Lösungen zu Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen mit komplettem Lösungsweg

Hier findest du die ausführlichen Lösungen der Aufgaben zum Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen. Z. B. zu ganzrationale Funktionen durch 4 Punkte.

Teil I: Ganzrationale Funktionen durch 4 Punkte. Finde jeweils die Funktionsgleichung und zeichne den Graphen! Berechne die Achsenschnittpunkte und fehlende Werte mit dem Hornerschema!

1.

$P_1(1|4) ; P_2(2|2)$
$P_3(4|4) ; P_4(5|20)$

Ausführliche Lösung

Als erstes stellen wir das Gleichungssystem auf:
$f(x) = a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$
$P_1(1|4) \Rightarrow f(1) = 1a_3 + 1a_2 + 1a_1 + 1a_0 = 4 \\ P_2(2|2) \Rightarrow f(2) = 8a_3 + 4a_2 + 2a_1 + 1a_0 = 2 \\ P_3(4|4) \Rightarrow f(4) = 64a_3 + 16a_2 + 4a_1 + 1a_0 = 4 \\ P_4(5|20) \Rightarrow f(5) = 125a_3 + 25a_2 + 5a_1 + 1a_0 = 20 \\$

Als nächstes tragen wir in eine Tabelle nach Gauß ein:

1	1	1	1	4
a₀	a₁	a₂	a₃
1	2	4	8	2 II-I
1	4	16	64	4 III-I
1	5	25	125	20 IV-I
1	1	1	1	4
0	1	3	7	-2
0	3	11	63	0 III – 3 • II
0	4	24	124	16 IV – 4 • II
1	1	1	1	4
0	1	3	7	-2
0	0	6	42	6
0	0	12	96	24 IV – 2 • III
1	1	1	1	4
0	1	3	7	-2
0	0	6	42	6
0	0	0	12	12

Daraus entwickeln wir jetzt die Funktionsgleichung:
$\Rightarrow 12 a_3 = 12 \Leftrightarrow \underline{\underline{a_3 = 1}}$

$6a_2 + 42 = 6 | -42$
$\Leftrightarrow 6a_2 = -36 \Leftrightarrow \underline{\underline{a_2 = -6}}$

$a_1 + 3a_2 + 7a_3 = -2$
$\Leftrightarrow a_1 - 18 + 7 = -2 \\ \Leftrightarrow a_1 - 11 = -2 | +11 \Leftrightarrow \underline{\underline{ a_1 = 9}}$

$a_0 + a_1 + a_2 + a_3 = 4$
$\Leftrightarrow a_0 + 9 -6 + 1 = 4 \\ \Leftrightarrow a_0 + 4 = 4 | - 4 \Leftrightarrow \underline{\underline{ a_0 = 0}}$

Die Funktionsgleichung lautet also:
$\underline{\underline{ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x}}$

Schließlich tragen wir die Werte in der Wertetabelle ein:

f(x)	-6,12	0	3,13	4	3,37	2	0,62	0	0,87	4	10,12	20
x	-0,5	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5

Jetzt können wir den Graph zeichnen und folgendes berechnen:

Schnittpunkt mit der y-Achse:
$f(0) = 0 \Rightarrow P_y(0|0)$

Nullstellen:
$f(x) = 0 \Leftrightarrow x^3 - 6x^2 + 9x = 0$
Wenn wir dies faktorisieren:
$x(x^2 - 6x + 9) = 0 \Rightarrow x_1 = 0$

$x^2 - 6x + 9 = 0$
$p = -6 ; q = 9 \Rightarrow D = 0 \\ x_{2/3} = -\frac{p}{2} = 3$

$P_{x1}(0|0)$
$P_{x2/3} (3|0)$

Graph-Funktionasgleichung-1

2.

02_1

Ausführliche Lösung

02_1_l

Ausführlicher Gauß- Algorithmus:

g02_e

02_2_l

02_mc_l
02_4_l

3.

03_1

Ausführliche Lösung
03_1_l

Ausführlicher Gauß- Algorithmus:

g03_e

03_2_l
03_mc_l

4.

04_1

Ausführliche Lösung

04_1_l

Ausführlicher Gauß- Algorithmus:

g04_e

04_2_l

04_mc_l
04_4_l

5.

05_1

Ausführliche Lösung:

05_1_l

Ausführlicher Gauß- Algorithmus:

g05_e

05_2_l

05_mc_l
05_4_l

6.

06_1

Ausführliche Lösung:

06_1_l

Ausführlicher Gauß- Algorithmus:

g06_e

06_2_l

06_mc_l

7.

07_1

Ausführliche Lösung:

07_1_l

Ausführlicher Gauß- Algorithmus:

g07_e

07_2_l

07_mc_l
07_4_l

8.

08_1

Ausführliche Lösung:

08_1_l

Ausführlicher Gauß- Algorithmus:

g08_e

08_2_l

08_mc_l

9.

09_1

Ausführliche Lösung:

09_1_l

Ausführlicher Gauß- Algorithmus:

g09_e

09_2_l

09_mc_l
09_4_l

10.

10_1

Ausführliche Lösung:

10_1_l

Ausführlicher Gauß-Algorithmus:

g10_e

10_2_l

10_mc_l

Teil II: Finden Sie jeweils die Funktionsgleichung und skizzieren Sie den Graphen.

11.

grad 3, punktsymmetrisch
$P_1(2|3) P_2(-3|-2)$

Ausführliche Lösung:

grad 3, punktsymmetrisch durch
$P_1(2|3) P_2(-3|-2)$
Wegen der Punktsymmetrie hat die Funktionsgleichung nur ungerade Exponenten.
Als erstes stellen wir den Ansatz auf:
$f(x) = a_3x^3 + a_1x \\ P_1(2|3) \Rightarrow f(2) = 8a_3 + 2a_1 = 3 \\ P_2(-3|-2) \Rightarrow f(-3) = -27a_3 - 3a_1 = -2$

a₁	a₃
2	8	3	\|•3
-3	-27	-2	\|•2
6	24	9
-6	-54	-4	II + I
6	24	9
0	-30	5

Daraus entwickeln wir jetzt die Funktionsgleichung:
$-30a_3 = 5 \Leftrightarrow a_3 = -\frac{1}{6}$

6a_1 + 24a_3 = 9 \Leftrightarrow  6a_1 - 4 = 9 \Leftrightarrow  a_1 = \frac{13}{6}

01_mc_l: Ganzrationale Funktion 3. Grades ist symmetrisch zum Ursprung, bzw, punktsymmetrish mit drei Nullstellen.
Ganzrationale Funktion 3. Grades ist symmetrisch zum Ursprung, bzw, punktsymmetrish mit drei Nullstellen. Bei Punktsymmetrie hat die Variable x nur ungerade Exponenten. Bei Achsensymmetrie sind sie gerade.