier: Aufgaben Differential- und Integralrechnung I.

Hier finden Sie eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Quadratische Funktionen, darin auch Links zu weiteren Aufgaben.

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