Lösungen Aufstellen Funktionsgleichung • 123mathe

Hier findest du die ausführlichen Lösungen der Aufgaben zum Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen. Z. B. zu ganzrationale Funktionen durch 4 Punkte.

Teil I: Ganzrationale Funktionen durch 4 Punkte. Finde jeweils die Funktionsgleichung und zeichne den Graphen! Berechne die Achsenschnittpunkte und fehlende Werte mit dem Hornerschema!

1.

$P_1(1|4) ; P_2(2|2)$
$P_3(4|4) ; P_4(5|20)$

Ausführliche Lösung

Als erstes stellen wir das Gleichungssystem auf:
$f(x) = a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$
$P_1(1|4) \Rightarrow f(1) = 1a_3 + 1a_2 + 1a_1 + 1a_0 = 4 \\ P_2(2|2) \Rightarrow f(2) = 8a_3 + 4a_2 + 2a_1 + 1a_0 = 2 \\ P_3(4|4) \Rightarrow f(4) = 64a_3 + 16a_2 + 4a_1 + 1a_0 = 4 \\ P_4(5|20) \Rightarrow f(5) = 125a_3 + 25a_2 + 5a_1 + 1a_0 = 20 \\$

Als nächstes tragen wir in eine Tabelle nach Gauß ein:

1	1	1	1	4
a₀	a₁	a₂	a₃
1	2	4	8	2 II-I
1	4	16	64	4 III-I
1	5	25	125	20 IV-I
1	1	1	1	4
0	1	3	7	-2
0	3	11	63	0 III – 3 · II
0	4	24	124	16 IV – 4 · II
1	1	1	1	4
0	1	3	7	-2
0	0	6	42	6
0	0	12	96	24 IV – 2 · III
1	1	1	1	4
0	1	3	7	-2
0	0	6	42	6
0	0	0	12	12

Daraus entwickeln wir jetzt die Funktionsgleichung:
$\Rightarrow 12 a_3 = 12 \Leftrightarrow \underline{\underline{a_3 = 1}}$

$6a_2 + 42 = 6 | -42$
$\Leftrightarrow 6a_2 = -36 \Leftrightarrow \underline{\underline{a_2 = -6}}$

$a_1 + 3a_2 + 7a_3 = -2$
$\Leftrightarrow a_1 - 18 + 7 = -2 \\ \Leftrightarrow a_1 - 11 = -2 | +11 \Leftrightarrow \underline{\underline{ a_1 = 9}}$

$a_0 + a_1 + a_2 + a_3 = 4$
$\Leftrightarrow a_0 + 9 -6 + 1 = 4 \\ \Leftrightarrow a_0 + 4 = 4 | - 4 \Leftrightarrow \underline{\underline{ a_0 = 0}}$

Die Funktionsgleichung lautet also:
$\underline{\underline{ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x}}$

Schließlich tragen wir die Werte in der Wertetabelle ein:

f(x)	-6,12	0	3,13	4	3,37	2	0,62	0	0,87	4	10,12	20
x	-0,5	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5

Jetzt können wir den Graph zeichnen und folgendes berechnen:

Schnittpunkt mit der y-Achse:
$f(0) = 0 \Rightarrow P_y(0|0)$

Nullstellen:
$f(x) = 0 \Leftrightarrow x^3 - 6x^2 + 9x = 0$
Wenn wir dies faktorisieren:
$x(x^2 - 6x + 9) = 0 \Rightarrow x_1 = 0$

$x^2 - 6x + 9 = 0$
$p = -6 ; q = 9 \Rightarrow D = 0 \\ x_{2/3} = -\frac{p}{2} = 3$

$P_{x1}(0|0)$
$P_{x2/3} (3|0)$

2.

Ausführliche Lösung

Ausführlicher Gauß- Algorithmus:

3.

Ausführliche Lösung

Ausführlicher Gauß- Algorithmus:

4.

Ausführliche Lösung

Ausführlicher Gauß- Algorithmus:

5.

Ausführliche Lösung:

Ausführlicher Gauß- Algorithmus:

6.

Ausführliche Lösung:

Ausführlicher Gauß- Algorithmus:

7.

Ausführliche Lösung:

Ausführlicher Gauß- Algorithmus:

8.

Ausführliche Lösung:

Ausführlicher Gauß- Algorithmus:

9.

Ausführliche Lösung:

Ausführlicher Gauß- Algorithmus:

10.

Ausführliche Lösung:

Ausführlicher Gauß-Algorithmus:

Teil II: Finden Sie jeweils die Funktionsgleichung und skizzieren Sie den Graphen.

11.

grad 3, punktsymmetrisch
$P_1(2|3) P_2(-3|-2)$

Ausführliche Lösung:

grad 3, punktsymmetrisch durch
$P_1(2|3) P_2(-3|-2)$
Wegen der Punktsymmetrie hat die Funktionsgleichung nur ungerade Exponenten.
Als erstes stellen wir den Ansatz auf:
$f(x) = a_3x^3 + a_1x \\ P_1(2|3) \Rightarrow f(2) = 8a_3 + 2a_1 = 3 \\ P_2(-3|-2) \Rightarrow f(-3) = -27a_3 - 3a_1 = -2$

a₁	a₃
2	8	3	\| · 3
-3	-27	-2	\| · 2
6	24	9
-6	-54	-4	II + I
6	24	9
0	-30	5

Daraus entwickeln wir jetzt die Funktionsgleichung:
$-30a_3 = 5 \Leftrightarrow a_3 = -\frac{1}{6}$
$6a_1 + 24a_3 = 9 \Leftrightarrow 6a_1 - 4 = 9 \Leftrightarrow a_1 = \frac{13}{6}$

Ganzrationale Funktion 3. Grades ist symmetrisch zum Ursprung, bzw, punktsymmetrish mit drei Nullstellen. Bei Punktsymmetrie hat die Variable x nur ungerade Exponenten. Bei Achsensymmetrie sind sie gerade.