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Aufstellen Funktionsgleichung mit bekannten Punkten

Aufstellen der Funktionsgleichung mit bekannten Punkten

  • In diesem Beitrag erkläre ich nun, wie man die Funktionsgleichung einer Parabel für ganzrationale Funktionen bis zu 4. Grades durch 5 Punkte bestimmt.
  • Zuerst zeige ich, wie man die Funktionsgleichung für eine ganzrationale Funktion 3. Grades durch 4 Punkte aufstellt.
  • Dabei erkläre ich anhand von Beispielen, wie man das Gleichungssystems mit dem Gauß-Algorithmus löst.
  • Danach für eine ganzrationale Funktion 4. Grades durch 5 Punkte.
  • Außerdem stelle ich einen interaktiver Rechner für diese beiden zur Verfügung.
  • Danach erkläre ich einige Sonderfälle. Wenn eine Funktion 3. Grades zum Beispiel punktsymmetrisch ist, genügen 2 Punkte.

Wiederholung:

Um die Funktionsgleichung einer Parabel zu bestimmen, sind die Koordinaten von drei Punkten nötig, um die Koeffizienten a2 , a1 und a0 zu bestimmen.
Das hatte ich in meinem Beitrag Funktionsgleichung Parabel durch drei Punkte erläutert.

Interaktiver Rechner: Parabel 2. Grades durch drei Punkte: Wenn Sie die drei Punkte eingeben, berechnet und zeichnet das Programm danach die Parabel.

Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades:

f_0366

Tipp:

Für eine Ganzrationale Funktion n-ten Grades benötigt man also n + 1 Bedingungen und damit n + 1 Bestimmungsgleichungen.


Ganzrationale Funktion 3. Grades durch 4 Punkte

Erstens stellen wir ein Gleichungssystem für die gegebenen Punkte auf:

f_0367

Anschließend lösen wir das Gleichungssystems mit dem Gauß-Algorithmus.

f_0368

Durch Rückwärtseinsetzen können wir nun den Koeffizienten bestimmen:

f_0369

Im Teil I dieses Beitrags finden Sie Trainingsaufgaben zu dieser Problemstellung.

Und hier die Lösungen dazu.

Interaktiver Rechner: Ganzrationale Funktion 3. Grades durch 4 Punkte: Geben sie 4 beliebige Punkte ein, danach berechnet das Javascript die Funktionsgleichung und zeichnet den Graphen.




Ganzrationale Funktion 4. Grades durch 5 Punkte

Zuerst stellen wir wieder ein Gleichungssystem für die gegebenen Punkte auf:

f_0370

Danach können wir dies mittels des Gauss-Algorithmus lösen:

f_0371

Den Funktionsgraph ermitteln wir über eine Wertetabelle.

mc_066

Sind weitere Eigenschaften über den Funktionsgraphen bekannt, dann kann die Anzahl der Bestimmungsgleichungen reduziert werden.

Interaktiv: Ganzrationale Funktion 4. Grades durch 5 Punkte

Geben sie 5 beliebige Punkte ein, danach berechnet das Javascript die Funktionsgleichung und zeichnet den Graphen.




Ganzrationale Funktion 3. Grades punktsymmetrisch durch 2 Punkte

f_0372

Wegen der Punktsymmetrie besteht die Funktionsgleichung nur aus Summanden mit ungeraden Exponenten.

f_0373


Ganzrationale Funktion 4. Grades durch (0 | 0) und 4 Punkte

Die Koordinaten von 4 Punkten sind gegeben. Der 5. Punkt ist der Ursprung. Dadurch entstehen 4 Bestimmungsgleichungen.

f_0374


Ganzrationale Funktion 4. Grades achsensymmetrisch durch 3 Punkte

f_0375




Alle Nullstellen und ein Punkt sind vorgegeben

Ganzrationale Funktion 3. Grades

f_0376

Ganzrationale Funktion 4. Grades

f_0377


Hier finden sie Trainingsaufgaben zu dieser Problemstellung.

Und hier die Lösungen dazu.

Hier weitere Text- und Anwendungsaufgaben aus Technik und Wirtschaft zu ganzrationalen Funktionen I.

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Hier finden Sie eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema weitere ganzrationale Funktionen, darin auch Links zu weiteren Aufgaben.