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Funktionsgleichung mit bekannten Punkten bestimmen

In diesem Beitrag erkläre ich, wie man die Funktionsgleichung einer Parabel für ganzrationale Funktionen bis zu 4. Grades durch 5 Punkte bestimmt.

  1. Wiederholung: Funktionsgleichung einer Parabel bestimmen, interaktiven Rechner dazu
  2. Funktionsgleichung für eine ganzrationale Funktion 3. Grades durch 4 Punkte aufstellen
  3. Gleichungssystems mit dem Gauß-Algorithmus lösen, Beispiele
  4. Trainingsaufgaben 1 dazu
  5. Ganzrationale Funktion 4. Grades durch 5 Punkte
  6. Punktsymmetrie ganzrationaler Funktionen 3. Grades
  7. Ganzrationale Funktion 4. Grades durch (0 | 0) und 4 Punkte
  8. Ganzrationale Funktion 4. Grades achsensymmetrisch durch 3 Punkte
  9. Trainingsaufgaben 2 dazu

1. Wiederholung:

Um die Funktionsgleichung einer Parabel zu bestimmen, sind die Koordinaten von drei Punkten nötig. Denn die brauchen wir um die Koeffizienten a2 , a1 und a0 zu bestimmen.
Siehe Parabel durch drei Punkte.

Interaktiver Rechner: Parabel 2. Grades durch drei Punkte:

Dazu stelle ich hier diesen interaktiven Rechner zur Verfügung. Wenn du die drei Punkte eingibst, berechnet und zeichnet das Programm die Parabel.

Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades:

f_0366

Tipp:

Für eine Ganzrationale Funktion n-ten Grades benötigt man also n + 1 Bedingungen und damit n + 1 Bestimmungsgleichungen.

2. Ganzrationale Funktion 3. Grades durch 4 Punkte

Zuerst stellen wir ein Gleichungssystem für die gegebenen Punkte auf:

f_0367

3. Gleichungssystems mit dem Gauß-Algorithmus lösen

Weil die Punkte schon tabellenartig angeordnet sind, bietet sich der Gauß-algorithmus an.

f_0368
Danach können wir die Koeffizienten rückwärts einsetzen.
f_0369

4. Trainingsaufgaben 1

Dazu findest du im Teil I dieses Beitrags Aufgaben.
Und hier die Lösungen dazu.
Interaktiver Rechner: Ganzrationale Funktion 3. Grades durch 4 Punkte: 
Gib 4 beliebige Punkte ein, danach berechnet das Javascript die Funktionsgleichung und zeichnet den Graphen.

5.) Ganzrationale Funktion 4. Grades durch 5 Punkte

Zuerst stellen wir wieder ein Gleichungssystem für die gegebenen Punkte auf:

f_0370

Danach können wir dies mittels des Gauss-Algorithmus lösen:

f_0371

Dann ermitteln wir den Funktionsgraph über eine Wertetabelle.

mc_066

Wenn man weitere Eigenschaften des Funktionsgraphen kennt, kann man die Anzahl der Bestimmungsgleichungen reduzieren.

Interaktiv: Ganzrationale Funktion 4. Grades durch 5 Punkte

Gib 5 beliebige Punkte ein, danach berechnet das Javascript die Funktionsgleichung und zeichnet den Graphen.

6.) Ganzrationale Funktion 3. Grades punktsymmetrisch durch 2 Punkte

f_0372

Wegen der Punktsymmetrie besteht die Funktionsgleichung nur aus Summanden mit ungeraden Exponenten.

f_0373

7.) Ganzrationale Funktion 4. Grades durch (0 | 0) und 4 Punkte

Die Koordinaten von 4 Punkten sind gegeben. Der 5. Punkt ist der Ursprung. Dadurch entstehen 4 Bestimmungsgleichungen.

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8.) Ganzrationale Funktion 4. Grades achsensymmetrisch durch 3 Punkte

f_0375

Alle Nullstellen und ein Punkt sind vorgegeben

Z. B. Ganzrationale Funktion 3. Grades.

f_0376

Z. B. Ganzrationale Funktion 4. Grades.

f_0377

Hier findest du Trainingsaufgaben zu dieser Problemstellung.Und hier die Lösungen dazu.Hier weitere Text- und Anwendungsaufgaben aus Technik und Wirtschaft zu ganzrationalen Funktionen I.Außerdem findest du eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema weitere ganzrationale Funktionen. Darin auch Links zu weiteren Aufgaben.