Übersicht aller Formeln zu ganzrationale n Funktionen
In diesem Beitrag stelle ich eine Übersicht zu ganzrationalen Funktionen zusammen. Dazu führe ich Definitionen, Formeln und Vorgehensweisen an. Außerdem gebe ich viele Beispiele.
- Definition ganzrationale Funktion
- Verlauf des Graphen einer ganzrationale Funktion
- Symmetrien
- Achsenschnittpunkte
- Verfahren zur Nullstellenberechnung
Faktorisierungsverfahren - Substitutionsverfahren
- Polynomdivision
- Graphen zeichnen
- Wertetabelle
- Berechnung der Nullstellen für den Graphen
- Funktionsgleichung aufstellen
- Interaktive Hilfsmittel für Funktionen
- Link zu weiteren Beiträgen und Aufgaben
Definition ganzrationale Funktion
Beispiele ganzrationlae Funktionen:
Verlauf des Graphen einer ganzrationale Funktion
Der Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion wird durch den Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt.
| n gerade | n ungerade | |
| an>0 | Verlauf von II nach I | Verlauf von III nach I |
| an<0 | Verlauf von III nach IV | Verlauf von II nach IV |
Beispiele:
Symmetrien
Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden Exponenten besteht. Oder es gilt folgendes:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht. Oder es gilt folgendes:
Bemerkung:
Unter Achsensymmetrie versteht man die Symmetrie zur y-Achse. Punktsymmetrie ist dagegen die Symmetrie zum Koordinatenursprung.
Achsenschnittpunkte
Beispiel:
Die y-Koordinate von Py ist immer identisch mit dem Koeffizienten a0.
Sie lässt sich stets aus der Funktionsgleichung ablesen.
Satz:
Eine ganzrationale Funktion n ten Grades hat höchstens n Nullstellen. Ist der Grad n ungerade, so hat sie mindestens eine Nullstelle.
Verfahren zur Nullstellenberechnung
Faktorisierungsverfahren:
Substitutionsverfahren
Polynomdivision
Graphen zeichnen
Wertetabelle:
Eine Möglichkeit die Wertetabelle zu erhalten besteht darin, alle benötigten Funktionswerte mit dem Taschenrechner auszurechnen. Aber oft ist das Hornerschema einfacher.
Nachfolgend ist das Prinzip des Hornerschemas grafisch dargestellt.
Beispiel:
Aber wir können noch nicht genau den Hoch- und Tiefpunkt des Graphen bestimmen. Dazu benötigen wir die Differentialrechnung in einem späteren Kapitel.
Funktionsgleichung aufstellen
Beispiel für eine Ganzrationale Funktion 3. Grades.
Wir haben folgende Koordinaten von 4 Punkten, die auf dem Funktionsgraphen liegen:
Zunächst stellen wir das Gleichungssystem für die gegebenen Punkte auf.
Interaktive Hilfsmittel für Funktionen
Interaktiv: Parabel durch drei Punkte: Wenn Sie die drei Punkte eingeben, berechnet und zeichnet das Programm die Parabel.
Interaktiv: Graphen zeichnen: Geben Sie Koeffizienten und die Potenz für x ein, dann zeichnet das Javascript den Graphen.
Außerdem Interaktiv: Ganzrationale Funktion 3. Grades durch 4 Punkte: Geben sie 4 beliebige Punkte ein, danach berechnet das Javascript die Funktionsgleichung und zeichnet den Graphen.
Interaktiv: Ganzrationale Funktion 4. Grades durch 5 Punkte: Geben sie 5 beliebige Punkte ein, danach berechnet das Javascript die Funktionsgleichung und zeichnet den Graphen.
Hier findest du eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema weitere ganzrationale Funktionen.
