Zusammenfassung
In diesem Beitrag fasse ich alle Definitionen, Formeln und Vorgehensweisen zum Thema ganzrationale Funktionen zusammen.
Definition
Beispiele:
Verlauf des Graphen
Satz:
Der Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion wird durch den Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt.
| n gerade | n ungerade | |
| an>0 | Verlauf von II nach I | Verlauf von III nach I |
| an<0 | Verlauf von III nach IV | Verlauf von II nach IV |
Beispiele:
Symmetrien
Merke:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden Exponenten besteht oder
Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht oder
Bemerkung:
Unter Achsensymmetrie ist immer die Symmetrie zur y- Achse zu verstehen. Punktsymmetrie ist die Symmetrie zum Koordinatenursprung.
Achsenschnittpunkte
Beispiel:
Die y – Koordinate von Py ist immer identisch mit dem Koeffizienten a0.
Sie lässt sich stets aus der Funktionsgleichung ablesen.
Satz:
Eine ganzrationale Funktion n ten Grades hat höchstens n Nullstellen. Ist der Grad n ungerade, so hat sie mindestens eine Nullstelle.
Verfahren zur Nullstellenberechnung
Faktorisierungsverfahren:
Substitutionsverfahren
Polynomdivision
Graphen zeichnen
Um den Graphen einer ganzrationalen Funktion zeichnen zu können, benötigt man eine Wertetabelle und die Achsenschnittpunkte.
Wertetabelle:
Eine Möglichkeit die Wertetabelle zu erhalten besteht darin, alle benötigten Funktionswerte mit dem Taschenrechner auszurechnen. Ein anderes, oftmals einfacheres Verfahren liefert das Hornerschema.
Nachfolgend ist das Prinzip des Hornerschemas grafisch dargestellt.
Beispiel:
Berechnung der Nullstellen:
Mit allen nun bekannten Daten kann der Funktionsgraph gezeichnet werden.
Was wir allerdings noch nicht genau bestimmen können, sind der Hochpunkt und der Tiefpunkt des Graphen. Dazu benötigen wir die Differentialrechnung in einem späteren Kapitel.
Funktionsgleichung aufstellen
Beispiel
Beispiel für eine Ganzrationale Funktion 3. Grades.
Die Koordinaten von 4 Punkten, die auf dem Funktionsgraphen liegen sollen, sind wie folgt vorgegeben:
Zunächst wird das Gleichungssystem für die gegebenen Punkte aufgestellt.
Hilfsmittel für Funktionen
Interaktiv: Parabel durch drei Punkte: Wenn Sie die drei Punkte eingeben, berechnet und zeichnet das Programm die Parabel.
Interaktiv: Graphen zeichnen: Geben Sie Koeffizienten und die Potenz für x ein, dann zeichnet das Javascript den Graphen.
Interaktiv: Ganzrationale Funktion 3. Grades durch 4 Punkte: Geben sie 4 beliebige Punkte ein, danach berechnet das Javascript die Funktionsgleichung und zeichnet den Graphen.
Interaktiv: Ganzrationale Funktion 4. Grades durch 5 Punkte: Geben sie 5 beliebige Punkte ein, danach berechnet das Javascript die Funktionsgleichung und zeichnet den Graphen.
Aufgaben Ganzrationale Funktionen I Zur Vorbereitung einer Klassenarbeit
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Und hier eine Übersicht über weitere ganzrationale Funktionen.
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