Aufstellen der Funktionsgleichung mit bekannten Punkten
In diesem Beitrag erkläre ich nun, wie man die Funktionsgleichung einer Parabel für ganzrationale Funktionen bis zu 4. Grades durch 5 Punkte bestimmt. Zuerst zeige ich, wie man die Funktionsgleichung für eine ganzrationale Funktion 3. Grades durch 4 Punkte aufstellt. Danach für eine ganzrationale Funktion 4. Grades durch 5 Punkte. Außerdem stelle ich einen interaktiver Rechner für diese beiden zur Verfügung. Danach erkläre ich einige Sonderfälle. Wenn eine Funktion 3. Grades zum Beispiel punktsymmetrisch ist, genügen 2 Punkte.
Um die Funktionsgleichung einer Parabel zu bestimmen, sind die Koordinaten von drei Punkten nötig, um die Koeffizienten a2 , a1 und a0 zu bestimmen.
Das hatte ich in meinem Beitrag Funktionsgleichung Parabel durch drei Punkte erläutert.
Interaktiver Rechner: Parabel 2. Grades durch drei Punkte: Wenn Sie die drei Punkte eingeben, berechnet und zeichnet das Programm danach die Parabel.
Die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades lautet:
Für eine Ganzrationale Funktion n-ten Grades benötigt man also n + 1 Bedingungen und damit n + 1 Bestimmungsgleichungen .
Ganzrationale Funktion 3. Grades durch 4 Punkte
Erstens stellen wir ein Gleichungssystem für die gegebenen Punkte auf:
Anschließend lösen wir das Gleichungssystems mit dem Gauß-Algorithmus.
Durch Rückwärtseinsetzen können wir nun den Koeffizienten bestimmen:
Im Teil I dieses Beitrags finden Sie Trainingsaufgaben zu dieser Problemstellung.
Und hier die Lösungen dazu.
Interaktiver Rechner: Ganzrationale Funktion 3. Grades durch 4 Punkte: Geben sie 4 beliebige Punkte ein, danach berechnet das Javascript die Funktionsgleichung und zeichnet den Graphen.
Ganzrationale Funktion 4. Grades durch 5 Punkte
Zuerst stellen wir wieder ein Gleichungssystem für die gegebenen Punkte auf:
Danach können wir dies mittels des Gauss-Algorithmus lösen:
Den Funktionsgraph ermitteln wir über eine Wertetabelle.
Sind weitere Eigenschaften über den Funktionsgraphen bekannt, dann kann die Anzahl der Bestimmungsgleichungen reduziert werden.
Interaktiv: Ganzrationale Funktion 4. Grades durch 5 Punkte
Geben sie 5 beliebige Punkte ein, danach berechnet das Javascript die Funktionsgleichung und zeichnet den Graphen.
Ganzrationale Funktion 3. Grades punktsymmetrisch durch 2 Punkte
Wegen der Punktsymmetrie besteht die Funktionsgleichung nur aus Summanden mit ungeraden Exponenten.
Ganzrationale Funktion 4. Grades durch (0 | 0) und 4 Punkte
Die Koordinaten von 4 Punkten sind gegeben. Der 5. Punkt ist der Ursprung. Dadurch entstehen 4 Bestimmungsgleichungen.
Ganzrationale Funktion 4. Grades achsensymmetrisch durch 3 Punkte
Alle Nullstellen und ein Punkt sind vorgegeben
Ganzrationale Funktion 3. Grades
Ganzrationale Funktion 4. Grades
Hier finden sie Trainingsaufgaben zu dieser Problemstellung.
Und hier die Lösungen dazu.
