Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen

Aufstellen der Funktionsgleichung

In diesem Beitrag erkläre ich nun, wie man die Funktionsgleichung einer Parabel bis zu ganzrationalen Funktionen 4. Grades durch 5 Punkte bestimmt.

Wir erinnern uns, um die Funktionsgleichung einer Parabel zu bestimmen, waren die Koordinaten von drei Punkten nötig um die Koeffizienten a2 , a1 und a0 zu bestimmen.
Das hatte ich in meinem Beitrag Funktionsgleichung Parabel durch drei Punkte näher erläutert.

Interaktiv: Parabel durch drei Punkte:

Wenn Sie die drei Punkte eingeben, berechnet und zeichnet das Programm die Parabel.

Die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades lautet:

f_0366

Allgemein lässt sich feststellen, das man für eine Ganzrationale Funktion n-ten Grades n + 1 Bedingungen und damit n + 1 Bestimmungsgleichungen benötigt.


Ganzrationale Funktion 3. Grades durch 4 Punkte

Die Koordinaten von 4 Punkten, die auf dem Funktionsgraphen liegen sollen, sind wie folgt vorgegeben:

P1( -1 | 2 ) ; P2( 2 | -1) ; P3( -3 | 44 ) und P4( 1 | 0 ).

Zunächst wird das Gleichungssystem für die gegebenen Punkte aufgestellt.

f_0367

 Lösung des Gleichungssystems mit dem Gauß-Algorithmus.

f_0368

Durch Rückwärtseinsetzen können wir nun den Koeffizienten bestimmen:

f_0369

Im Teil I dieses Beitrags finden Sie Trainingsaufgaben zu dieser Problemstellung.

Und hier die Lösungen dazu.

Interaktiv: Ganzrationale Funktion 3. Grades durch 4 Punkte

Geben sie 4 beliebige Punkte ein, danach berechnet das Javascript die Funktionsgleichung und zeichnet den Graphen.




Ganzrationale Funktion 4. Grades durch 5 Punkte

Die Koordinaten von 5 Punkten, die auf dem Funktionsgraphen liegen sollen, sind wie folgt vorgegeben:

P1( -2 | 2 ) ; P2( -1 | 0) ; P3( 1 | 0 ) ; P4( 2 | 2 ) und P5( 3 | 3 ).

Zunächst stellen wir das Gleichungssystem für die gegebenen Punkte auf.

f_0370

Nun können wir dies mittels des Gauss-Algorithmus lösen:

f_0371

Den Funktionsgraph ermitteln wir über eine Wertetabelle. Er hat folgenden Verlauf:

mc_066

Sind weitere Eigenschaften über den Funktionsgraphen bekannt, so kann die Anzahl der Bestimmungsgleichungen reduziert werden.

Interaktiv: Ganzrationale Funktion 4. Grades durch 5 Punkte

Geben sie 5 beliebige Punkte ein, danach berechnet das Javascript die Funktionsgleichung und zeichnet den Graphen.




Ganzrationale Funktion 3. Grades punktsymmetrisch durch 2 Punkte

f_0372

Wegen der Punktsymmetrie besteht die Funktionsgleichung nur aus Summanden mit ungeraden Exponenten.

f_0373


Ganzrationale Funktion 4. Grades durch ( 0 | 0 ) und 4 Punkte

Die Koordinaten von 4 Punkten sind gegeben. Der 5. Punkt ist der Ursprung. Dadurch entstehen 4 Bestimmungsgleichungen.

f_0374


Ganzrationale Funktion 4. Grades achsensymmetrisch durch 3 Punkte

f_0375


Alle Nullstellen und ein Punkt sind vorgegeben

Ganzrationale Funktion 3. Grades

f_0376

Ganzrationale Funktion 4. Grades

f_0377


Hier finden sie Trainingsaufgaben zu dieser Problemstellung.

Und hier die Lösungen dazu.

Hier weitere Text- und Anwendungsaufgaben aus Technik und Wirtschaft zu ganzrationalen Funktionen I

Diese und weitere Aufgaben sind in den Materialien enthalten, die Sie in unserem Shop erwerben können. Pakete mit vielen PDF-Datei ab 1 Euro und für Lehrer als WORD-Dateien, die beliebig geändert werden können.

Hier eine Übersicht über weitere ganzrationale Funktionen.

Hier noch einmal die beiden hilfreichen Javascripte:

Interaktiv: Ganzrationale Funktion 3. Grades durch 4 Punkte

Geben sie 4 beliebige Punkte ein, danach berechnet das Javascript die Funktionsgleichung und zeichnet den Graphen.

Interaktiv: Ganzrationale Funktion 4. Grades durch 5 Punkte

Geben sie 5 beliebige Punkte ein, danach berechnet das Javascript die Funktionsgleichung und zeichnet den Graphen.



Gefällt dir die Seite? Dann freuen wir uns über ein like auf facebook.