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Aufstellen Funktionsgleichung mit bekannten Punkten

Aufstellen der Funktionsgleichung mit bekannten Punkten

In diesem Beitrag erkläre ich nun, wie man die Funktionsgleichung einer Parabel für ganzrationale Funktionen bis zu 4. Grades durch 5 Punkte bestimmt.

  1. Wiederholung: Funktionsgleichung einer Parabel bestimmen, interaktiven Rechner dazu
  2. Funktionsgleichung für eine ganzrationale Funktion 3. Grades durch 4 Punkte aufstellen
  3. Gleichungssystems mit dem Gauß-Algorithmus lösen, Beispiele
  4. Trainingsaufgaben 1 dazu
  5. Ganzrationale Funktion 4. Grades durch 5 Punkte
  6. Punktsymmetrie ganzrationaler Funktionen 3. Grades
  7. Ganzrationale Funktion 4. Grades durch (0 | 0) und 4 Punkte
  8. Ganzrationale Funktion 4. Grades achsensymmetrisch durch 3 Punkte
  9. Trainingsaufgaben 2 dazu

1. Wiederholung:

Um die Funktionsgleichung einer Parabel zu bestimmen, sind die Koordinaten von drei Punkten nötig, um die Koeffizienten a2 , a1 und a0 zu bestimmen.
Das hatte ich in meinem Beitrag Funktionsgleichung Parabel durch drei Punkte erläutert.

Interaktiver Rechner: Parabel 2. Grades durch drei Punkte: Wenn Sie die drei Punkte eingeben, berechnet und zeichnet das Programm danach die Parabel.

Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades:

f_0366

Tipp:

Für eine Ganzrationale Funktion n-ten Grades benötigt man also n + 1 Bedingungen und damit n + 1 Bestimmungsgleichungen.


2.) Ganzrationale Funktion 3. Grades durch 4 Punkte

Erstens stellen wir ein Gleichungssystem für die gegebenen Punkte auf:

f_0367

3. Gleichungssystems mit dem Gauß-Algorithmus lösen

f_0368Durch Rückwärtseinsetzen können wir nun den Koeffizienten bestimmen:f_0369

4. Trainingsaufgaben 1

Im Teil I dieses Beitrags finden Sie Trainingsaufgaben zu dieser Problemstellung.
Und hier die Lösungen dazu.Interaktiver Rechner: Ganzrationale Funktion 3. Grades durch 4 Punkte: Geben sie 4 beliebige Punkte ein, danach berechnet das Javascript die Funktionsgleichung und zeichnet den Graphen.


5.) Ganzrationale Funktion 4. Grades durch 5 Punkte

Zuerst stellen wir wieder ein Gleichungssystem für die gegebenen Punkte auf:

f_0370

Danach können wir dies mittels des Gauss-Algorithmus lösen:

f_0371

Den Funktionsgraph ermitteln wir über eine Wertetabelle.

mc_066

Sind weitere Eigenschaften über den Funktionsgraphen bekannt, dann kann die Anzahl der Bestimmungsgleichungen reduziert werden.

Interaktiv: Ganzrationale Funktion 4. Grades durch 5 Punkte

Geben sie 5 beliebige Punkte ein, danach berechnet das Javascript die Funktionsgleichung und zeichnet den Graphen.


6.) Ganzrationale Funktion 3. Grades punktsymmetrisch durch 2 Punkte

f_0372

Wegen der Punktsymmetrie besteht die Funktionsgleichung nur aus Summanden mit ungeraden Exponenten.

f_0373


7.) Ganzrationale Funktion 4. Grades durch (0 | 0) und 4 Punkte

Die Koordinaten von 4 Punkten sind gegeben. Der 5. Punkt ist der Ursprung. Dadurch entstehen 4 Bestimmungsgleichungen.

f_0374


8.) Ganzrationale Funktion 4. Grades achsensymmetrisch durch 3 Punkte

f_0375


Alle Nullstellen und ein Punkt sind vorgegeben

Ganzrationale Funktion 3. Grades

f_0376

Ganzrationale Funktion 4. Grades

f_0377


Hier finden sie Trainingsaufgaben zu dieser Problemstellung.

Und hier die Lösungen dazu.

Hier weitere Text- und Anwendungsaufgaben aus Technik und Wirtschaft zu ganzrationalen Funktionen I.

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Hier finden Sie eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema weitere ganzrationale Funktionen, darin auch Links zu weiteren Aufgaben.