Kategorien
Funktionen Ganzrationale Funktionen Mathematik weitere Ganzrationale Funktionen

Zusammenfassung ganzrationale Funktionen

Übersicht aller Formeln zu ganzrationale n Funktionen


In diesem Beitrag stelle ich eine Übersicht zu ganzrationalen Funktionen zusammen. Dazu führe ich Definitionen, Formeln und Vorgehensweisen an. Außerdem gebe ich viele Beispiele.

Definition ganzrationale Funktion

f_0138

Beispiele ganzrationlae Funktionen:

f_1669

Verlauf des Graphen  einer ganzrationale Funktion

Der Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion wird durch den Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt.

n gerade n ungerade
an>0 Verlauf von II nach I Verlauf von III nach I
an<0 Verlauf von III nach IV Verlauf von II nach IV

Beispiele:

f_0352

Symmetrien

Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden Exponenten besteht. Oder es gilt folgendes:

f_1670

Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht. Oder es gilt folgendes:

f_1671

Bemerkung:

Unter Achsensymmetrie versteht man die Symmetrie zur y-Achse. Punktsymmetrie ist dagegen die Symmetrie zum Koordinatenursprung.



Achsenschnittpunkte

f_0353

Beispiel:

f_0354

Die y-Koordinate von Py ist immer identisch mit dem Koeffizienten a0.
Sie lässt sich stets aus der Funktionsgleichung ablesen.

f_0355

Satz:

Eine ganzrationale Funktion n ten Grades hat höchstens n Nullstellen. Ist der Grad n ungerade, so hat sie mindestens eine Nullstelle.

Verfahren zur Nullstellenberechnung

Faktorisierungsverfahren:

f_1672

Substitutionsverfahren

f_1673

Polynomdivision

f_1674



Graphen zeichnen

Wenn man den Graphen einer ganzrationalen Funktion zeichnen will, benötigt man eine Wertetabelle und die Achsenschnittpunkte.

Wertetabelle:

Eine Möglichkeit die Wertetabelle zu erhalten besteht darin, alle benötigten Funktionswerte mit dem Taschenrechner auszurechnen. Aber oft ist das Hornerschema einfacher.

Nachfolgend ist das Prinzip des Hornerschemas grafisch dargestellt.

des_036

Beispiel:

f_0363

Berechnung der Nullstellen für den Graphenf_1675
Danach kann man den Funktionsgraph zeichnen.
mc_239
Aber wir können noch nicht genau den Hoch- und  Tiefpunkt des Graphen bestimmen. Dazu benötigen wir die Differentialrechnung in einem späteren Kapitel.

Funktionsgleichung aufstellen

Beispiel für eine Ganzrationale Funktion 3. Grades.

Wir haben folgende Koordinaten von 4 Punkten, die auf dem Funktionsgraphen liegen:

f_1676

Zunächst stellen wir das Gleichungssystem für die gegebenen Punkte auf.

f_1677

f_1678

f_1679

Interaktive Hilfsmittel für Funktionen

Interaktiv: Parabel durch drei Punkte: Wenn Sie die drei Punkte eingeben, berechnet und zeichnet das Programm die Parabel.

Interaktiv: Graphen zeichnen: Geben Sie Koeffizienten und die Potenz für x ein, dann zeichnet das Javascript den Graphen.

Außerdem Interaktiv: Ganzrationale Funktion 3. Grades durch 4 Punkte: Geben sie 4 beliebige Punkte ein, danach berechnet das Javascript die Funktionsgleichung und zeichnet den Graphen.

Interaktiv: Ganzrationale Funktion 4. Grades durch 5 Punkte: Geben sie 5 beliebige Punkte ein, danach berechnet das Javascript die Funktionsgleichung und zeichnet den Graphen.

Aufgaben Ganzrationale Funktionen I Zur Vorbereitung einer Klassenarbeit.

Hier findest du eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema weitere ganzrationale Funktionen.