Hier findest du die ausführlichen Lösungen der Aufgaben zum Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen. Z. B. zu ganzrationale Funktionen durch 4 Punkte.
Teil I: Ganzrationale Funktionen durch 4 Punkte.
Finde jeweils die Funktionsgleichung und zeichne den Graphen! Berechne die Achsenschnittpunkte und fehlende Werte mit dem Hornerschema!
Zum Horner-Schema kannst du dir das Außerdem Video Horner-Schema: Funktionswerte berechnen ansehen.
1.
Ausführliche Lösung
Als erstes stellen wir das Gleichungssystem auf:
Als nächstes tragen wir in eine Tabelle nach Gauß ein:
Dazu kannst du dir das Video Gauss-Algorithmus 3 Gleichungen mit 3 Variablen lösen ansehen.
a0 | a1 | a2 | a3 | |
---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | 1 | 4 |
1 | 2 | 4 | 8 | 2 II-I |
1 | 4 | 16 | 64 | 4 III-I |
1 | 5 | 25 | 125 | 20 IV-I |
1 | 1 | 1 | 1 | 4 |
0 | 1 | 3 | 7 | -2 |
0 | 3 | 11 | 63 | 0 III – 3 · II |
0 | 4 | 24 | 124 | 16 IV – 4 · II |
1 | 1 | 1 | 1 | 4 |
0 | 1 | 3 | 7 | -2 |
0 | 0 | 6 | 42 | 6 |
0 | 0 | 12 | 96 | 24 IV – 2 · III |
1 | 1 | 1 | 1 | 4 |
0 | 1 | 3 | 7 | -2 |
0 | 0 | 6 | 42 | 6 |
0 | 0 | 0 | 12 | 12 |
Daraus entwickeln wir jetzt die Funktionsgleichung:
Die Funktionsgleichung lautet also:
Schließlich tragen wir die Werte in der Wertetabelle ein:
x | -0,5 | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 | 4,5 | 5 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
f(x) | -6,12 | 0 | 3,13 | 4 | 3,37 | 2 | 0,62 | 0 | 0,87 | 4 | 10,12 | 20 |
Jetzt können wir den Graph zeichnen und folgendes berechnen:
Schnittpunkt mit der y-Achse:
Nullstellen:
Wenn wir dies faktorisieren:
2.
Ausführliche Lösung
Ausführlicher Gauß- Algorithmus:
3.
Ausführliche Lösung
Ausführlicher Gauß- Algorithmus:
4.
Ausführliche Lösung
Ausführlicher Gauß- Algorithmus:
5.
Ausführliche Lösung:
Ausführlicher Gauß- Algorithmus:
6.
Ausführliche Lösung:
Ausführlicher Gauß- Algorithmus:
7.
Ausführliche Lösung:
Ausführlicher Gauß- Algorithmus:
8.
Ausführliche Lösung:
Ausführlicher Gauß- Algorithmus:
9.
Ausführliche Lösung:
Ausführlicher Gauß- Algorithmus:
10.
Ausführliche Lösung:
Ausführlicher Gauß-Algorithmus:
Teil II: Finden Sie jeweils die Funktionsgleichung und skizzieren Sie den Graphen.
11.
grad 3, punktsymmetrisch
Ausführliche Lösung:
grad 3, punktsymmetrisch durch
Wegen der Punktsymmetrie hat die Funktionsgleichung nur ungerade Exponenten.
Als erstes stellen wir den Ansatz auf:
a1 | a3 | ||
2 | 8 | 3 | | · 3 |
-3 | -27 | -2 | | · 2 |
6 | 24 | 9 | |
-6 | -54 | -4 | II + I |
6 | 24 | 9 | |
0 | -30 | 5 |
Daraus entwickeln wir jetzt die Funktionsgleichung:
Ganzrationale Funktion 3. Grades ist symmetrisch zum Ursprung, bzw, punktsymmetrish mit drei Nullstellen. Bei Punktsymmetrie hat die Variable x nur ungerade Exponenten. Bei Achsensymmetrie sind sie gerade.
12.
Ausführliche Lösung:
13.
Finden Sie die Funktionsgleichung und skizzieren Sie den Graphen.
Ausführliche Lösung:
14.
Finden Sie die Funktionsgleichung und skizzieren Sie den Graphen.
Ausführliche Lösung:
15.
Finden Sie die Funktionsgleichung und skizzieren Sie den Graphen.
Ausführliche Lösung:
16.
Finden Sie die Funktionsgleichung und skizzieren Sie den Graphen.
Ausführliche Lösung:
17.
Finden Sie die Funktionsgleichung und skizzieren Sie den Graphen.
Ausführliche Lösung:
18.
Finden Sie die Funktionsgleichung und skizzieren Sie den Graphen.
Ausführliche Lösung:
19.
Finden Sie die Funktionsgleichung und skizzieren Sie den Graphen.
Ausführliche Lösung:
20.
Finden Sie die Funktionsgleichung und skizzieren Sie den Graphen.
Ausführliche Lösung:
Dazu findest du hier die Aufgaben.
Und hier die Theorie dazu.
Hier findest du eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema weitere ganzrationale Funktionen, darin auch Links zu weiteren Aufgaben.