Funktionsgleichung Parabel durch drei Punkte
Wir haben uns bisher den Schnittpunkt von Parabel und Gerade berechnet. In diesem Beitrag erkläre ich, wie man die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion aufstellt, wenn man drei Punkte der Parabel kennt. Zuerst zähle ich die Reihenfolge in der Vorgehensweise beim Aufstellen von Parabelgleichungen mit drei vorgegebenen Punkten auf. Dann zeige ich das Aufstellen des Gleichungssystems und die Berechnung mittels des Additionsverfahrens. Und stelle ich ein interaktives Programm hierzu zur Verfügung. Danach zeige ich, wann man die Funktionsgleichung einer Parabel mit weniger Angaben bestimmen kann. Zuletzt zeige ich ein Anwendungsbeispiel.
Wir kennen drei unterschiedliche Punkte, die alle auf einer Parabel liegen.
Daraus sollen wir die Funktionsgleichung der Parabel bestimmen. Wie gehen wir nun vor?
Vorgehensweise Aufstellen von Parabelgleichungen mit drei vorgegebenen Punkten:
1. Stellen Sie das Gleichungssystem auf.
2. Lösen Sie dieses mit Hilfe des Gauß Algorithmus.
3. Bestimmen Sie die Koeffizienten von f(x) durch einsetzen.
4. Schreiben Sie die Funktionsgleichung hin und machen Sie die Probe.
5. Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte und den Scheitelpunkt.
6. Zeichnen Sie die Parabel in ein geeignetes Koordinatensystem.
Die allgemeine Form der Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 2. Grades lautet:
Zuerst müssen wir für die allgemeinen Koeffizienten a2, a1 und a0 die entsprechenden Zahlenkomponenten bestimmen.
Da alle drei gegebenen Punkte P1 , P2 und P3 Punkte der zu bestimmenden Parabel sind, könenn wir durch dreimaliges Einsetzen der Koordinaten dieser Punkte an den Stellen x und y der allgemeinen Funktionsgleichung ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten erzeugen. Aus diesen können wir anschließend die Koeffizienten a0, a1 und a2 bestimmen.
Aufstellen des Gleichungssystems:
Das ist ein Gleichungssystem bestehend aus drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten.
Deshalb können wir die Lösung mit dem Additionsverfahren finden.
Additionsverfahren:
Das Additionsverfahren können wir schematisieren. Dies benutzen wir ebenfalls beim Gauß-Algorithmus.
Beim Gauß-Algorithmus rechnet man nur mit den Koeffizienten.
Gauß-Algorithmus:
Beim Gauß-Algorithmus arbeiten wir zeilenweise.
Zeilen darf man:
– vertauschen
– mit einer Zahl multiplizieren
– durch eine Zahl dividieren
– addieren
– subtrahieren
Wenn wir die Spalten vertauschen, dann müssen wir ebenfalls die Koeffizienten mitnehmen.
Dabei versuchen wir, auf eine Dreiecksform zu kommen.
Der Funktionsgraph:
Um die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion zu erhalten brauchen wir drei Punkte .
Wir erinnern uns:
Bei einer linearen Funktion (Gerade) waren es nur zwei Punkte.
Um den Graphen einer Parabel sauber zeichnen zu können, brauchen wir außer den vorgegebenen drei Punkten noch der Scheitelpunkt und die Achsenschnittpunkte .
Wenn wir zudem auch noch die Symmetrie zur Senkrechten durch den Scheitelpunkt berücksichtigen, benötigen wir in den meisten Fällen keine weiteren Punkte.
Parabel durch drei Punkte Interaktiv:
Wenn Sie in dem Javascript die Koordinaten der Punkte eingeben und danach auf Berechnen und anschließend auf Zeichnen klicken, können Sie Ihre Übungsaufgaben kontrollieren.
Funktionsgleichung einer Parabel mit weniger Angaben bestimmen
In einigen Fällen können wir die Funktionsgleichung mit weniger Angaben bestimmen.
Beispiel:
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x) und zeichnen Sie den Graphen.
Beispiel:
Aus der Angabe, dass der größte Funktionswert 3 ist, können wir chließen, das die Parabel nach unten geöffnet ist. Das bestätigt auch die Rechnung.
Beispiel:
Bestimmen Sie den Funktionsterm und zeichnen Sie den Graphen.
Beispiel:
Werden die Koordinaten der 3 vorgegebenen Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung eingesetzt, so erhält man ein Gleichungssystem, bestehend aus 3 Gleichungen mit den drei Variablen a2 ; a1 und a0
Lösung durch Additionsverfahren oder dem Gauß- Algorithmus.
Berechnung der Achsenschnittpunkte.
Der Scheitelpunkt: |
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Anwendungsbeispiel
Der Parabelförmige Bogen einer Brücke mit der Spannweite 40 m hat eine maximale Höhe von 10 m.
Berechnen Sie die Längen der 7 in gleichen Abständen vertikal angebrachten Spannstäbe.
Modellierung:
Wird das Koordinatensystem so gewählt, dann sind folgende Punkte bekannt.
Lösung:
Hier finden Sie eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Quadratische Funktionen, darin auch Links zu Aufgaben.
