Zusammenfassung ganzrationale Funktionen

Zusammenfassung

In diesem Beitrag fasse ich alle Definitionen, Formeln und Vorgehensweisen zum Thema ganzrationale Funktionen zusammen.

Definition

f_0138

Beispiele:

f_1669

Verlauf des Graphen

Satz:

Der Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion wird durch den Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt.

 

n gerade n ungerade
an>0 Verlauf von II nach I Verlauf von III nach I
an<0 Verlauf von III nach IV Verlauf von II nach IV

Beispiele:

f_0352

Symmetrien

Merke:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden Exponenten besteht oder

f_1670

Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht oder

f_1671

Bemerkung:

Unter Achsensymmetrie ist immer die Symmetrie zur y- Achse zu verstehen. Punktsymmetrie ist die Symmetrie zum Koordinatenursprung.



Achsenschnittpunkte

f_0353

Beispiel:

f_0354

Die y – Koordinate von Py ist immer identisch mit dem Koeffizienten a0.
Sie lässt sich stets aus der Funktionsgleichung ablesen.

f_0355

Satz:

Eine ganzrationale Funktion n ten Grades hat höchstens n Nullstellen. Ist der Grad n ungerade, so hat sie mindestens eine Nullstelle.

Verfahren zur Nullstellenberechnung

Faktorisierungsverfahren:

f_1672

Substitutionsverfahren

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Polynomdivision

f_1674



Graphen zeichnen

Um den Graphen einer ganzrationalen Funktion zeichnen zu können, benötigt man eine Wertetabelle und die Achsenschnittpunkte.

Wertetabelle:

Eine Möglichkeit die Wertetabelle zu erhalten besteht darin, alle benötigten Funktionswerte mit dem Taschenrechner auszurechnen. Ein anderes, oftmals einfacheres Verfahren liefert das Hornerschema.

Nachfolgend ist das Prinzip des Hornerschemas grafisch dargestellt.

des_036

Beispiel:

f_0363

Berechnung der Nullstellen:

f_1675

Mit allen nun bekannten Daten kann der Funktionsgraph gezeichnet werden.
mc_239
Was wir allerdings noch nicht genau bestimmen können, sind der Hochpunkt und der Tiefpunkt des Graphen. Dazu benötigen wir die Differentialrechnung in einem späteren Kapitel.

Funktionsgleichung aufstellen

Beispiel

Beispiel für eine Ganzrationale Funktion 3. Grades.
Die Koordinaten von 4 Punkten, die auf dem Funktionsgraphen liegen sollen, sind wie folgt vorgegeben:

f_1676

Zunächst wird das Gleichungssystem für die gegebenen Punkte aufgestellt.

f_1677

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Hilfsmittel für Funktionen

Interaktiv: Parabel durch drei Punkte: Wenn Sie die drei Punkte eingeben, berechnet und zeichnet das Programm die Parabel.

Interaktiv: Graphen zeichnen: Geben Sie Koeffizienten und die Potenz für x ein, dann zeichnet das Javascript den Graphen.

Interaktiv: Ganzrationale Funktion 3. Grades durch 4 Punkte: Geben sie 4 beliebige Punkte ein, danach berechnet das Javascript die Funktionsgleichung und zeichnet den Graphen.

Interaktiv: Ganzrationale Funktion 4. Grades durch 5 Punkte: Geben sie 5 beliebige Punkte ein, danach berechnet das Javascript die Funktionsgleichung und zeichnet den Graphen.

Aufgaben Ganzrationale Funktionen I Zur Vorbereitung einer Klassenarbeit

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Und hier eine Übersicht über weitere ganzrationale Funktionen.



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