Aufstellen Funktionsgleichung mit bekannten Punkten

Aufstellen der Funktionsgleichung mit bekannten Punkten

In diesem Beitrag erkläre ich nun, wie man die Funktionsgleichung einer Parabel für ganzrationale Funktionen bis zu 4. Grades durch 5 Punkte bestimmt. Zuerst zeige ich, wie man die Funktionsgleichung für eine ganzrationale Funktion 3. Grades durch 4 Punkte aufstellt. Danach für eine ganzrationale Funktion 4. Grades durch 5 Punkte. Außerdem stelle ich einen interaktiver Rechner für diese beiden zur Verfügung. Danach erkläre ich einige Sonderfälle. Wenn eine Funktion 3. Grades zum Beispiel punktsymmetrisch ist, genügen 2 Punkte.

Um die Funktionsgleichung einer Parabel zu bestimmen, sind die Koordinaten von drei Punkten nötig, um die Koeffizienten a2 , a1 und a0 zu bestimmen.
Das hatte ich in meinem Beitrag Funktionsgleichung Parabel durch drei Punkte erläutert.

Interaktiver Rechner: Parabel 2. Grades durch drei Punkte: Wenn Sie die drei Punkte eingeben, berechnet und zeichnet das Programm danach die Parabel.

Die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades lautet:

f_0366

Für eine Ganzrationale Funktion n-ten Grades benötigt man also n + 1 Bedingungen und damit n + 1 Bestimmungsgleichungen .


Ganzrationale Funktion 3. Grades durch 4 Punkte

Erstens stellen wir ein Gleichungssystem für die gegebenen Punkte auf:

f_0367

Anschließend lösen wir das Gleichungssystems mit dem Gauß-Algorithmus.

f_0368

Durch Rückwärtseinsetzen können wir nun den Koeffizienten bestimmen:

f_0369

Im Teil I dieses Beitrags finden Sie Trainingsaufgaben zu dieser Problemstellung.

Und hier die Lösungen dazu.

Interaktiver Rechner: Ganzrationale Funktion 3. Grades durch 4 Punkte: Geben sie 4 beliebige Punkte ein, danach berechnet das Javascript die Funktionsgleichung und zeichnet den Graphen.




Ganzrationale Funktion 4. Grades durch 5 Punkte

Zuerst stellen wir wieder ein Gleichungssystem für die gegebenen Punkte auf:

f_0370

Danach können wir dies mittels des Gauss-Algorithmus lösen:

f_0371

Den Funktionsgraph ermitteln wir über eine Wertetabelle.

mc_066

Sind weitere Eigenschaften über den Funktionsgraphen bekannt, dann kann die Anzahl der Bestimmungsgleichungen reduziert werden.

Interaktiv: Ganzrationale Funktion 4. Grades durch 5 Punkte

Geben sie 5 beliebige Punkte ein, danach berechnet das Javascript die Funktionsgleichung und zeichnet den Graphen.




Ganzrationale Funktion 3. Grades punktsymmetrisch durch 2 Punkte

f_0372

Wegen der Punktsymmetrie besteht die Funktionsgleichung nur aus Summanden mit ungeraden Exponenten.

f_0373


Ganzrationale Funktion 4. Grades durch (0 | 0) und 4 Punkte

Die Koordinaten von 4 Punkten sind gegeben. Der 5. Punkt ist der Ursprung. Dadurch entstehen 4 Bestimmungsgleichungen.

f_0374


Ganzrationale Funktion 4. Grades achsensymmetrisch durch 3 Punkte

f_0375




Alle Nullstellen und ein Punkt sind vorgegeben

Ganzrationale Funktion 3. Grades

f_0376

Ganzrationale Funktion 4. Grades

f_0377


Hier finden sie Trainingsaufgaben zu dieser Problemstellung.

Und hier die Lösungen dazu.

Hier weitere Text- und Anwendungsaufgaben aus Technik und Wirtschaft zu ganzrationalen Funktionen I.

Diese und weitere Aufgaben sind in den Materialien enthalten, die Sie in unserem Shop erwerben können. Dort gibt es Pakete mit vielen PDF-Dateien für Schüler ab 1 Euro. Für Lehrer gibt es WORD-Dateien, die Sie beliebig ändern können.

Hier finden Sie eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema weitere ganzrationale Funktionen, darin auch Links zu weiteren Aufgaben.

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